专题08图形的相似综合题型(含压轴)(原卷版+解析)-学易金卷：2023年中考数学二模试题分项汇编(浙江专用)

专题08图形的相似综合题型（含压轴）一、单选题1．（2023·浙江温州·校联考二模）如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，则与周长比是（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，在中，，，D在上，且，则的长是（

）A．2 B． C． D．3．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）下列各组数中，成比例的是（

）．A．1，，， B．1，4，2，C．5，6，2，3 D．，，1，4．（2023·浙江宁波·统考二模）将的直角边、斜边按如图方式构造正方形和正方形，在正方形内部构造矩形使得边IH刚好过点D，则已知哪条线段的长度就可以求出图中阴影部分的面积（

）A．AB B．AC C．BC D．FH5．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，分别以它的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，过点C作于点L，交于点M．若四边形和四边形的面积分别是，则的长为（

）A．160 B．110 C． D．6．（2023·浙江温州·统考二模）如图，已知D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且BD=3AD．那么AE:AC等于（

）A．2:3 B．1:2 C．1:3 D．1:47．（2023·浙江·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上（不与点B，C重合，点F在边AB上，且，连接AE，DF，对角线AC与DF交于点G，连接BG，交AE于点H．若，则（

）A． B． C． D．8．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．作．若，则的值为（

）A． B． C． D．二、填空题9．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，若四边形的面积为6，则__________．10．（2023·统考二模）如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是____mm．11．（2023·浙江丽水·统考二模）如图，在中，，，分别是边，上的点，且．记，，的周长分别是，，．

（1）若，则的值是_____．（2）求的最大值是_____．12．（2023·浙江·模拟预测）如图，在锐角三角形中，是边上的高线，是边上的中线．若，，，则________（用含a的代数式表示）．13．（2023·浙江宁波·统考三模）如图，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的E处，得到四边形，连接，若，，则_____，______．14．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点M是BC边上的动点（不与B，C重合），点N是AM的中点，过点N作EF⊥AM，分别交AB，BD，CD于点E，K，F，设BM＝x．（1）AE的长为______（用含x的代数式表示）；（2）设EK＝2KF，则的值为______．三、解答题15．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，是上一点，，．(1)求证：．(2)若，求的度数．16．（2023·浙江·模拟预测）如图，点C是边上一点，且满足．(1)证明：；(2)若，求的长．17．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，点E在边上移动（点E不与点B，C重合），点D，F分别在边和上，且满足．(1)求证：．(2)若，且，求的值．18．（2023·浙江·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．(1)证明：△ABD∽△ACE；(2)若，，．①求EC的长．②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且，求CG的长．19．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接DF．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)连接DE，求证：△BDE△BAD(3)若BE＝，sinB＝，求AD的长．20．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AC=4，AD=2，，求BC的长．21．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）如图所示，△ABC为Rt△，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E为边AC上的点，连结DE，过点E作EF⊥ED交BC于F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，已知AC＝8．（1）如图1所示，当BC＝6，点G在边AB上时，求DE的长．（2）如图2所示，若，点G在边BC上时，求BC的长．（3）①若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求BC的长．②若（n为正整数），且点G恰好落在Rt△ABC的边上，请直接写出BC的长．22．（2023·浙江·模拟预测）已知E是正方形边上任意一点，(1)将沿翻折至，①如图1，若F点恰好在对角线上，，求的长．②如图2，若点E是中点，若，射线与边交于点G，求四边形的面积．(2)如图3，点Q是边上任意一点，记与的交于点H，射线与射线交于点P，求证：．23．（2023·浙江·模拟预测）点E、F分别为正方形边、上一点，满足，连结和．(1)求证：；(2)过点E作交于点M，垂足为点N．①判断的形状，并说明理由；②当M在边上时，设，和的面积分别是和，求证：24．（2023·浙江宁波·统考二模）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形．(1)[初步理解]如图1，四边形中，对角线平分，，求证：和为叠似三角形．(2)[尝试应用]在（1）的基础上，如图2，若，，，求四边形的周长．(3)[拓展提高]如图3，在中，D是上一点，连接，点E在上，且，F为中点，且．若，，求的值．25．（2023·浙江宁波·校联考二模）四边形ABCD和四边形AMPN有公共顶点A，连接BM和DN．(1)如图1，若四边形ABCD和四边形AMPN都是正方形，当正方形AMPN绕点A旋转角（）时，BM和DN的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图2，若四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形，且，判断BM和DN的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若，矩形AMPN绕点A逆时针旋转角（），当时，求线段DN的长．26．（2023·浙江温州·统考二模）如图1，在边长为1的正方形中，E是上的动点，连接，点F在线段上，连接．点G是的中点，以，为邻边构造，其中，分别交于点M，N．

