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文档简介
不等关系与不等式
♦不等关系与不等式•考点聚焦_____________________________优化整合有序识记
【考点1】不等关系
两实数之间有且只有以下三个大小关系之一:a>b;a<b;a=b;a>boa-b>0;
a<ba-b<0;a=ba-b=0.
♦不等关系与不等式•基础演练里握楂心有的放矢
例1某人上午7时乘摩托艇以v海里/时(4<v<20)的速度从力港匀速出发,向距/港50
海里的方港驶去,到达6港后马.上乘汽车以卬千米/时(30Ww<100)的速度从6港匀速出
发,向距6港300千米的C市驶去,应在同一天下午4时至9时到达C市,则汽车所需时
间x小时与摩托艇所需时间y小时应满足怎样的不等关系为
【点拨】根据实际问题抓住关键词,如至少、最多、不少于等,注意变量的取值范围.
【解析】在同一天下午4时至9时到达,市,可得9Wx+y<14;上午7时乘摩托艇以u海
里/时(4<v<20)的速度从4港匀速出发,向距/港50海里的8港驶去可得?<y<y;
到达6港后马.上乘汽车以w千米/时(30<w<100)的速度从方港匀速出发,向距8港300
x+y>9,
x+y<14,
千米的C市驶去3WxK10.故<34x410,.
525
122
x+y>9,
x+y<14,
【答案】«3<x<10,
525
1—2<y<2―,
【小结】本题考查根据实际问题列不等关系式.
练习1:某蔬菜.收购点租用车辆,将100t新鲜辣椒运往某市销售,可租用的大卡车和农用
车分别为10辆和20辆,若每辆卡车载重8t,运费960元,每辆农用车载重2.5t,运费360
元,据此,安排两种车.型,应满足那些不等关系,请列出来.
【解答过程】
【解析】设租用大卡车X辆,农用车y辆
8x4-2.5v>100
0<x<10
0<y<20
eZ
♦不等关系与不等式•考点聚焦__________________________优化整合有序识记
【考点2]不等式性质
①(对称性)a>h<=>h>a
②(传递性)a>b,b>c=>a>c
③(可加性)a>b<^>a-^-c>b+c(同向可加性)a>b,c>dna+c>b+d
(异向可减性)a>byc<d=>a-c>b-d
④(可积性)a>byc>Qac>bea>btc<0=>ac<be
⑤(同向正数可乘性)a>b>0.c>d>0^>ac>bd(异向正数可除性)
a>b,>0八,八0<c<d>=>—a>—b
cd
⑥(平方法则)〃〉匕>0n相>b"(〃£N,且〃>1)
⑦(开方法则)(2>/;>0=>\fa>y[b(nGN.Sin>1)
⑧(倒数法则)a>b>0=>—<-;a<b<0=>^->—
abab
♦不等关系与不等式•基础演练里善核心有的放知
例2若a<b<0,则下列结论中正确的是()
(A)—>一和----均不能成立;
ab|a||b|
(B)—L和」均不能成立;
a-ba|a||b|
(C)不等式一!一>,和(a+')2>(b+')2均不能成立;
a-baba
(D)不等式」」和(a+')2>(b+')2均不能成立;
IaIIb|ba
【点拨】利用不等式的性质进行判断.
【解析】,-b>0,.,・a-b>a,又aVb,.'aVa-bVO..二一>----,故-----不成
aa-ba-ba
立,・.・aVbV0,.••一〉」成立,排除A.又
ab
aVbvO,—v—vO,an—VbH—VO.
baba
|ad—|>|bH—|>O,「.(ad—)2>(bH—)?成立,排除C、D,故选B.
baba
【答案】选B.
【小结】本题考,查不等式的性质.
练习2:若a>b>c,a+b+c=O,下列不等式恒成立的是()
.(A)ac>bc(B)ab>ac
(C)aIb|>c|bI(D)a2>b2>c2
【解析】选B.illa>b>c,a+b+c=OWa>0,c<0,Vb>c,a>0,/.ab>ac.故选B.
