北师大版 八年级数学 分式方程的解法及应用

至分式后程的解茫及应用＞

会课前删试

【题目】课前测试

方程二|=击的解为()

x-3x+1

A.x=-lB.x=lC.x=2D.x=3

【答案】B

【解析】方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解.

方程的两边同乘(x-3)(x+1)得

(x-2)(x+1)=x(x-3),

解得：x=l.

经检验x=l是原分式方程的解.

故选：B.

总结：此题考查了分式方程的解法.此题I：匕较简单，注意掌握转化思想的应用，注意解分式

方程一定要验根.

【难度】3

【题目】课前测试

某工厂计划生产1500个零件，但是在实际生产时.....求实际每天生产零件的个数，在

这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程粤•里上=10，则题目中用"……"

表示的条件应是（）

A.每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成

B.每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成

C.每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成

D.每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成

【答案】B

【解析】设实际每天生产零件x个，则原计划每天生产零件（x-5）个，

那么原计划比实际少5个.

15<^500_=10，代表的是原计划生产天数比实际生产天数多io天，

x-5x

所以实际每天比原计划多生产5个，实际提前10天完成.

故选：B.

总结：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数,

找出合适的等量关系，列方程即可.

【难度】3

翳而衣定心

适用范围北师大版，初二年级，成绩中等以及中等偏上

知识点概述：分式方程是“数与代数"中重要的一部分，解决问题过程中需用到建模方法、

分式的基本性质、等式的基本性质等基础知识，使原有知识在解决问题过程中得以升华，同

时列分式方程这一建模过程为初三学习较难的一元二次方程、二次函数的列、解提供了练兵

的机会，知识体系上呈现螺旋式的上升，分式方程在其中具有承上启下的作用.

适用对象：成绩中等以及中等偏上

注意事项:大部分学生试听这个内容主要想听分式方程的解法及列分式方程解应用题.

重点选讲：

r*■MB••MM••OiM••MB•-MM―WQ

①分式方程的解法

i...

②分式方程的增根

*

③分式方程的应用

如出楮,锂

您如出嫌拽I:分式右冠由解注

解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘最简

公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，

此时分式无意义，a不是分式方程的解，所以解分式方程时必须验根.

解分式方程的一般步骤：

一化二解三检验

分式方程I蠹量乘”整当史置I

最简公分母

解整式方程

I，溟分式方程的解|.歌镣।强鬻分.曰电垂

如坦精锂2：分式自理由理想

一：曾〕吏得原分式方程的分母为零的根，我们称之为原方程的增根.

增根是如何产生的？

容我三思..........

我们在，将分式方程转化为整式方程

的时候，在方程的两边同乘了一个使分母为

零的整式！对于整式方程来说，求出的根成

立，而对于原分式方程来说，分式无意义，

、所以这个根是原分式方程的增根./人,

◎如诅幡(捶3：分式右程的应用

列方程解应用题的一般步骤：

设、歹！k解、验、答

分式方程应用题的常见类型：

骸的表藉第

【题目】1型1：分式方程的解;

2x+2x+2x2-2

解分式方程：

xX-2"X2-2X

【答案】x=-1

【解析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.依

此即可求解.

2x+2x+2_X、-2

xx-2-X2-2X'

去分母，得(2x+2)(x-2)-x(x+2)=x2-2,

去括号，得-4x=2,

解得x=-2,

经检验，x=4是原分式方程的解.

总结：考查了解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的

分母为0,所以解分式方程时，一定要检验.

【难度】3

【题目】题型1变式练习1:分式方程的解方

方程1十?的解为()

2xx+3

3

A.X=-1B.x=0C.x=—D.x=l

5

【答案】D

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到

分式方程的解.

去分母得：x+3=4x,

解得：x=l,

经检验x=l是分式方程的解，

故选：D.

总结：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

【难度】2

题型1变式练习2:分式方程的解法

236

解分式方程x+i+x-i卞1，分以下四步，其中，错误的一步是()

A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)

B.方程两边都乘(x-1)(x+1)，得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6

C.解这个整式方程，得x=l

D.原方程的解为x=l

【答案】D

【解析】

分式方程的最简公分母为(x-1)(x+1),

方程两边乘以(X-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6,

解得：x=l,

经检验x=l是增根，分式方程无解.

