2023届江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校数学九上期末学业水平测试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，是的直径，点、在上．若，则的度数为（）A． B． C． D．2．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三种情况都有可能3．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，⊙O的直径AD=6，则BD的长为()A．2 B．3 C．2 D．34．设，下列变形正确的是（）A． B． C． D．5．抛物线的顶点坐标为()A． B． C． D．6．如图，这是一个由四个半径都为1米的圆设计而成的花坛，圆心在同一直线上，每个圆都会经过相邻圆的圆心，则这个花坛的周长（实线部分）为（）A．4π米 B．π米 C．3π米 D．2π米7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（）A． B． C． D．8．从1，2，3，4四个数中任取一个数作为十位上的数字，再从2，3，4三个数中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是（）A． B． C． D．9．已知一条抛物线的表达式为，则将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（）A． B． C． D．10．下列方程是一元二次方程的是()A． B． C． D．11．如图，在中，，则AC的长为（）A．5 B．8 C．12 D．1312．已知（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，等边边长为2，分别以A，B，C为圆心，2为半径作圆弧，这三段圆弧围成的图形就是著名的等宽曲线——鲁列斯三角形，则该鲁列斯三角形的面积为___________．14．关于x的一元二次方程没有实数根，则实数a的取值范围是．15．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝120°，∠DCB＝60°，CB＝CD，AC＝8，则四边形ABCD的面积为__．16．如图，⊙O的半径为6，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD=∠BCD，则弧BD的长为________．17．如图，在中，，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在，上，有两个顶点在斜边上，则的面积为__________．18．由n个相同的小正方体堆成的几何体，其视图如下所示，则n的最大值是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）李师傅驾驶出租车匀速地从西安市送客到咸阳国际机场，全程约，设小汽车的行驶时间为(单位:)，行驶速度为(单位:)，且全程速度限定为不超过.（1）求关于的函数表达式;（2）李师傅上午点驾驶小汽车从西安市出发.需在分钟后将乘客送达咸阳国际机场，求小汽车行驶速度.20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别为（1，﹣4）、（5，﹣4）、（4，﹣1）．（1）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；（2）将△A1B1C1绕顶点A1逆时针旋转90°后得到对应的△A1B2C2，画出△A1B2C2，并求出线段A1C1扫过的面积．21．（8分）如图，已知直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y＝x2+bx+c过点B、C，且与x轴交于另一个点A．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上方抛物线上一点，连接OP．①若OP与线段BC交于点D，则当D为OP中点时，求出点P坐标．②在抛物线上是否存在点P，使得∠POC＝∠ACO若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．22．（10分）长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A、B、C三种型号，乙品牌有D、E两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠．（1）写出所有的选购方案（用列表法或树状图）；（2）如果在上述选购方案中，每种方案被选中的可能性相同，那么A型器材被选中的概率是多少．23．（10分）如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，，，．求证：四边形ABCD是菱形．24．（10分）九年级1班将竞选出正、副班长各1名，现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加竞选．（1）男生当选班长的概率是；（2）请用列表或画树状图的方法求出两位女生同时当选正、副班长的概率．25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到边AB的距离等于PC的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）（2）在（1）的条件下，以点P为圆心，PC长为半径的⊙P中，⊙P与边BC相交于点D，若AC＝6，PC＝3，求BD的长．26．已知关于的方程（1）无论取任何实数，方程总有实数根吗？试做出判断并证明你的结论.（2）抛物线的图象与轴两个交点的横坐标均为整数，且也为正整数.若，是此抛物线上的两点，且，请结合函数图象确定实数的取值范围.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选：C．【点睛】此题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2、B【详解】解：如图，在中，令x=0，则y=－；令y=0，则x=，∴A（0，－），B（，0）．∴OA=OB=．∴△AOB是等腰直角三角形．∴AB=2，过点O作OD⊥AB，则OD=BD=AB=×2=1．又∵⊙O的半径为1，∴圆心到直线的距离等于半径．∴直线y=x-2与⊙O相切．故选B．3、D【分析】连接OB，如图，利用弧、弦和圆心角的关系得到，则利用垂径定理得到OB⊥AC，所以∠ABO=∠ABC=60°，则∠OAB=60°，再根据圆周角定理得到∠ABD=90°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长．【详解】连接OB，如图：

∵AB=BC，

∴，

∴OB⊥AC，

∴OB平分∠ABC，

∴∠ABO=∠ABC=×120°=60°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=60°，

∵AD为直径，

∴∠ABD=90°，

在Rt△ABD中，AB=AD=3，

∴BD=.故选D．【点睛】考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理．4、D【分析】根据比例的性质逐个判断即可．【详解】解：由得，2a=3b,A、∵，∴2b=3a，故本选项不符合题意；