♦不等关系与不等式•考点聚焦优化整合有序识记
【考点3】比较大小
(1)作差法;
(2)作商法;
(3)利用函数思想;
♦不等关系与不等式•基础演练单提核心有的放矢
例3已知a、b为正数,且aWh,比较a'b'与a2b+ab2.
【点拨】利用作差法结合提公因式及公式法分解因式.
【解析】(a'+b')-(aJb+abJ)=a3+bJ-a2b-ab2=aJ(a-b)-b2(a-b)=(^-b)(a2-b2)=(a-b)
2(a+b),Va>0,b>0且aWb,「・(a-b)2>0,a+b>0,(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.
【答案】a3+b3>a2b+ab-.
【小结】本题考查作差法比较大小,在分析这类问题时要注意:
(1)变形一步,最为关键,不管用什么方法变形,一定要变到能够判断差的符号为止;
(2)含有字母的,需分类讨论;
(3)如果直接比较两个数或式(均大于零)的大小,不如比较这两个数或式的平方容易,
可比较这两个数或式的平方的大小.
4
练习3:已知aeR,试比较-----与2-。的大小.
【解题过程】
44-(2+a)(2-a)4-(4-a2)
【解析】-------(2-a)=
Q+2Q+2
44
①当a<—2时,------(2—a)<0,----<2-a;
2+Q2+a
44
②当a>—2且aw0时,------(2—a)>0,----->2—tz;
2+。2+。
44
③当。=0时,------(2—。)=0,----=2-。.
2+。2+〃
例4若则下列不等式中一定成立的是()
【点拨】利用特殊值法;函数法判断不等关系.
【解析】取特殊值法,取a=2力=1,排除B与D;另外,函数/(x)=x—(是(0,+oo)上
的增函数,但函数g(x)=x+1在(0』上递减,在[1,+8)上递增,所以,当a>b>0时,
〃。)>/他)必定成立,但g(a)>g(b)未必成立,可得,
1,11,1
a——>b——=>67+—>£?+—.
abba
【答案】A.
【小结】本题考查不等关系.
练习4:若实数a、b、c满足。+c=3。2—4。+6,b-c=a2-4a+4,试确定ag、c的大小.
【解题过程】
♦不等关系与不等式•考点聚焦________________________________优化整合有序识记
【考点4】求范围
♦不等关系与不等式.•基础演练里鬟核心有的放矢,
例5设aw(0,卞,pe[0,/,则2a-1的范围是.
【点拨】利用不等式性质可加性求解.
【解析】0<2a<jt“0<2〈色,—巴W—同向不等式相加得到—工V2a—Bv兀.
366363
【答案】一£<20.-2〈兀.
63
【小结】本题考查不等式的性质.
练习5:若角a,£满足一三<[<£<三,则2a-Q的取值范围是.
22
【解题过程】
例6若二次函数f(x)的图象关于y轴对称且iWf(1)W2,3<f(2)W4,求f(3)的范
围.
【点拨】本题考查不等式性质在求范围中的应用,先用f(1)、f(2)将f(3)表”示出来,
通过f(1)、f(2)范围确a定f(3)的范围.
【解析】设f(x)=ax2+c(aWO).
a_“2)-f。)
f⑴=a+ca--------------------
3
f(2)=4a+c4f(1)-“2)
v-
3
...f(3)=9a+c=3f(2)_3f(])+4f(l);f(2)=8“2);5f(I):&⑴W.2,3Wf(2)
W4,,T0W-5f(1)W-5,24W8f(2)W32,,14W8f(2)-5f(1)W
148f(2)-5f(l)14/、
27,\~皂W9,即on《4f⑶49.
14
【答案】y<f(3)<9.
【小结】本题考查不等式的性质.
练习6:已知f(x)=o?+b,若14〃1)知2,24/(2)43,求“3)的范.围.
【解题过程】
【解析】解法1:整体代换.
令/(3)-9a+h-+b)+n(4a+,)=("2+4〃)。+("?+")/?,
5
m+4n=9,加=工,58
贝解得《q即/⑶=-q(a+b)+q(4a+b)
m+〃=1,o3J
〃=§'
IQ19
因为14a+b42,2«4a+b43,所以24〃3)4石,即/⑶的范围是2,—
解法2:巧妙换元.