(1)求的长．(2)当点F为的中点时，求的值．(3)如图2，已知点F满足．①若的面积等于四边形的面积，求的值．②当的一边所在的直线恰好经过正方形的顶点B或C时，求的值．27．（2023·浙江金华·统考二模）如图1，在矩形中，，，动点P从点C出发，以1个单位每秒速度，沿线段运动，同时，动点Q从点B出发，以2个单位每秒速度，沿射线运动，当点P到达点D时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t秒．(1)请用含t的代数式表示线段的长．(2)如图2，与交于点M，当时，求与的面积之比．(3)在点P，Q的整个运动过程中，直线上是否存在点E（C，E不重合），使以为直角边的，与以点P，Q，C三点为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，求t的值．专题08图形的相似综合题型（含压轴）一、单选题1．（2023·浙江温州·校联考二模）如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，则与周长比是（

）A． B． C． D．答案:A分析：根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可．【详解】解：∵与是位似图形，∴，∵，∴相似比为：，∴与周长比等于相似比；故选A．【点睛】本题考查相似三角形的性质．熟练掌握位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，是解题的关键．2．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，在中，，，D在上，且，则的长是（

）A．2 B． C． D．答案:D分析：根据已知易得，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，然后利用平角定义可得，从而可得，进而可得，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【详解】解：，，，，，，，，，，，，，故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角构造相似模型是解题的关键．3．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）下列各组数中，成比例的是（

）．A．1，，， B．1，4，2，C．5，6，2，3 D．，，1，答案:D分析：根据比例的定义，对选项逐个判断即可．【详解】解：A．，不符合题意；B．，不符合题意；C．，不符合题意；D．，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了比例的定义，如果四个数满足，则这四个数成比例．4．（2023·浙江宁波·统考二模）将的直角边、斜边按如图方式构造正方形和正方形，在正方形内部构造矩形使得边IH刚好过点D，则已知哪条线段的长度就可以求出图中阴影部分的面积（

）A．AB B．AC C．BC D．FH答案:C分析：过D做于M，设，，，证明，可得即，从而求得，再根据进行计算即可．【详解】解：过D做于M，设，，，由图可得：，，∵，，∴，∴，即，，，故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．5．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，分别以它的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，过点C作于点L，交于点M．若四边形和四边形的面积分别是，则的长为（

）A．160 B．110 C． D．答案:C分析：设则先证明四边形是矩形，则得到再证，得到，则，可得，即可得到的长．【详解】解：设则∵四边形形是正方形，，∴，∴四边形是矩形，∴∴∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即的长为．故选：C【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、算术平方根等知识，得到是解题的关键．6．（2023·浙江温州·统考二模）如图，已知D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且BD=3AD．那么AE:AC等于（

）A．2:3 B．1:2 C．1:3 D．1:4答案:D【详解】解：∵DE∥BC，∴，∵BD=3AD，∴，∴AE:AC=1:4；故选D.7．（2023·浙江·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上（不与点B，C重合，点F在边AB上，且，连接AE，DF，对角线AC与DF交于点G，连接BG，交AE于点H．若，则（

）A． B． C． D．答案:A分析：设，则，证明和，推出，作，证明，得到，，设，则，推出，在中，利用勾股定理求得，代入计算即可求解．【详解】解：设，则，∵正方形ABCD中，，∴，，∴，∴，，∵对角线与交于点G，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，作，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，设，则，∴，∴，在中，，即，整理得，∴，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建等量关系是解决的问题．8．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．作．若，则的值为（