B、∵，∴3a=2b，故本选项不符合题意；

C、，故本选项不符合题意；

D、，故本选项符合题意；

故选：D．【点睛】本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质是解此题的关键，如果，那么ad=bc．5、D【解析】根据抛物线顶点式的性质进行求解即可得答案.【详解】∵解析式为∴顶点为故答案为：D.【点睛】本题考查了已知二次函数顶点式求顶点坐标，注意点坐标符号有正负.6、A【分析】根据弧长公式解答即可．【详解】解：如图所示：∵这是一个由四个半径都为1米的圆设计而成的花坛，圆心在同一直线上，每个圆都会经过相邻圆的圆心，∴OA＝OC＝O'A＝OO'＝O'C＝1，∴∠AOC＝120°，∠AOB＝60°，∴这个花坛的周长＝，故选：A．【点睛】本题考查了圆的弧长公式，找到弧所对圆心角度数是解题的关键7、D【分析】过作于，首先根据勾股定理求出，然后在中即可求出的值．【详解】如图，过作于，则，AC＝＝1．．故选D．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．8、B【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与组成的两位数是3的倍数的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，组成的两位数是3的倍数的有4种情况，

∴组成的两位数是3的倍数的概率是：．故选：B【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9、A【分析】可根据二次函数图像左加右减，上加下减的平移规律进行解答.【详解】二次函数向右平移个单位长度得，，再向上平移个单位长度得即故选A.【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键.10、B【分析】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．【详解】解：选项：是一元一次方程，故不符合题意；选项：只含一个未知数，并且未知数最高次项是2次，是一元二次方程，故符合题意；选项：有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；选项：不是整式方程，故不符合题意；综上，只有B正确．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，属于基础知识的考查，比较简单．11、A【分析】利用余弦的定义可知，代入数据即可求出AC.【详解】∵∴故选A.【点睛】本题考查根据余弦值求线段长度，熟练掌握余弦的定义是解题的关键.12、D【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为x=1，再根据抛物线的增减性以及对称性可得y1，y1，y3的大小关系．【详解】∵二次函数y=-x1+4x+c=-（x-1）1+c+4，∴对称轴为x=1，∵a＜0，∴x＜1时，y随x增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，∵（-1，y1），（1，y1），（3，y3）在二次函数y=-x1+4x+c的图象上，且-1＜1＜3，|-1-1|＞|1-3|，∴y1＜y3＜y1．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】求出一个弓形的面积乘3再加上△ABC的面积即可．【详解】过A点作AD⊥BC，∵△ABC是等边三角形，边长为2，∴AC=BC=2，CD=BC=1∴AD=∴弓形面积=.故答案为：【点睛】本题考查的是阴影部分的面积，掌握扇形的面积计算及等边三角形的面积计算是关键．14、a＞1．【解析】试题分析：∵方程没有实数根，∴△=﹣4a＜1，解得：a＞1，故答案为a＞1．考点：根的判别式．15、16【分析】延长AB至点E，使BE＝DA，连接CE，作CF⊥AB于F，证明△CDA≌△CBE，根据全等三角形的性质得到CA＝CE，∠BCE＝∠DCA，得到△CAE为等边三角形，根据等边三角形的性质计算，得到答案．【详解】延长AB至点E，使BE＝DA，连接CE，作CF⊥AB于F，∵∠DAB+∠DCB＝120°+60°＝180°，∴∠CDA+∠CBA＝180°，又∠CBE+∠CBA＝180°，∴∠CDA＝∠CBE，在△CDA和△CBE中，，∴△CDA≌△CBE（SAS）∴CA＝CE，∠BCE＝∠DCA，∵∠DCB＝60°，∴∠ACE＝60°，∴△CAE为等边三角形，∴AE＝AC＝8，CF＝AC＝4，则四边形ABCD的面积＝△CAB的面积＝×8×4＝16，故答案为：16．【点睛】考核知识点：等边三角形判定和性质，三角函数.作辅助线，构造直角三角形是关键.16、4π【解析】根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD+∠A=180°，再根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系以及∠BOD=∠BCD，可求得∠A=60°，从而得∠BOD=120°，再利用弧长公式进行计算即可得.【详解】解:∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠A=180°，∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，∴2∠A+∠A=180°，解得：∠A=60°，∴∠BOD=120°，∴的长=，故答案为4π.