令a+b=x,4a+b=y.,
.y-x,4x-y,谷谷一
则na——,b=-----,l<x<2,2<y<3.
33
因为/(3)=9a+b=8y:5x,6M8y—5xK19,
io「]9一
所以24〃3)4三,即/⑶的范围是2,—
♦不等关系与不等式•考点聚焦优化整合有序识记
【考点5】证明不等式
♦不等关系与不等式谢辞窗名来堂餐核心有的放矢,
bbc
例7已知a>b>c>0,求证:---->----->----.
a-ba-ca-c
【点拨】观察好结论中相邻两项的关系,然后寻找证明方法.
【证明】-/b>c,.\-b<-c.Aa-b<a-c.Va>b>c,.,.0<a-b<a-c.——>——.又
a-ba—c
八bb八1cbcbbc
Vb>0,z.---->----,vb>c>0,---->0.z.---->----------->---->----.
a—ba-ca-ca-ca-ca-ba-ca-c
【小结】本题考查不等式性质的运用.
练习7:⑴设x<y<0,比较与,一丫2)(》+丫)的大小;
(2)已知a,b,ce{正实数},S.a2+b2=c2,当〃eN,”>2时,比较c"与屋+〃'的大小.
【解题过程】
【解析】(1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[x2+y2-(x+y)2]="2xy(x-y).V
x<y<0,xy>0,x-y<0,/.-2xy(x-y)>0,(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
(2)•.•。也0€{。正实数},;.,,b",c">0,,-:a2+b2=c2,:.
(7)+B)=i-A0<e<1,0<7<H7neN,〃>2,,图<[7],[{I<[],
a"+"=图+…
c“
延伸:已知0<。<1,0<8<1,0<。<1.求证:(1一〃)仇(1一/?)。,(1一U)〃不能都大于!.
4
证明:假设(1一〃)/?>!,(l-/?)c>!,(l-c)a>!.
444
将(7^_而2»0,展开,得"?+””_“)吟.
(—)+《>),(IC)+“>L
2222
...(1—4)+%(1—力+。+(~)+“>3,即2>3,矛盾.
222222
/.原结论成立.
基础练习
(时间:40分钟)
1.完成一项装修工程,.请木工共需付工资每人500元,请瓦工共需付工资每人400元,现
有工人工资预算20000元,设木工x人,瓦工y人,则工人.满足的关系式是()
(A)5x+4y<200(B)5x+4y)200
(C)5x+4y=200(D)5x+4yW200
2.(昌平区2015届高三上学期期末)已知a>6>0,则下列不等式成立的是()
A.a2<b2B.->yC.\a\<\b\D.2">2〃
ab
3.若a,ACER,且。>2,则下列不等式一定成立的是()
2
c7
A.a+c>b-cB.ac>hcC.----->0D.(a-b)c>0
a-b
4.已知a,b,c,d均为实数,有下列命题:
①若ab〉0,bc-ad>0,则上-《>0;
ah
②若ab〉0,--->0,则bc-ad>0;
ab
cd
③若bc-ad>0,----->0,则ab〉0.
ab
其中正确命题的个数是.
5.已知a,b,c为不全相等的实数,P=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c),那么P与Q的大小关系
是()
(A)P>Q(B)P2Q
(C)P<Q(D)PWQ
6.若—l<a<2,-2<b<l,则a—b的取值范围是.
7.已知一l<x+y<4且2<x—y<3,则z=2x—3y的取值范围是.(用区
间表示)
8.已知.函数=a/—c满足一4WF(1)W—l,—1W.F(2)W5.
求.证:一IWf(3)W20.
9.设长方体的体对角线长为1,经过一个顶点的三条棱长分别为。,b,c.求证:
ab+bc+ca<l.
10.已知。力,c是不全相等的正数.求证:a(b2+c2)+/?(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
参考答案
1【解析】选D.据题意知,500x+400y^20000,即5x+4yW
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