故选：D.

总结：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是"转化思想"，把分式方程转化为

整式方程求解.解分式方程一定注意要验根，使分母为0的根不是分式方程的解.

【难度】3

【题目】展

型1变式练习3:分式方程的解;

解方程：

(2)-o------"I--------2~~~2~•

x2+3x3x-x'x'-9

【答案】

(l)x=-4;

(2)x=-l.

【解析】各分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得

到分式方程的解.

(1)去分母得：1-x-(x+3)=-(x-2),

去括号得：l-x-x-3=-x+2,

解得：x=-4,

经检验x=-4是分式方程的解；

(2)最简公分母为：x(x+3)(x-3),

去分母得:2(x-3)-3(3+x)=14x,

去括号得：2x-6-3x-9=14x,

解得：x=-l,

经检验x=-l是分式方程的解.

总结此题考查了解分式方程利用了转化的思想注意两边乘上最简公分母时要套上括号，

解分式方程注意要检验.

【难度】3

【题目】题型2:分式方程的增根

x+1k

若分式方程有增根，则增根可能是()

xJ.xT

A.1B.-1C.1或-1D.0

【答案】C

【解析】

•.•原方程有增根，

..最简公分母(x+1)(x-1)=0,

解得x=-l或1,

，增根可能是：士1.

故选：C.

总结：本题考查了分式方程的增根，熟记分式方程中增根的定义是解题的关键.

【难度】3

【题目】题型2变式练习1:分式方程的增根

当m=时，解分式方程反=£匚会出现增根.

x-33-x

【答案】2

【解析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知

数的值.

分式方程可化为：x-5=-m,

由分母可知，分式方程的增根是3,

当x=3时,3-5=-m,解得m=2,

故答案为：2.

总结：增根问题可按如下步骤进行：

①让最简公分母为0确定增根；

②化分式方程为整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

【难度】3

【题目】题型2变式练习2:分式方程的增根

若关于X的分式方程不7r无解，则m=.

【答案】-4或6或1

【解析】

23

该分式方程■无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约

去分母后，整式方程无解.

言二去分母后，为2(x+2)+mx=3(x-2).

(1)x=-2为原方程的增根,BP2x(-2+2)-2m=3x(-2-2),

解得m=6;

(2)x=2为原方程的增根,§P2x(2+2)+2m=3x(2-2),

解得m=-4;

(3)2(x+2)+mx=3(x-2)化简得:(m-1)x=-10.

当m=l时，整式方程无解.

综上所述，当m=-4或m=6或m=l时，原方程无解.

总结：分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形，分

类讨论是此题的难点，最后一种情况容易遗漏，需要强调.

【难度】4

【题目】题型3:分式方程的应用

某校组织学生去9km外的郊区游玩，一部分学生骑自行车先走，半小时后，其他学生乘公

共汽车出发，结果他们同时到达.已知公共汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速

度和公共汽车的速度分别是多少？

【答案】自行车的速度是12km/h,公共汽车的速度是36km/h.

【解析】

设自行车的速度为xkm/h,则公共汽车的速度为3xkm/h,根据时间=路程+速度结合乘

公共汽车比骑自行车少用*小时，即可得出关于x的分式方程，

99_1

VS7"7,

解得：x=12,

经检验，x=12是原分式方程的解，

.-.3x=36.

答：自行车的速度是12km/h,公共汽车的速度是36km/h.

总结：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

【难度】3

【题目】题型3变式练习1:分式方程的应用

刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元，几天后，遇上这种大米8折出

售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40kg.这种大米的原价是多少？

【答案】这种大米的原价是每千克7元.

【解析】

设这种大米的原价是每千克x元，根据两次一共购买了40kg列出方程，

105140

得/e----+7Tb=40,

x0.8x

解得：x=7.

经检验，x=7是原方程的解.

答：这种大米的原价是每千克7元.

总结：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

【难度】3

【题目】题型3变式练习2:分式方程的应用

某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40

天时间完成整个工程：当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该

田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队

共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程.

(1)若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？

(2)若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？

【答案】

(1)若二号施工队单独施工，完成整个工程需要60天；

(2)若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要24天.