）A． B． C． D．答案:A分析：连接，设，先证，得出，即，根据四个三角形全等得出，可求，得出点E为的中点，根据线段垂直平分线性质得出，再证四边形为平行四边形，得出，然后证明四边形为平行四边形，得出，根据勾股定理求出、，据此即可求解．【详解】解：连接，设，∵，四边形为正方形，∴，，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴点E为的中点，∵，∴，∵四边形为正方形，∴，即，又∵，∴四边形为平行四边形，∴，∵，∴，∴，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，在中，，∴，在中，，∴．故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等性质，三角形相似判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，线段的比，掌握正方形的性质，三角形全等性质，三角形相似判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，线段的比是解题关键．二、填空题9．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，若四边形的面积为6，则__________．答案:18分析：先证明，推出，求得，再证明，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵四边形的面积为6，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．（2023·统考二模）如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是____mm．答案:48【详解】试题分析：设该正方形的边长是a，则符合题意得式子=考点：比例分析点评：本题主要考查了图形的线段比例的分析，通过比例的大小从而列比例式求解11．（2023·浙江丽水·统考二模）如图，在中，，，分别是边，上的点，且．记，，的周长分别是，，．

（1）若，则的值是_____．（2）求的最大值是_____．答案:分析：（1）根据已知得出，，若，则，是等腰直角三角形，进而求得的值，即可求解；（2）设，，，根据已知证明，进而得出，，分别求得，得到关于的关系式，根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：（1）∵在中，，∴,∵，∴，∴,，∴∴，若，则，是等腰直角三角形，∴，∴，，故答案为：．（2）设，，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴的最大值是．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．12．（2023·浙江·模拟预测）如图，在锐角三角形中，是边上的高线，是边上的中线．若，，，则________（用含a的代数式表示）．答案:分析：连接，根据直角三角形斜边中线的性质可得出，再根据题意结合三角形外角的性质易证，即得出，说明为等腰直角三角形，得出．设，则，，根据勾股定理可求出．最后在中，利用勾股定理列出关于x的方程，解出x的值即可求解．【详解】如图，连接．∵是边上的高线，∴．∵是边上的中线，∴点E为中点，∴，∴．∵，∴．又∵，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴．设，则，，∴．∵，即，解得：，∴．故答案为：．【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线是解题关键．13．（2023·浙江宁波·统考三模）如图，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的E处，得到四边形，连接，若，，则_____，______．答案:分析：过G作于M，过P作，垂足为N，证明，推出，据此可求得；再根据三角函数推出，设，则，根据勾股定理表示，在中，，，求出，即可求出面积．【详解】解：过G作于M，过P作，垂足为N，∵矩形沿折叠，使点A落在边上的E处，得到四边形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∴，∴；∵折叠矩形，∴，∴，∵，∴，设，则，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，，∴，，解得，，∴；故答案为：，．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形，正方形的性质，翻折变换，解直角三角形，熟练掌握这些知识点的综合应用，善于在复杂的图形中找出基本图形是解题关键．14．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点M是BC边上的动点（不与B，C重合），点N是AM的中点，过点N作EF⊥AM，分别交AB，BD，CD于点E，K，F，设BM＝x．（1）AE的长为______（用含x的代数式表示）；（2）设EK＝2KF，则的值为______．答案:x分析：（1）根据勾股定理求得AM，进而得出AN，证得△AEN∽△AMB，由相似三角形的性质即可求得AE的长；（2）连接AK、MG、CK，构建全等三角形和直角三角形，证明AK＝MK＝CK，再根据四边形的内角和定理得∠AKM＝90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得NK＝AM＝AN，然后根据相似三角形的性质求得＝＝x，即可得出＝x．