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文档简介
2022-2023学年北师大高一上数学期末试卷
一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.设全集U=R,集合A={x|%2一%-2<0},B={x|lg%>0),则4nB=()
A.{x|-1<x<2}B.{x|l<x<2}
C.{x|l<x<2}D.{x\x>—1}
【答案】B
【解答】
解:因为力={x\x2—x—2<0)={x|(x-2)(x+1)<0}={x|-1<%<2},
B={x|lgx>0}={x|lgx>1g1]={x\x>1],
所以4nB={x[l<x《2},故选:B.
2.已知4={x|04xW2},B={y\l<y<2},下列图形能表示以4为定义域,B为值
域的函数的是()
【答案】B
解:
A是函数图象,其值域为[0,2],故不符合题意;
B是函数的图象,定义域为[0,2],值域为[1,2],故符合题意;
C是函数图象,值域为{1,2},故不符合题意;
。是函数图象,值域为{L2},故不符合题意.故选用
3.单位圆上一点P从(0,1)出发,逆时针方向运动冬瓜长到达Q点,则Q的坐标为()
【答案】D
【解答】
解:点P从(0,1)出发,沿单位圆逆时针方向运动卷弧长到达Q点,
55
即Q点的坐标为:(一苧故选D.
所以z_QOx=Z,所以Q(cos6-6-
4.不等式23+11>16的解集为()
A.[|,+00)B.(―°°,—1)u(|,+oo)
C.(-O0,-|]U(|>+°°)D.(-8,一|)
【答案】B
解:不等式2回+11>16,.••2l2x+H>23即|2x+l|>4.
•-2x+l<-4或2x+1>4,.••解集是(-8,一|)u(|,+8).
故选:B.
5.《九章算术/是我国算术名著,其中有这样的一个问题:“今有宛田,下周三十步,
径十六步.问为田几何?”意思是说:“现有扇形田,弧长30步,直径16步,问面积是
多少?”在此问题中,扇形的圆心角的弧度数是()
A.学B.2C.yD.120
【答案】4
解:S=注竺=120(平方步),
设扇形的半径为R,圆心角为a,S=:aR2,即120="X640a=字.
224
6.设a=遮为=0.9°8,c=logo.90.8,则()
A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.c>b>a
【答案】A
08
解:因为所以1<。=遮<2,b=O.9<0.9°=1,c=log0.90.8>log0,90.81=2,
所以c>a>b.
故选:A.
7.已知函数f。)=1。8内/一4%-5),则函数/(x)的减区间是()
A.(—8,2)B.(2,4-oo)C.(5,4-oo)D.(—8,—1)
【答案】C
解:由一一4%一5>0,得%>5或%V-1,・,.函数的定义域为(一8,-1)u(5,+8),
设t=x2—4x—5,则丫='oom,
2
又:%€时,t单调递减,%€(5,+8)时,t单调递增,
•••y=logp是定义域上的减函数,...函数/(x)=logJM一钮-5)的单调递减区间为⑸+8).
故选:C.
8.己知实数x>0>y,且击1+言1;1=也则x7的最小值是()
A.21B.25C.29D.33
【答案】A
解:■.■x>0>y,等式击+匕=/恒成立,
111
-(x-y+3)=(%+2+1-y)(Fj”+厂.
••・七+己)("+2+17)=2+言+枭22+2]言.汾=4,当且仅当%+2=1-
y时取等号.
1
•••"x-y+3)",「一丫的最小值为:21.故选:A.
二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)
9.下列命题中,是存在量词命题且是真命题的是()
A.3xeR,\x\<0B.存在x6R,使得产+%+1=0
C.至少有一个无理数x,使得/是有理数D.有的有理数没有倒数
【答案】ACD
解:4命题是存在量词命题,所以比=0,使|x|=0,所以4是真命题,故A正确;
8.对应方程X2+x+1=0,/=—3<0,方程无解,故B错误;
C.命题是存在量词命题,三%=好,使得(%)3=3是有理数,所以C是真命题;
D有理数0没有倒数,故。正确;
故选ACD.
10.下列说法正确的是()
A.若sina-cosa>0,则a为第一象限角
B.将表的分针拨快5分钟,则分针转过的角度是-30。
C.终边经过点(a,a)(a丰0)的角的集合是{a[a=^+kn,kEZ]
D.在一个半径为3cm的圆上画一个圆心角为30。的扇形,则该扇形面积为苧cn?