【解析】

(1)设二号施工队单独施工需要x天，则一号施工队的工作效率为《，二号施工队的工

40

作效率为,，根据工作总量=工作时间x工作效率，一号施工队完成的工作量+二号施工队

X

完成的工作量=总工程(单位1),可得方程

40-1440-5-141

解得：x=60,

经检验,x=60是原分式方程的解.

答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要60天.

(2)根据工作时间=工作总量+工作效率，

可得出七十击々4(天).

答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要24天.

总结：本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方

程；(2)根据数量关系，列式计算.

【难度】4

【题目】题型3变式练习3:分式方程的应用

为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支

援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的

棵数是.

【答案】120棵

【解析】

设原计划每天种树x棵，由等量关系：原计划所用天数-实际所用天数=4,可列方程：

960960.

丁一次二4,

解得：x=120,

经检验:x=120是原分式方程的解.

总结：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.

【难度】3

【题目】兴趣篇1

用换元法解分式方程：-^^=2.

XX-1

解：设"=m,则原方程可化为m-W=2;去分母整理得：m2-2m-3=0

XID

Y-1y—111

解得：mi=-l,m?=3即：----或--------=3;解得：或x=-不.

xx22

经检验：x=^1■或X=J是原方程的解.故原方程的解为：X11,X2=4.

请同学们借鉴上面换元法解分式方程的方法，先解下列方程，然后再化简求值：

v4-99Y+9a-2./a+28a、

已知a是方程（半）2-空）-2=0的根，并求代数式%——）的值？

x-1x-1a1a/a-4

【答案展

【解析】

x+2

先仿照题例，设•二m,将原方程化为m2-m-2=0,然后解这个整式方程，再还元求得原

x-1

方程的解，另外要注意求代数式的值时，注意a的取值之合理性.

zx+2)7詈)30

x-1

工x+2

设=m,则原方程可化为

m2-m-2=0,

解这个整式方程得：

mi=2,m2=-l

解得：x=4或x=-J

经检验：x=4或x=-*是原方程的解.

故原方程的解为：xi=4,x2=-1.

因为a是方程苦)2-普)-2=0的根,

X-1X-1

所以,a=4或a=-*

a~2.(a+2_8a、

_a-2.(a+2)-8a

2

a-la-4

9

_a-2.a，4a+4

a-l,a2_4

_a-2(a+2)(a-2)

a-l(a-2)2

a+2

a-l

贝IJ①当=4时，原式=石=*=2;

aa-14-1

2+2

②当a=-[时，原式=旦==——=-1

za-11,

2

即：所求代数式的值为2或-1

总结：此题是换元法解分式方程，换元法解分式方程是难点，关键是换元之后把方程化成整

式方程，要将所解整式方程的解还原回来，求出原分式方程的解，并要进行验根.

【难度】4

【题目】兴趣篇2

“互联网+"已经成为我们生活中不可或缺的一部分，例如0F0.摩拜等互联网共享单车

就为城市短距离出行难提俱了解决方案，小明每天乘坐公交汽车上学，他家与公交站台相距

1.2km，现在每天租用共享单车到公交站台所花时间比过去步行少12min，已知小明骑自行

车的平均速度是步行平均速度的2.5倍，求小明步行的平均速度是多少km/h?

【答案】小明步行的平均速度是3.6km/h.

【解析】

设小明步行的平均速度是xkm/h,小明骑自行车的平均速度是2.5xkm/h,根据小明家与

公交站台相距1.2km,现在每天租用共享单车到公交站台所花时间比过去步行少12min,

可列方程

1.21.212

x2.5x60

解得:x=3.6,

经检验，x=3.6是所列方程的解，且符合题意.

答：小明步行的平均速度是3.6km/h.

总结：本题考查了分式方程的应用，关键设出速度，以时间作为等量关系列方程求解.

【难度】3

【题目】选试题1

21

分式方程1~x7-士=1的解为()

(x+1)2x+1

2

A.x=lB.x=0C.x=-yD.x=-l

【答案】C

【解析】

首先找出分式的最简公分母，进而去分母，再解分式方程即可.

去分母得：X2-(X+l)=(X+1)2,

整理得:-3x-2=0,

9

解得：X=-y,

9

检验：当X=4时，(X+l)2*0,

9

故X是原分式方程的根.

故选：c.

总结：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是"转化思想"，把分式方程