【详解】（1）解：∵正方形ABCD的边长为1，BM＝x，∴AM＝，∵点N是AM的中点，∴AN＝，∵EF⊥AM，∴∠ANE＝90°，∴∠ANE＝∠ABM＝90°，∵∠EAN＝∠MAB，∴△AEN∽△AMB，∴＝，即＝，∴AE＝，故答案为：；（2）解：如图，连接AK、MG、CK，由正方形的轴对称性△ABK≌△CBK，∴AK＝CK，∠KAB＝∠KCB，∵EF⊥AM，N为AM中点，∴AK＝MK，∴MK＝CK，∠KMC＝∠KCM，∴∠KAB＝∠KMC，∵∠KMB+∠KMC＝180°，∴∠KMB+∠KAB＝180°，又∵四边形ABMK的内角和为360°，∠ABM＝90°，∴∠AKM＝90°，在Rt△AKM中，AM为斜边，N为AM的中点，∴KN＝AM＝AN，∴＝，∵△AEN∽△AMB，∴＝＝x，∴＝x，故答案为：x．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边.上的中线的性质，证得KN=AN是解题的关键．三、解答题15．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，是上一点，，．(1)求证：．(2)若，求的度数．答案:(1)见解析(2)分析：（1）根据三角形内角和定理表示出，根据平角的定义可得，即可得证；（2）根据（1）的结论证明，根据已知证明，根据相似三角形的性质得出，根据特殊角的三角函数值即可求解．【详解】（1）证明：在中，在中，∵，．∴，又∵，∴，∴；（2）∵，，∴∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的意义，相似三角形的性质与判定，根据特殊角的正切值求角度，熟练掌握以上知识是解题的关键．16．（2023·浙江·模拟预测）如图，点C是边上一点，且满足．(1)证明：；(2)若，求的长．答案:(1)答案见解析(2)分析：（1）根据相似三角形的判断方法，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明即可；（2）根据相似三角形的性质，得，先求出，即可求出．【详解】（1）解：（2），，，，，，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．17．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，点E在边上移动（点E不与点B，C重合），点D，F分别在边和上，且满足．(1)求证：．(2)若，且，求的值．答案:(1)见解析(2)分析：（1）由得到，由三角形外角的性质得到，已知,得到，即可得到结论；（2）由得到，则，由，且，得到，求出，即可得到的值．【详解】（1）解：∵，∴，∵，,∴，∴；（2）∵，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．18．（2023·浙江·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．(1)证明：△ABD∽△ACE；(2)若，，．①求EC的长．②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且，求CG的长．答案:(1)见解析(2)①EC的长为3；②CG的长为．分析：（1）利用圆内接四边形的性质求得∠ACD+∠ABD=180°，推出∠ABD=∠ACE，即可证明；（2）①由△ABD∽△ACE，推出AE=3CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理求解即可；②证明△EAG∽△EDA，利用三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AE⊥CE，∴∠AEC=∠ADB=90°，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ACD+∠ABD=180°，又∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∴△ABD∽△ACE；（2）解：①在Rt△BDA中，AB=5，BD=5，∴AD=15，∵△ABD∽△ACE，∴，即，∴AE=3CE，在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，∴152=(3CE)2+(9+CE)2，解得：CE=-(舍去)或CE=3；∴EC的长为3；②∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD=∠CAE，∵∠CAG=∠F，∠EAG=∠CAE+∠CAG，∠EDA=∠BAD+∠F，∴∠EAG=∠EDA，∴△EAG∽△EDA，∴，∴AE2=GE•ED，即AE2=(EC+CG)•ED，∵CE=3，∴AE=3CE=9，∴92=(3+CG)×12，∴CG=．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证得△ABD∽△ACE和△EAG∽△EDA是解题的关键．19．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接DF．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)连接DE，求证：△BDE△BAD(3)若BE＝，sinB＝，求AD的长．答案:(1)见详解(2)见详解(3)分析：（1）连接OD，根据AD平分∠BAC，OA＝OD，得∠CAD＝∠ODA，得OD∥AC，然后即可证明BC是圆O的切线；（2）连接DE，EF，证明∠BDE=∠OAD，公共角∠B，即可证明△BDE△BAD；（3）设圆O的半径为r，根据sinB＝，求得半径，根据sin∠AEF＝sinB，求得AF，根据△ABD∽△ADF的相似比，代入求解即可．