【答案】BC
解:4若stria•COSQ>0,则a为第一象限角或第三象限角,故错误;
及将表的分针拨快5分钟,则分针转过的角度是-30。,故正确;
C.终边经过点(a,a)(a力0)的角的终边在直线y=x上,故角的集合是{a|a=^+kn,keZ}
D弧长,="3=今扇形面积为,鼻3=当,故错误.
62224
故选BC.
11.已知函数/'(X)=白,则下列结论中正确的是()
A.f(x)是偶函数B.f(x)在(―8,—2)上单调递增
C.f(x)的值域为RD.当xe(一2,2)时,f(x)有最大值
【答案】ABD
【解答】
解:对于4,由㈤-2片0得函数〃%)定义域为{x|xw±2},
所以f(x)='工0*±2).
由f(一乃=4=晶=/0),
可得函数/(X)为偶函数,其图象关于y轴对称,故4正确;
对于B,当x>0且万力2时,函数/(x)=Fp
该函数图象可由函数y=:图象向右平移2个单位得到,
所以函数/。)=£在(0,2)和(2,+8)上均单调递减,由偶函数性质,可知/Xx)在(—8,—2)
上单调递增,故B正确;
对于C,由B可得,当x>0且x¥2时,
函数f(x)=3在(0,2)和(2,+8)上均单调递减,
所以该函数在(0,2)U(2,+8)的值域为(一8,-3u(O.+oo);
又因为函数/⑶为偶函数,且/(0)=-全
所以f(x)在其定义域上的值域为(一8,-勺u(0,+00),故C错误;
对于。,当*6(—2,2)时,函数f(%)在(-2,0)上单调递增,
在(0,2)上单调递减,所以〃>)有最大值为f(0)=-5故D正确.
故答案为ABD.
12.如图所示,边长为2的正方形ABCD中,。为AD的中点,点P沿着力-Ct。的方
向运动,设440P为X,阴影部分的面积为f(x),则下列说法中正确的是()
A.§9在或g上为减函数B.居)=|
C./(%)+/(nr-%)=4D./(x)图象的对称轴是%=与
【答案】CB
解:
对于4选项,当》6兀)时,阴影部分的面积显然逐渐增加,即函数/(x)在(%兀)上单调递
增,力选项错误;
对于B选项,当0<tanx<2时,
tanx=tanz.AOP==\AP\,所以,/(%)-\\0A\'\AP\=^tanx,
0<tan<2,/(^)=itanB选项正确;
对于C选项,取BC的中点G,连接OG,
作点P关于直线0G的对称点尸,
则4F0D=X,所以,/.AOF=n-x,
OF绕。点按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S,由对称性可知S=/(X),
因为S+〃TT-X)=4,即f(x)+/(兀一%)=4,C选项正确;
对于。选项,由C选项可知,/(x)+/(7r-x)=4,则&)+/寻)=4,
所以,f第=4-展)=盛6),
所以,函数/(x)的图象不关于直线x=]对称,。选项错误.
故选:BC.
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.求值:sin竽+cos(一子)=.
【答案】今迎
解:因为s讥等+cos(-牛)=s讥(8兀+刍+cos(-4兀一力=s讥与+cos(-;)=s讥与+
ny/3,V2V3+V2
叼=彳+爹=--,
故答案为竽.
14.己知幕函数/(x)=(m2-5m+7)N"是R上的增函数,则m的值为.
【答案】3
【解答】
解:函数/(%)=(tn?-56+7)%m是基函数,则一5nl+7=1,
即tn?—5m+6=0,解得m=2或m=3;
当m=2时,/。)=/不是/?上的增函数,不满足题意;
当m=3时,/(x)=/是R上的增函数,满足题意.则Tn的值为3.故答案为:3.
15.若“1<x<3"的必要不充分条件是“a-2Vx<a+2",则实数a的取值范围
是.
【答案】[1,3]
解:若"l<x<3"的必要不充分条件是"a-2<x<a+2”,
则且两个等号不同时取得,解得1WaW3,故取值范围是[1,3]
16.已知函数/'(%)=喘;二W'若方程/(%)=1的实根在区间(k,k+l)(ke
Z)上,则k的所有可能值是.
【答案】一3,-2或1
【解答】
解:①由方程/—5=1(%<—2),解得%=—\/6»故k=-3
②由于方程xlg(%+2)=l(x>—2)即方程lg(x+2)=:Q>-2),分别作出左右两边函
数的图象,
从图象上可得出:方程xlg(x+2)=1在区间(—2,-1)和(1,2)内各有一个实根.
