2015年高中数学 不等关系与不等式练习 新人教版必修5

不等关系与不等式

♦不等关系与不等式•考点聚焦_____________________________优化整合有序识记

【考点1】不等关系

两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a<b;a=b；a>boa-b>0；

a<ba-b<0；a=ba-b=0.

♦不等关系与不等式•基础演练里握楂心有的放矢

例1某人上午7时乘摩托艇以v海里/时(4<v<20)的速度从力港匀速出发，向距/港50

海里的方港驶去，到达6港后马.上乘汽车以卬千米/时(30Ww<100)的速度从6港匀速出

发，向距6港300千米的C市驶去，应在同一天下午4时至9时到达C市，则汽车所需时

间x小时与摩托艇所需时间y小时应满足怎样的不等关系为

【点拨】根据实际问题抓住关键词，如至少、最多、不少于等，注意变量的取值范围.

【解析】在同一天下午4时至9时到达，市,可得9Wx+y<14；上午7时乘摩托艇以u海

里/时(4<v<20)的速度从4港匀速出发，向距/港50海里的8港驶去可得?<y<y；

到达6港后马.上乘汽车以w千米/时(30<w<100)的速度从方港匀速出发，向距8港300

x+y>9,

x+y<14,

千米的C市驶去3WxK10.故<34x410,.

525

122

x+y>9,

x+y<14,

【答案】«3<x<10,

525

1—2<y<2―,

【小结】本题考查根据实际问题列不等关系式.

练习1：某蔬菜.收购点租用车辆，将100t新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用

车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8t,运费960元，每辆农用车载重2.5t,运费360

元，据此，安排两种车.型，应满足那些不等关系，请列出来.

【解答过程】

【解析】设租用大卡车X辆，农用车y辆

8x4-2.5v>100

0<x<10

0<y<20

eZ

♦不等关系与不等式•考点聚焦__________________________优化整合有序识记

【考点2]不等式性质

①（对称性）a>h<=>h>a

②（传递性）a>b,b>c=>a>c

③（可加性）a>b<^>a-^-c>b+c（同向可加性）a>b,c>dna+c>b+d

（异向可减性）a>byc<d=>a-c>b-d

④（可积性）a>byc>Qac>bea>btc<0=>ac<be

⑤（同向正数可乘性）a>b>0.c>d>0^>ac>bd（异向正数可除性）

a>b，>0八,八0<c<d>=>—a>—b

cd

⑥（平方法则）〃〉匕>0n相>b"（〃£N,且〃>1）

⑦（开方法则）（2>/;>0=>\fa>y[b（nGN.Sin>1）

⑧（倒数法则）a>b>0=>—<-;a<b<0=>^->—

abab

♦不等关系与不等式•基础演练里善核心有的放知

例2若a<b<0,则下列结论中正确的是（）

（A）—>一和----均不能成立；

ab|a||b|

（B）—L和」均不能成立；

a-ba|a||b|

(C)不等式一!一>，和(a+')2>(b+')2均不能成立；

a-baba

(D)不等式」」和(a+')2>(b+')2均不能成立；

IaIIb|ba

【点拨】利用不等式的性质进行判断.

【解析】，-b>0,.,・a-b>a,又aVb,.'aVa-bVO..二一>----，故-----不成

aa-ba-ba

立，・.・aVbV0,.••一〉」成立，排除A.又

ab

aVbvO,—v—vO,an—VbH—VO.

baba

|ad—|>|bH—|>O,「.(ad—)2>(bH—)?成立，排除C、D,故选B.

baba

【答案】选B.

【小结】本题考，查不等式的性质.

练习2：若a>b>c,a+b+c=O,下列不等式恒成立的是()

.(A)ac>bc(B)ab>ac

(C)aIb|>c|bI(D)a2>b2>c2

【解析】选B.illa>b>c,a+b+c=OWa>0,c<0,Vb>c,a>0,/.ab>ac.故选B.

