高考数学总复习 第四章 三角函数与解三角形 4-3课后巩固提升（含解析）新人教A

v【创优导学案】届高考数学总复习第四章三角函数与解三角形4-3课后巩固提升（含解析）新人教A版(对应学生用书P325解析为教师用书独有)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．设非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与a＋b的夹角为 ()A．30° B.60°C．90° D.120°解析B由三角形法则可知，a，b，a＋b可构成正三角形，故夹角为60°.2．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝ ()A．(－15,12) B.0C．－3 D.－11解析C(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－3.3．(·绵阳模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x的值为 ()A．－7 B.9C．4 D.－4解析B因为a－b＝(1－x,4)，所以a·(a－b)＝1－x＋8＝0，解得x＝9.4．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，n)，若|a＋b|＝a·b，则n＝ ()A．－3 B.－1C．1 D.3解析D∵a＋b＝(3,1＋n)，∴|a＋b|＝eq\r(9＋1＋n2).又∵a·b＝1×2＋1×n＝2＋n，∴eq\r(9＋1＋n2)＝2＋n，解得n＝3.5．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，则角A的大小为 ()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(2π,3)解析B∵m⊥n，∴m·n＝0，即(b－c)b＋(c－a)(c＋a)＝0，b2－bc＋c2－a2＝0，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，∴A＝eq\f(π,3).6．△ABC内有一点O，满足eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝0，且eq\o(OA,\s\up10(→))·eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))·eq\o(OC,\s\up10(→))，则△ABC一定是 ()A．钝角三角形 B.直角三角形C．等边三角形 D.等腰三角形解析D∵eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝0，∴O为重心，∵eq\o(OA,\s\up10(→))·eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))·eq\o(OC,\s\up10(→))，∴eq\o(OB,\s\up10(→))·eq\o(AC,\s\up10(→))＝0，即OB⊥AC，∴BA＝BC，故△ABC是等腰三角形．二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a·b＋b·b的值为________．解析a·b＋b·b＝|a||b|cos60°＋|b|2＝1×2×eq\f(1,2)＋4＝5.【答案】58．(·江苏高考)已知e1，e2是夹角为eq\f(2π,3)的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．解析由题意知：a·b＝(e1－2e2)(ke1＋e2)＝0，即keeq\o\al(2,1)＋e1e2－2ke1e2－2eeq\o\al(2,2)＝0，即k＋coseq\f(2π,3)－2kcoseq\f(2π,3)－2＝0，化简可求得k＝eq\f(5,4).【答案】eq\f(5,4)9．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则eq\o(OA,\s\up10(→))·(eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→)))的最小值为________．解析如图所示，设AO＝x，OM＝2－x，所以eq\o(OA,\s\up10(→))·(eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→)))＝eq\o(OA,\s\up10(→))·2eq\o(OM,\s\up10(→))＝－2x(2－x)＝2x2－4x＝2(x－1)2－2，故当x＝1时，eq\o(OA,\s\up10(→))·(eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→)))取最小值－2.【答案】－2三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)(·杭州模拟)已知平面内A、B、C三点在同一条直线上，eq\o(OA,\s\up10(→))＝(－2，m)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(n,1)，eq\o(OC,\s\up10(→))＝(5，－1)，且eq\o(OA,\s\up10(→))⊥eq\o(OB,\s\up10(→))，求实数m、n的值．解析由于A、B、C三点在同一条直线上，则eq\o(AC,\s\up10(→))∥eq\o(AB,\s\up10(→))，而eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝(7，－1－m)，eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝(n＋2，1－m)，∴7(1－m)－(－1－m)(n＋2)＝0，即mn＋n－5m＋9＝0， 又∵eq\o(OA,\s\up10(→))⊥eq\o(OB,\s\up10(→))，∴－2n＋m＝0. ②联立①②，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝6，,n＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝\f(3,2).))11．(12分)已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝2eq\r(5)，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝eq\f(\r(5),2)，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.解析(1)设c＝(x，y)，由c∥a和|c|＝2eq\r(5)可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1·y－2·x＝0，,x2＋y2＝20，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－4，))∴c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0,2×5＋3a·b－2×eq\f(5,4)＝0，∴a·b＝－eq\f(5,2)，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－\f(5,2),\r(5)×\f(\r(5),2))＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.12．(16分)已知|a|＝eq\r(2)，|b|＝1，a与b的夹角为45°，求使向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角的λ的取值范围．解析由|a|＝eq\r(2)，|b|＝1，a与b的夹角为45°，则a·b＝|a||b|cos45°＝eq\r(2)×1×eq\f(\r(2),2)＝1，而(2a＋λb)·(λa－3b)＝2λa2－6a·b＋λ2a·b－3＝λ2＋λ－6.设向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角为θ则cosθ＝eq\f(2a＋λb·λa－3b,|2a＋λb||λa－3b|)>0，且cosθ≠1，∴(2