下面证明:方程xlg(x+2)=1在区间(一2,-1)和(1,2)内各有一个实根
=函数f(x)=xlg(x+2)—1,在区间(一2,-1)和(1,2)内各有一个零点,
函数f(x)=xlg(x+2)-1在区间(1,2)是增函数,又/(I)=lg3-1<0,/(2)=21g4-1>0,
即/(l)f(2)<0,由零点存在性定理知,函数/(x)=xlg(x+2)—1在区间(1,2)内仅有一个
零点,
印方程xlg(x+2)=1在区间(1,2)内有且仅有一个实根,
同理得方程%lg(x+2)=1在区间(一2,-1)内有且仅有一个实根.
故答案为—3,—2或1.
四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题10.0分)
⑴计算2X诉)0+(苧)-4+2X(第偌)叫
(2)计算翔方8+3的4+210g6H—||。出81-log272.
【答案】
解:⑴2x(诉)。+(苧)T+2x居)皆一(第。5
=2+©)2+2x(巽一盘=0.
13
(2)?。968+310g34+21喻百一引。。281-log272
,OS34
=log62+3+log63-4x^log23xlog32=log66+4—2=2+1=3.
18.(本小题12.0分)
己知集合力={x\2-a<x<2+a},B={x\x<1或x>4].
(1)当a=3时,求AnB;
(2)是“X€CR8”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
【答案】解:(1)当a=3时,?l={x|-l<x<5),
所以4nB={万一1WxW1或4WxW5},
(2)由题可知,CRB={x|l<x<4},
因为“x€4”是“xeCRB”的充分不必要条件,
所以CRB,可得田[。];,解得a<l.
(2+a<4
19.(本小题12.0分)
已知a是第四象限角.
⑴若COSa=g求侬(af)-sin(竽+a)的值;
52sin(a+7r)+cos(2?r—a)
(2)若5sin2a+5sinacosa+1=0,求tana的值.
【答案】解:(1)a是第四象限角,cosa=V1—sin2a=所以sina=—
sina。cos(Q-5)-sin(孚+a)sina+cosa_tana+l_1
・•・tana=----二-2,.・.----------之---U——1.
cosa2sin(a+7r)+cos(27T—a)—2sina+cosa-2tana+l5
si.n2a+.st.nacosatan2a-Vtanai1—
2・•・tana=一或a=
(2)•・,sina+sinacosa=—225tan
sina+cosatan^a+l54
1
3
20.(本小题12.0分)
已知函数/(%)=筹・
(1)证明函数/'(X)为奇函数;
(2)解关于t的不等式:/(3t-l)+/(2-t)<0.
【答案】
解:(1)因为函数〃%)的定义域为R,
且“_幻=匚匚一日一旦
H-八X)3一+1-表+i-1+3”—f(%),
所以函数f(x)是奇函数;
(2)由f(x)=韶=袈萨=1一品,易得函数f(x)是定义域为R的增函数,
而不等式/(3C—1)+f(2—t)<0可化为f(3t—1)V—f(2—t),
再由f(r)=一,(x)可得f(3t-1)<f(t-2),
所以2,解得£<-;,故不等式的解集为
21.(本小题12.0分)
某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”,国际上常用普姆克实验系数(
单位:pmk)表示治愈效果,系数越大表示效果越好.元旦时在实验用小白鼠体内注射一
些实验药品,这批治愈药品发挥的作用越来越大,二月底测得治愈效果的普姆克系数为
24pmk,三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk,治愈效果的普姆克系数y(单位:
x
pm/c)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=ka(k>0,a>1)与y=pX2+
k(p>0,fc>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式;
(2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份.(参考
数据:lg2工0.3010,lg3x0.4711).
【答案】
x
解:(1)函数y=ka(_k>0,a>1)与y=pX2+k(p>0,k>0)在(0,+8)上都是增函数,
随着x的增加,函数丫=上谈仪>0,<1>1)的值增加的越来越快,而函数丫=「4+卜的值增
加的越来越慢,由于这批治愈药品发挥的作用越来越大,因此选择模型y=kaX(k>0,a>
1)符合要求.
32-
k=3
根据题意可知%=2时,y=24;x=3时,y=36,・•.乃4—U解得3
W=36a=一2
故该函数模型的解析式为、=券(|尸,1WxW
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