2022-2023学年北师大高一年级上册数学期末试卷-解析版

2022-2023学年北师大高一上数学期末试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.设全集U=R,集合A={x|%2一%-2<0},B={x|lg%>0),则4nB=()

A.{x|-1<x<2}B.{x|l<x<2}

C.{x|l<x<2}D.{x\x>—1}

【答案】B

【解答】

解：因为力={x\x2—x—2<0)={x|(x-2)(x+1)<0}={x|-1<%<2},

B={x|lgx>0}={x|lgx>1g1]={x\x>1],

所以4nB={x[l<x《2},故选：B.

2.已知4={x|04xW2},B={y\l<y<2},下列图形能表示以4为定义域，B为值

域的函数的是()

【答案】B

解：

A是函数图象，其值域为[0,2],故不符合题意；

B是函数的图象，定义域为[0,2],值域为[1,2],故符合题意；

C是函数图象，值域为{1,2},故不符合题意；

。是函数图象，值域为{L2},故不符合题意.故选用

3.单位圆上一点P从(0,1)出发，逆时针方向运动冬瓜长到达Q点，则Q的坐标为()

【答案】D

【解答】

解：点P从(0,1)出发，沿单位圆逆时针方向运动卷弧长到达Q点,

55

即Q点的坐标为：(一苧故选D.

所以z_QOx=Z，所以Q(cos6-6-

4.不等式23+11>16的解集为()

A.[|，+00)B.(―°°,—1)u(|,+oo)

C.(-O0,-|]U(|>+°°)D.(-8,一|)

【答案】B

解:不等式2回+11>16,.••2l2x+H>23即|2x+l|>4.

•­-2x+l<-4或2x+1>4,.••解集是(-8,一|)u(|,+8).

故选：B.

5.《九章算术/是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，

径十六步.问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是

多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是()

A.学B.2C.yD.120

【答案】4

解：S=注竺=120(平方步)，

设扇形的半径为R，圆心角为a,S=:aR2,即120="X640a=字.

224

6.设a=遮为=0.9°8,c=logo.90.8，则()

A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.c>b>a

【答案】A

08

解：因为所以1<。=遮<2,b=O.9<0.9°=1,c=log0.90.8>log0,90.81=2,

所以c>a>b.

故选：A.

7.已知函数f。)=1。8内/一4%-5),则函数/(x)的减区间是()

A.(—8,2)B.(2,4-oo)C.(5,4-oo)D.(—8,—1)

【答案】C

解：由一一4%一5>0,得％>5或％V-1,・,.函数的定义域为(一8,-1)u(5,+8),

设t=x2—4x—5,则丫='oom,

2

又:％€时,t单调递减,%€(5,+8)时,t单调递增,

•••y=logp是定义域上的减函数,...函数/(x)=logJM一钮-5)的单调递减区间为⑸+8).

故选：C.

8.己知实数x>0>y,且击1+言1;1=也则x7的最小值是()

A.21B.25C.29D.33

【答案】A

解：■.■x>0>y,等式击+匕=/恒成立，

111

-(x-y+3)=(%+2+1-y)(Fj”+厂.

••・七+己)("+2+17)=2+言+枭22+2]言.汾=4,当且仅当%+2=1-

y时取等号.

1

•••"x-y+3)",「一丫的最小值为：21.故选：A.

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是()

A.3xeR,\x\<0B.存在x6R,使得产+%+1=0

C.至少有一个无理数x,使得/是有理数D.有的有理数没有倒数

【答案】ACD

解：4命题是存在量词命题，所以比=0,使|x|=0,所以4是真命题，故A正确；

8.对应方程X2+x+1=0,/=—3<0,方程无解，故B错误；

C.命题是存在量词命题，三%=好，使得(%)3=3是有理数，所以C是真命题；

D有理数0没有倒数，故。正确；

故选ACD.

10.下列说法正确的是()

A.若sina-cosa>0,则a为第一象限角

B.将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是-30。

C.终边经过点(a,a)(a丰0)的角的集合是｛a[a=^+kn,kEZ]

D.在一个半径为3cm的圆上画一个圆心角为30。的扇形，则该扇形面积为苧cn?

