高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)5.7三角函数的应用(精练)(原卷版+解析)

5.7三角函数的应用（精练）1在几何中的应用1．(2023广东）如图，在扇形POQ中，半径，圆心角，B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．其中CD在半径OQ上，记．（1）当时，求矩形ABCD的面积；（2）求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．2．(2023·江苏·徐州中学高一开学考试）如图，正方形ABCD边长为5，其中AEF是一个半径为4的扇形，在弧EF上有一个动点Q，过Q作正方形边长BC，CD的垂线分别交BC，CD于G，H，设，长方形QGCH的面积为S.（1）求关于的函数解析式；（2）求的最大值.3．(2023·江西省万载中学高一阶段练习）如图所示，一条河宽AC为1km，两岸各有一座城市A和B，A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电缆连接城市A和B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假设两岸是平行直线（没有弯曲），设∠CAD=θ，铺设电缆总施工费用为y元.(1)求y关于θ的函数关系式.(2)应该铺设地下电缆BD多长时方可使总施工费用y达到最小.2在生活中的应用1．(2023广西）（多选）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（）．A．点第一次到达最高点需要20秒B．当水轮转动155秒时，点距离水面2米C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为2．(2023·广东清远·高一期中）（多选）如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距水面2m，已知水轮每分钟转5圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足关系式，则有（

） B． C． D．3．(2023·全国·高一专题练习）游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：（1）你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？（2）转四圈需要多少时间？（3）你第四次距地面最高需要多少时间？（4）转60分钟时，你距离地面是多少？4．(2023·辽宁丹东·高一期末）如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足，其中，，.(1)求，，，；(2)求这一天时的最大温差近似值.参考数据：，.5．(2023·陕西师大附中高一期中）如图，公园摩天轮的半径为40米，圆心距地面的高度为50米，摩天轮做匀速转动每2分钟转一圈．某人从摩天轮的最低点处登上摩天轮并开始计时，已知经过t分钟时，此人距离地面的高度为y米，且．(1)求的解析式．(2)当离地面米以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中此人有多长时间可以看到公园的全貌？3在物理上的应用1．(2023·全国·高一专题练习）如图所示为一质点做简谐运动的图象，则下列判断中正确的是（

）A．该质点的振动周期为 B．该质点的振幅为C．该质点在和时振动速度最大 D．该质点在和时的振动速度为02．(2023·湖南·高一课时练习）电流随时间变化的函数的图象如图所示，则时的电流为______．3．(2023·全国·高一专题练习）某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为________．4．(2023·陕西）如图，一根长l（单位：cm）的线，一端固定，另一端悬挂一个小钢球，当小钢球做单摆运动时，离开平衡位置的位移S（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系可近似的表示为，其中.(1)当时，小钢球离开平衡位置的位移S是多少cm？(2)要使小钢球摆动的周期是1s，则线的长度l应该为多少cm（精确到0.1cm）？5(2023·江苏）若单摆中小球相对静止位置的位移随时间的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从点算起呢？(3)当时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？6(2023·河南·高一阶段练习）如图，某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间（单位：）与位移（单位：）之间的对应数据如表所示，其变化规律可以用来刻画．t0.000.100.200.300.400.500.60y10.320.010.3(1)试确定位移关于时间的函数关系式；(2)在理想状态下，经过10秒，该弹簧振子的位移和路程分别是多少？（精确到0.1）7．(2023·湖南·高一课时练习）如图为某简谐振动的图象，它符合（，，）的形式．(1)求该简谐振动的振幅、周期、频率和初相；(2)求该简谐振动的函数解析式；(3)求该函数的单调递增区间．8．(2023·全国·高一专题练习）用弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由下列关系式确定：．以t为横坐标，h为纵坐标，作出这个函数在上的图象，并回答下列问题．(1)小球在开始振动时（即时）的位置在哪里？(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？(3)经过多长时间小球往复运动一次？(4)每秒钟小球能往复运动多少次？5.7三角函数的应用（精练）1在几何中的应用1．(2023广东）如图，在扇形POQ中，半径，圆心角，B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．其中CD在半径OQ上，记．（1）当时，求矩形ABCD的面积；（2）求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．答案:（1）；（2）当时，矩形ABCD的面积，最大面积为．解析：（1）在中，，，在中，，所以，所以，设矩形ABCD的面积为S，则.（2）在中，，．在中，，所以，所以，设矩形ABCD的面积为S，则，，由，得，所以当，即时．因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．2．(2023·江苏·徐州中学高一开学考试）如图，正方形ABCD边长为5，其中AEF是一个半径为4的扇形，在弧EF上有一个动点Q，过Q作正方形边长BC，CD的垂线分别交BC，CD于G，H，设，长方形QGCH的面积为S.（1）求关于的函数解析式；（2）求的最大值.答案:（1），；（2）5.解析：⑴，则在竖直方向上的投影的长度为，在水平方向上的投影长度为，故，，，，整理得：，；（2），，令，即，平方可得，当时，可求得.，，根据二次函数对称性可知，当时，.3．(2023·江西省万载中学高一阶段练习）如图所示，一条河宽AC为1km，两岸各有一座城市A和B，A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电缆连接城市A和B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假设两岸是平行直线（没有弯曲），设∠CAD=θ，铺设电缆总施工费用为y元.(1)求y关于θ的函数关系式.(2)应该铺设地下电缆BD多长时方可使总施工费用y达到最小.答案:(1)，其中(2)解析：（1）由题可知，，其中（2）由（1）可得因为，所以，设，则，即，因为，所以，解得，，此时，，满足，故当时，总施工费用y达到最小，所以2在生活中的应用1．(2023广西）（多选）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（）．A．点第一次到达最高点需要20秒B．当水轮转动155秒时，点距离水面2米C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为答案:ABC解析：设点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为，由题意得：解得故．故D错误；对于A，令，即，解得：，故A正确；对于B，令，代入，解得：，故B正确；对于C，令，代入，解得：，故C正确．故选：ABC2．(2023·广东清远·高一期中）（多选）如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距水面2m，已知水轮每分钟转5圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足关系式，则有（