【详解】（1）证明：如图1，连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴BC⊥OD，又∵OD是圆O的半径，∴BC是圆O的切线；（2）证明：如图2.连接DE，EF∵BC是⊙O的切线，∴∠BDO＝90°.∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°.∴∠BDE=∠ADO=90°-∠EDO.∵OD=OA，∴∠OAD=∠ADO.∴∠BDE=∠OAD.又∵∠B=∠B,∴△BDE∽△BAD.（3）解：在Rt△BOD中，sinB＝，设圆O的半径为r，则，解得r＝.∴AE＝2r＝，AB＝AE+BE＝10.在Rt△AEF中，∠AFE＝∠ACB=90°，则BC//EF,∴∠AEF＝∠B，sin∠AEF＝sinB＝，∴AF＝∵∠B=∠AEF=∠ADF，∠CAD=∠BAD,∴△ABD∽△ADF.∴.即.∴.【点睛】本题考查了圆的切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．20．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AC=4，AD=2，，求BC的长．答案:(1)证明见解析(2)BC的长为分析：（1）先判定，再根据题中所给的条件即可利用平行四边形判定定理证出；（2）根据三角函数值设，，利用平行四边形性质得到平行及线段相等，从而根据确定的相似比代值求解即可．【详解】（1）证明：，，，，在四边形ABCD中，，四边形ACED是平行四边形；（2）解：在中，，设，，在中，，，，，，即，解得（舍弃）或，．【点睛】本题考查了平行线的判定、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．21．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）如图所示，△ABC为Rt△，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E为边AC上的点，连结DE，过点E作EF⊥ED交BC于F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，已知AC＝8．（1）如图1所示，当BC＝6，点G在边AB上时，求DE的长．（2）如图2所示，若，点G在边BC上时，求BC的长．（3）①若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求BC的长．②若（n为正整数），且点G恰好落在Rt△ABC的边上，请直接写出BC的长．答案:（1）DE＝；（2）BC＝4．（3）①BC＝2，BC＝8-16，②BC＝或．分析：（1）利用关系式tan∠A＝，即可解决问题．（2）如图2中，设DE＝x，则EF＝EC＝2x．证明AE＝EC，BC＝2DE即可解决问题．（3）①分点G在BC或AB上两种情形分别求解．②解法类似①．【详解】（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵D是AB中点，∴AD＝DB＝5，∵∠A＝∠A，∴tan∠A＝，∴，∴．（2）如图2中，设DE＝x，则EF＝EC＝2x．∵DE∥BC，AD＝DB，∴AE＝EC＝2x，∴4x＝8，∴x＝2，∴DE＝BC，∴BC＝2DE＝4．（3）①当点G落在BC边上时，如图2中，设DE＝x，则EF＝EC＝4x，可得：AE＝EC＝4x，8x＝8，∴x＝1，∴BC＝2DE＝2．当点G落在AB边上时，作DH⊥AC于H，设DH＝x，则CE＝4x，BC＝2x，EH＝4﹣4x，利用△HDE∽△CAB，可得，解得，则．②若（n为正整数）时，同法可知：或．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．22．（2023·浙江·模拟预测）已知E是正方形边上任意一点，(1)将沿翻折至，①如图1，若F点恰好在对角线上，，求的长．②如图2，若点E是中点，若，射线与边交于点G，求四边形的面积．(2)如图3，点Q是边上任意一点，记与的交于点H，射线与射线交于点P，求证：．答案:(1)①；②1(2)见解析分析：（1）①由正方形的性质可得，设，根据折叠的性质表示出，再利用特殊角解直角三角形即可；②分别延长，交于点M，根据正方形的性质，折叠的性质及三角形的面积公式可求出，设，则，，利用勾股定理建立方程，求出，再根据四边形的面积求解即可；（2）设，则，可得，根据正方形的性质，相似三角形的判定和性质可得，即可求解．【详解】（1）①∵四边形是正方形，∴，设，∵，∴，∵将沿翻折至，∴，∴，∴，即，解得，即；②分别延长，交于点M，∵四边形是正方形，∴，∴∵点E是中点，∴，∴，，解得，∴，∵将沿翻折至，∴，∴，∴，∴，设，则，，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，∴四边形的面积；（2）设，则，∴，∵∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，即．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，折叠的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．23．（2023·浙江·模拟预测）点E、F分别为正方形边、上一点，满足，连结和．(1)求证：；(2)过点E作交于点M，垂足为点N．①判断的形状，并说明理由；②当M在边上时，设，和的面积分别是和，求证：答案:(1)证明见解析(2)①等腰三角形；证明见解析；②证明见解析．