【答案】BC

解：4若stria•COSQ>0,则a为第一象限角或第三象限角，故错误;

及将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是-30。，故正确；

C.终边经过点(a,a)(a力0)的角的终边在直线y=x上，故角的集合是{a|a=^+kn,keZ}

D弧长，="3=今扇形面积为，鼻3=当，故错误.

62224

故选BC.

11.已知函数/'(X)=白，则下列结论中正确的是()

A.f(x)是偶函数B.f(x)在(―8,—2)上单调递增

C.f(x)的值域为RD.当xe(一2,2)时，f(x)有最大值

【答案】ABD

【解答】

解:对于4,由㈤-2片0得函数〃%)定义域为{x|xw±2},

所以f(x)='工0*±2).

由f(一乃=4=晶=/0),

可得函数/(X)为偶函数，其图象关于y轴对称，故4正确；

对于B,当x>0且万力2时，函数/(x)=Fp

该函数图象可由函数y=：图象向右平移2个单位得到，

所以函数/。)=£在(0,2)和(2,+8)上均单调递减，由偶函数性质，可知/Xx)在(—8,—2)

上单调递增，故B正确；

对于C,由B可得，当x>0且x¥2时，

函数f(x)=3在(0,2)和(2,+8)上均单调递减，

所以该函数在(0,2)U(2,+8)的值域为(一8,-3u(O.+oo)；

又因为函数/⑶为偶函数，且/(0)=-全

所以f(x)在其定义域上的值域为(一8,-勺u(0,+00),故C错误；

对于。,当*6(—2,2)时,函数f(%)在(-2,0)上单调递增,

在(0,2)上单调递减，所以〃>)有最大值为f(0)=-5故D正确.

故答案为ABD.

12.如图所示，边长为2的正方形ABCD中，。为AD的中点，点P沿着力-Ct。的方

向运动，设440P为X,阴影部分的面积为f(x),则下列说法中正确的是()

A.§9在或g上为减函数B.居)=|

C./(%)+/(nr-%)=4D./(x)图象的对称轴是％=与

【答案】CB

解：

对于4选项，当》6兀）时，阴影部分的面积显然逐渐增加，即函数/（x）在（%兀）上单调递

增，力选项错误；

对于B选项，当0<tanx<2时，

tanx=tanz.AOP==\AP\,所以，/（%）-\\0A\'\AP\=^tanx,

0<tan<2,/（^）=itanB选项正确；

对于C选项，取BC的中点G,连接OG,

作点P关于直线0G的对称点尸，

则4F0D=X,所以，/.AOF=n-x,

OF绕。点按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S,由对称性可知S=/（X）,

因为S+〃TT-X）=4,即f（x）+/（兀一%）=4,C选项正确；

对于。选项，由C选项可知，/（x）+/（7r-x）=4,则&）+/寻）=4,

所以，f第=4-展）=盛6），

所以，函数/（x）的图象不关于直线x=］对称，。选项错误.

故选：BC.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.求值：sin竽+cos（一子）=.

【答案】今迎

解：因为s讥等+cos（-牛）=s讥（8兀+刍+cos（-4兀一力=s讥与+cos（-；）=s讥与+

ny/3,V2V3+V2

叼=彳+爹=--，

故答案为竽.

14.己知幕函数/（x）=（m2-5m+7）N"是R上的增函数，则m的值为.

【答案】3

【解答】

解：函数/(%)=(tn?-56+7)%m是基函数，则一5nl+7=1,

即tn?—5m+6=0,解得m=2或m=3；

当m=2时，/。)=/不是/?上的增函数，不满足题意；

当m=3时，/(x)=/是R上的增函数，满足题意.则Tn的值为3.故答案为：3.

15.若“1<x<3"的必要不充分条件是“a-2Vx<a+2"，则实数a的取值范围

是.

【答案】[1,3]

解：若"l<x<3"的必要不充分条件是"a-2<x<a+2”，

则且两个等号不同时取得，解得1WaW3,故取值范围是[1,3]

16.已知函数/'(%)=喘；二W'若方程/(%)=1的实根在区间(k,k+l)(ke

Z)上，则k的所有可能值是.

【答案】一3,-2或1

【解答】

解：①由方程/—5=1(%<—2),解得％=—\/6»故k=-3

②由于方程xlg(%+2)=l(x>—2)即方程lg(x+2)=：Q>-2),分别作出左右两边函

数的图象，

从图象上可得出：方程xlg(x+2)=1在区间(—2,-1)和(1,2)内各有一个实根.