【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式等，求得∠A的度数是解题的关键.17、16【解析】根据题意、结合图形，根据相似三角形的判定和性质分别计算出CB、AC即可．【详解】解：由题意得：DE∥MF,所以△BDE∽△BMF,所以，即,解得BD=1，同理解得：AN=6；又因为四边形DENC是矩形，所以DE=CN=2，DC=EN=3,所以BC=BD+DC=4，AC=CN+AN=8，的面积=BC×AC÷2=4×8÷2=16.故答案为：16.【点睛】本题考查正方形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是需要对正方形的性质、相似三角形的判定和性质熟练地掌握．18、1【分析】根据主视图和俯视图得出几何体的可能堆放，从而即可得出答案．【详解】综合主视图和俯视图，底面最多有个，第二层最多有个，第三层最多有个则n的最大值是故答案为：1．【点睛】本题考查了三视图中的主视图和俯视图，掌握三视图的相关概念是解题关键．三、解答题（共78分）19、（1）；（2）【分析】（1）根据距离=速度×时间即可得关于的函数表达式，根据全程速度限定为不超过可确定t的取值范围；（2）把t=0.5代入（1）中关系式，即可求出速度v的值.【详解】∵全程约，小汽车的行驶时间为，行驶速度为，∴vt=40，∵全程速度限定为不超过，全程约，∴t≥0.4，∴v关于的函数表达式为：.（2）∵需在分钟后将乘客送达咸阳国际机场，30分钟=0.5小时，∴v==80，∴小汽车行驶速度是.【点睛】此题考查反比例函数的实际运用，掌握路程、时间、速度三者之间的关系是解题关键．20、（1）详见解析；（2）图详见解析，【分析】（1）利用关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，分别找出A、B、C的对应点，顺次连接，即得到相应的图形；（2）根据题意，作出对应点，然后顺次连接即可得到图形，再根据扇形的面积公式即可求出面积．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为：（-1，4）；（2）如图所示，△A1B2C2即为所求；．所以，线段A1C1扫过的面积=．【点睛】本题考查的是旋转变换作图．无论是何种变换都需先找出各关键点的对应点，然后顺次连接即可．21、（2）y＝﹣x2+x+2；（2）①点P坐标为（2，3）；②存在点P（，﹣2）或（，﹣7）使得∠POC＝∠ACO【分析】（2）与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，2），由题意可得即可求解；（2）①过点P作PE∥OC，交BC于点E．根据题意得出△OCD≌△PED，从而得出PE＝OC＝2，再根据即可求解；②当点P在y轴右侧，PO∥AC时，∠POC=∠ACO．抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，则点A坐标为（-2，0）．则直线AC的解析式为y=2x+2．直线OP的解析式为y=2x，即可求解；当点P在y轴右侧，设OP与直线AC交于点G，当CG=OG时，∠POC=∠ACO，根据等腰三角形三线合一，则CF=OF=2，可得：点G坐标为即可求解．【详解】（2）∵y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，2）．由题意可得，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；（2）①如图，过点P作PE∥OC，交BC于点E．∵点D为OP的中点，∴△OCD≌△PED（AAS），∴PE＝OC＝2，设点P坐标为（m，﹣m2+m+2），点E坐标为（m，﹣m+2），则PE＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝2，解得m2＝m2＝2．∴点P坐标为（2，3）；②存在点P，使得∠POC＝∠ACO．理由：分两种情况讨论．如上图，当点P在y轴右侧，PO∥AC时，∠POC＝∠ACO．∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，∴点A坐标为（﹣2，0）．∴直线AC的解析式为y＝2x+2．∴直线OP的解析式为y＝2x，解方程组，解得：x＝（舍去负值）∴点P坐标为（，﹣2）．如图，当点P在y轴右侧，设OP与直线AC交于点G，当CG＝OG时∠POC＝∠ACO，过点G作GF⊥OC，垂足为F．根据等腰三角形三线合一，则CF＝OF＝2．∴可得点G坐标为（﹣，2）∴直线OG的解析式为y＝﹣2x；把y＝﹣2x代入抛物线表达式并解得x＝（不合题意值已舍去）．∴点P坐标为（，﹣7）．综上所述，存在点P（，﹣2）或（，﹣7）使得∠POC＝∠ACO．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等、解直角三角形、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．22、（1）答案见解析；（2）【分析】（1）画出树状图即可；（2）根据树状图可以直观的得到共有6种情况，选中A的情况有2种，进而得到概率．【详解】解：（1）如图所示：（2）所有的情况有6种，A型器材被选中情况有2种中，概率是．【点睛】本题考查概率公式，即如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．23、见解析【分析】根据平行四边形的性质得到AO和BO，再根据AB，利用勾股定理的逆定理得到∠AOB=90°，从而判定菱形．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=16，BD=12，