♦不等关系与不等式•考点聚焦优化整合有序识记

【考点3】比较大小

(1)作差法；

(2)作商法；

(3)利用函数思想;

♦不等关系与不等式•基础演练单提核心有的放矢

例3已知a、b为正数,且aWh,比较a'b'与a2b+ab2.

【点拨】利用作差法结合提公因式及公式法分解因式.

【解析】(a'+b')-(aJb+abJ)=a3+bJ-a2b-ab2=aJ(a-b)-b2(a-b)=(^-b)(a2-b2)=(a-b)

2(a+b),Va>0,b>0且aWb,「・(a-b)2>0,a+b>0,(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.

【答案】a3+b3>a2b+ab-.

【小结】本题考查作差法比较大小，在分析这类问题时要注意：

(1)变形一步，最为关键，不管用什么方法变形，一定要变到能够判断差的符号为止；

(2)含有字母的，需分类讨论；

(3)如果直接比较两个数或式(均大于零)的大小，不如比较这两个数或式的平方容易,

可比较这两个数或式的平方的大小.

4

练习3：已知aeR,试比较-----与2-。的大小.

【解题过程】

44-(2+a)(2-a)4-(4-a2)

【解析】-------(2-a)=

Q+2Q+2

44

①当a<—2时，------(2—a)<0,----<2-a；

2+Q2+a

44

②当a>—2且aw0时，------(2—a)>0,----->2—tz；

2+。2+。

44

③当。=0时，------(2—。)=0,----=2-。.

2+。2+〃

例4若则下列不等式中一定成立的是()

【点拨】利用特殊值法；函数法判断不等关系.

【解析】取特殊值法，取a=2力=1,排除B与D；另外，函数/(x)=x—(是(0,+oo)上

的增函数，但函数g(x)=x+1在(0』上递减，在［1,+8)上递增，所以，当a>b>0时,

〃。)>/他)必定成立，但g(a)>g(b)未必成立，可得，

1,11,1

a——>b——=>67+—>£?+—.

abba

【答案】A.

【小结】本题考查不等关系.

练习4：若实数a、b、c满足。+c=3。2—4。+6,b-c=a2-4a+4,试确定ag、c的大小.

【解题过程】

♦不等关系与不等式•考点聚焦________________________________优化整合有序识记

【考点4】求范围

♦不等关系与不等式.•基础演练里鬟核心有的放矢，

例5设aw(0,卞,pe[0,/,则2a-1的范围是.

【点拨】利用不等式性质可加性求解.

【解析】0<2a<jt“0<2〈色，—巴W—同向不等式相加得到—工V2a—Bv兀.

366363

【答案】一£<20.-2〈兀.

63

【小结】本题考查不等式的性质.

练习5：若角a,£满足一三<[<£<三，则2a-Q的取值范围是.

22

【解题过程】

例6若二次函数f(x)的图象关于y轴对称且iWf(1)W2,3<f(2)W4,求f(3)的范

围.

【点拨】本题考查不等式性质在求范围中的应用，先用f(1)、f(2)将f(3)表”示出来,

通过f(1)、f(2)范围确a定f(3)的范围.

【解析】设f(x)=ax2+c(aWO).

a_“2)-f。)

f⑴=a+ca--------------------

3

f(2)=4a+c4f(1)-“2)

v-

3

...f(3)=9a+c=3f(2)_3f(])+4f(l)；f(2)=8“2)；5f(I)：&⑴W.2,3Wf(2)

W4,，T0W-5f(1)W-5,24W8f(2)W32,，14W8f(2)-5f(1)W

148f(2)-5f(l)14/、

27,\~皂W9,即on《4f⑶49.

14

【答案】y<f(3)<9.

【小结】本题考查不等式的性质.

练习6：已知f(x)=o?+b,若14〃1)知2,24/(2)43,求“3)的范.围.

【解题过程】

【解析】解法1:整体代换.

令/(3)-9a+h-+b)+n(4a+，)=("2+4〃)。+("?+")/?,

5

m+4n=9,加=工，58

贝解得《q即/⑶=-q(a+b)+q(4a+b)

m+〃=1,o3J

〃=§'

IQ19

因为14a+b42,2«4a+b43,所以24〃3)4石，即/⑶的范围是2,—

解法2:巧妙换元.