下面证明：方程xlg(x+2)=1在区间(一2,-1)和(1,2)内各有一个实根

=函数f(x)=xlg(x+2)—1,在区间(一2,-1)和(1,2)内各有一个零点，

函数f(x)=xlg(x+2)-1在区间(1,2)是增函数,又/(I)=lg3-1<0,/(2)=21g4-1>0,

即/(l)f(2)<0,由零点存在性定理知，函数/(x)=xlg(x+2)—1在区间(1,2)内仅有一个

零点，

印方程xlg(x+2)=1在区间(1,2)内有且仅有一个实根，

同理得方程%lg(x+2)=1在区间(一2,-1)内有且仅有一个实根.

故答案为—3,—2或1.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.（本小题10.0分）

⑴计算2X诉）0+（苧）-4+2X（第偌）叫

（2）计算翔方8+3的4+210g6H—||。出81-log272.

【答案】

解：⑴2x（诉）。+（苧）T+2x居）皆一（第。5

=2+©）2+2x（巽一盘=0.

13

（2）?。968+310g34+21喻百一引。。281-log272

,OS34

=log62+3+log63-4x^log23xlog32=log66+4—2=2+1=3.

18.(本小题12.0分)

己知集合力={x\2-a<x<2+a},B={x\x<1或x>4］.

(1)当a=3时，求AnB；

(2)是“X€CR8”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】解：(1)当a=3时，?l={x|-l<x<5),

所以4nB={万一1WxW1或4WxW5},

(2)由题可知，CRB={x|l<x<4},

因为“x€4”是“xeCRB”的充分不必要条件，

所以CRB,可得田［。］；，解得a<l.

(2+a<4

19.（本小题12.0分）

已知a是第四象限角.

⑴若COSa=g求侬（af）-sin（竽+a）的值;

52sin（a+7r）+cos（2?r—a）

（2）若5sin2a+5sinacosa+1=0,求tana的值.

【答案】解：（1）a是第四象限角，cosa=V1—sin2a=所以sina=—

sina。cos（Q-5）-sin（孚+a）sina+cosa_tana+l_1

・•・tana=----二-2,.・.----------之---U——1.

cosa2sin（a+7r）+cos（27T—a）—2sina+cosa-2tana+l5

si.n2a+.st.nacosatan2a-Vtanai1—

2・•・tana=一或a=

（2）•・,sina+sinacosa=—225tan

sina+cosatan^a+l54

1

3

20.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=筹・

(1)证明函数/'(X)为奇函数；

(2)解关于t的不等式:/(3t-l)+/(2-t)<0.

【答案】

解：(1)因为函数〃%)的定义域为R,

且“_幻=匚匚一日一旦

H-八X)3一+1-表+i-1+3”—f(%)，

所以函数f(x)是奇函数；

(2)由f(x)=韶=袈萨=1一品，易得函数f(x)是定义域为R的增函数，

而不等式/(3C—1)+f(2—t)<0可化为f(3t—1)V—f(2—t),

再由f(r)=一，(x)可得f(3t-1)<f(t-2),

所以2,解得£<-；,故不等式的解集为

21.(本小题12.0分)

某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数(

单位：pmk)表示治愈效果，系数越大表示效果越好.元旦时在实验用小白鼠体内注射一

些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为

24pmk,三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk,治愈效果的普姆克系数y(单位：

x

pm/c)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型y=ka(k>0,a>1)与y=pX2+

k(p>0,fc>0)可供选择.

(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；

(2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份.(参考

数据：lg2工0.3010,lg3x0.4711).

【答案】

x

解：(1)函数y=ka(_k>0,a>1)与y=pX2+k(p>0,k>0)在(0,+8)上都是增函数，

随着x的增加，函数丫=上谈仪>0,<1>1)的值增加的越来越快，而函数丫=「4+卜的值增

加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，因此选择模型y=kaX(k>0,a>

1)符合要求.

32-

k=3

根据题意可知％=2时，y=24；x=3时，y=36,・•.乃4—U解得3

W=36a=一2

故该函数模型的解析式为、=券(|尸，1WxW