分析：（1）先证明，，结合可得结论；（2）①如图，过作于，则，四边形为矩形，可得，证明，可得，从而可得结论；②为等腰三角形，，则，而，可得，可得，即，证明，可得，而，可得，从而可得答案．【详解】（1）证明：∵正方形，∴，，∵，∴．（2）①如图，过作于，∴，四边形为矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴为等腰三角形．②∵为等腰三角形，，∴，而，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的利用以上知识解题是关键．24．（2023·浙江宁波·统考二模）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形．(1)[初步理解]如图1，四边形中，对角线平分，，求证：和为叠似三角形．(2)[尝试应用]在（1）的基础上，如图2，若，，，求四边形的周长．(3)[拓展提高]如图3，在中，D是上一点，连接，点E在上，且，F为中点，且．若，，求的值．答案:(1)见解析(2)23(3)分析：（1）根据题目所给“叠似三角形”的定义，即可求证；（2）先证明，得出，则，且根据，，求出，，，即可求出四边形的周长为，（3）过C作的平行线交的延长线于G，通过证明，得出，再证明，得出，，，根据，，得出，，最后根据即可求解．【详解】（1）解：平分，，在中，，，，，，所以和为叠似三角形；（2）解：∵，，，．，，，，且，，，，四边形的周长为：．（3）解：如图，过C作的平行线交的延长线于G，，，∵，，，，，，，，为中点，，又，，，，，即，，，，．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例以及题目所给“叠似三角形”的定义．25．（2023·浙江宁波·校联考二模）四边形ABCD和四边形AMPN有公共顶点A，连接BM和DN．(1)如图1，若四边形ABCD和四边形AMPN都是正方形，当正方形AMPN绕点A旋转角（）时，BM和DN的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图2，若四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形，且，判断BM和DN的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若，矩形AMPN绕点A逆时针旋转角（），当时，求线段DN的长．答案:(1)相等；垂直；(2)数量关系：；位置关系：BM⊥DN；理由见解析；(3)3或．分析：（1）先证明得到BM和DN的数量关系，同时得到．然后延长BM交AD、DN于点E、F，在和中用三角形内角和公式即可得到BM和DN的位置关系；（2）由已知条件可推出，得到BM和DN的数量关系，同时得到．然后使用同(1)中相同的方法可得到BM和DN的位置关系；（3）当时，由已知条件可证得以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，此时存在两种位置情况，故进行分类讨论：①当MN位于AB上方时，由平行四边形的性质可推出BM＝AN，再利用小问(2)的结论可求出DN的长；②当MN位于AB下方时，由平行四边形的性质可推出BN＝AM，且能证明B、N、P在同一直线上，因此可在中使用勾股定理求出BM的长，再利用小问(2)的结论可求出DN的长．【详解】（1）解：相等；垂直．理由如下：如图，∵四边形ABCD和四边形AMPN都是正方形，∴，，，∴，即：，∴，∴BM＝DN，．延长BM交AD、DN于点E、F，在和中，∵，，且，∴，∴．（2）解：数量关系：；位置关系：BM⊥DN．理由如下：如图，∵四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形，∴∠BAD=∠MAN=90°，∴∠BAD-∠MAD=∠MAN-∠MAD，∴∠BAM=∠DAN，∵，∴，∴，∴DN=BM．延长BM交AD于点O，交DN于点H，∵，∴∠ABM=∠AND，又∵∠AOB=∠DOH，∴∠OHD=∠OAB=90°，即BM⊥DN．（3）解：∵AB=，AM=1，，∴AN=，分类讨论：连结MN．①如图，当MN位于AB上方时，在中，由勾股定理得，∴AB=MN，又∵MN∥AB，∴四边形ABMN是平行四边形，∴BM=AN=，∵DN=BM，∴DN=3．②如图，当MN位于AB下方时，连结BN，同理可得，四边形ABNM是平行四边形，∴BN=AM=1，BN∥AM，∴又，∴B、N、P在一条直线上，∴∠BPM=90°，∴BP=BN+NP=2，MP=AN=，∴在Rt△BPM中，，∵DN=BM，∴DN=．综上所述，DN的长为3或．【点睛】本题是一道几何综合探究题．先从特殊的图形探究发现规律，再拓展到一般的图形，然后使用发现的规律来解决相应的几何问题．在探究的过程中，重点考查了正方形、矩形、平行四边形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用等，涉及到的数学思想方法有图形运动思想，分类讨论思想等．其中，善于发现特殊图形和一般规律是解决这一类问题的关键．26．（2023·浙江温州·统考二模）如图1，在边长为1的正方形中，E是上的动点，连接，点F在线段上，连接．点G是的中点，以，为邻边构造，其中，分别交于点M，N．

(1)求的长．(2)当点F为的中点时，求的值．(3)如图2，已知点F满足．①若的面积等于四边形的面积，求的值．②当的一边所在的直线恰好经过正方形的顶点B或C时，求的值．答案:(1)(2)2(3)①②或分析：(1)利用平行线分线段成比例定理计算即可．（2）延长交于点Q，利用平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质计算即可．（3）①设，则