令a+b=x,4a+b=y.,

.y-x,4x-y,谷谷一

则na——,b=-----,l<x<2,2<y<3.

33

因为/(3)=9a+b=8y：5x,6M8y—5xK19,

io「]9一

所以24〃3)4三，即/⑶的范围是2,—

♦不等关系与不等式•考点聚焦优化整合有序识记

【考点5】证明不等式

♦不等关系与不等式谢辞窗名来堂餐核心有的放矢，

bbc

例7已知a>b>c>0,求证：---->----->----.

a-ba-ca-c

【点拨】观察好结论中相邻两项的关系，然后寻找证明方法.

【证明】-/b>c,.\-b<-c.Aa-b<a-c.Va>b>c,.,.0<a-b<a-c.——>——.又

a-ba—c

八bb八1cbcbbc

Vb>0,z.---->----,vb>c>0,---->0.z.---->----------->---->----.

a—ba-ca-ca-ca-ca-ba-ca-c

【小结】本题考查不等式性质的运用.

练习7：⑴设x<y<0,比较与，一丫2）（》+丫）的大小；

（2）已知a,b,ce｛正实数｝,S.a2+b2=c2,当〃eN,”>2时，比较c"与屋+〃'的大小.

【解题过程】

【解析】(1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[x2+y2-(x+y)2]="2xy(x-y).V

x<y<0,xy>0,x-y<0,/.-2xy(x-y)>0,(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

(2)•.•。也0€｛。正实数｝,；.，，b",c">0,,-：a2+b2=c2,：.

(7)+B)=i-A0<e<1,0<7<H7neN,〃>2,,图<[7],[｛I<[],

a"+"=图+…

c“

延伸：已知0＜。＜1,0＜8＜1,0＜。＜1.求证：（1一〃）仇（1一/?）。,（1一U）〃不能都大于!.

4

证明：假设(1一〃)/?>!，(l-/?)c>!，(l-c)a>!.

444

将(7^_而2»0,展开，得"？+””_“)吟.

(—)+《>),(IC)+“>L

2222

...(1—4)+%(1—力+。+(~)+“>3,即2>3,矛盾.

222222

/.原结论成立.

基础练习

(时间：40分钟)

1.完成一项装修工程，.请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现

有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人,则工人.满足的关系式是()

(A)5x+4y<200(B)5x+4y)200

(C)5x+4y=200(D)5x+4yW200

2.(昌平区2015届高三上学期期末)已知a>6>0,则下列不等式成立的是()

A.a2<b2B.->yC.\a\<\b\D.2">2〃

ab

3.若a,ACER,且。>2,则下列不等式一定成立的是()

2

c7

A.a+c>b-cB.ac>hcC.----->0D.(a-b)c>0

a-b

4.已知a,b,c,d均为实数，有下列命题：

①若ab〉0,bc-ad>0,则上-《>0；

ah

②若ab〉0,--->0,则bc-ad>0；

ab

cd

③若bc-ad>0,----->0,则ab〉0.

ab

其中正确命题的个数是.

5.已知a,b,c为不全相等的实数，P=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c)，那么P与Q的大小关系

是()

(A)P>Q(B)P2Q

(C)P<Q(D)PWQ

6.若—l<a<2,-2<b<l,则a—b的取值范围是.

7.已知一l<x+y<4且2<x—y<3,则z=2x—3y的取值范围是.(用区

间表示)

8.已知.函数=a/—c满足一4WF(1)W—l,—1W.F(2)W5.

求.证：一IWf(3)W20.

9.设长方体的体对角线长为1,经过一个顶点的三条棱长分别为。，b,c.求证:

ab+bc+ca<l.

10.已知。力,c是不全相等的正数.求证：a(b2+c2)+/?(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.

参考答案

1【解析】选D.据题意知,500x+400y^20000,即5x+4yW