）A． B． C． D．答案:BCD解析：由题意可知，可得，该函数的周期为，∴.故选：BCD.3．(2023·全国·高一专题练习）游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：（1）你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？（2）转四圈需要多少时间？（3）你第四次距地面最高需要多少时间？（4）转60分钟时，你距离地面是多少？答案:（1）是周期现象；（2）48（分钟）；（3）42（分钟）；（4）0.5（米）．解析：（1）游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心距离地面40.5米，半径40米，从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，利用三角函数的周期性得到你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象．（2）每转一圈需要12分钟，转四圈需要分钟．（3）游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心距离地面40.5米，半径40米，出发后6分钟时，摩天轮第一次到达最高点，你第四次距地面最高需要：分钟．（4）由已知可设，，由周期为12分钟可知，当时，摩天轮第一次到达最高点，即函数第一次取得最大值，所以，即，，转60分钟时，你距离地面高度为：（米)．4．(2023·辽宁丹东·高一期末）如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足，其中，，.(1)求，，，；(2)求这一天时的最大温差近似值.参考数据：，.答案:(1)，，，(2)解析：(1)由图象可知：，，最小正周期，，，；，，，解得：，又，.(2)由图象可知：在上单调递减，在上单调递增，，，，即这一天时的最大温差近似值为.5．(2023·陕西师大附中高一期中）如图，公园摩天轮的半径为40米，圆心距地面的高度为50米，摩天轮做匀速转动每2分钟转一圈．某人从摩天轮的最低点处登上摩天轮并开始计时，已知经过t分钟时，此人距离地面的高度为y米，且．(1)求的解析式．(2)当离地面米以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中此人有多长时间可以看到公园的全貌？答案:(1)(2)分钟解析：(1)由题意可得，所以，又，即，因为，所以，所以；(2)由题可得，即，解得，即，因为，所以转一圈中此人有分钟可以看到公园的全貌.3在物理上的应用1．(2023·全国·高一专题练习）如图所示为一质点做简谐运动的图象，则下列判断中正确的是（

）A．该质点的振动周期为 B．该质点的振幅为C．该质点在和时振动速度最大 D．该质点在和时的振动速度为0答案:B解析：由图象可知周期是，A错，振幅为，B正确；曲线上各点处的切线的斜率（导数值）才是相应的速度，质点在和时振动速度为0，C错，质点在和时的振动速度不为0，D错．故选：B．2．(2023·湖南·高一课时练习）电流随时间变化的函数的图象如图所示，则时的电流为______．答案:解析：由函数的图象可得，且，故，而，故，解得，故，故，故答案为：.3．(2023·全国·高一专题练习）某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为________．答案:解析：设所求函数为，由题意得，即，，，故．故答案为：4．(2023·陕西）如图，一根长l（单位：cm）的线，一端固定，另一端悬挂一个小钢球，当小钢球做单摆运动时，离开平衡位置的位移S（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系可近似的表示为，其中.(1)当时，小钢球离开平衡位置的位移S是多少cm？(2)要使小钢球摆动的周期是1s，则线的长度l应该为多少cm（精确到0.1cm）？答案:(1)1.5cm；(2).解析：(1)在函数中，当时，，所以当时，小钢球离开平衡位置的位移S是1.5cm.(2)依题意，，而周期，又，则，即，解得()，所以线的长度l应该为.5(2023·江苏）若单摆中小球相对静止位置的位移随时间的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从点算起呢？(3)当时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？答案:(1)(2)从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动;从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动(3)解析：(1)从题图可以看出，单摆运动的周期是；(2)若从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动；若从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动；(3)，所以小球经过相对于静止位置的位移是．6(2023·河南·高一阶段练习）如图，某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间（单位：）与位移（单位：）之间的对应数据如表所示，其变化规律可以用来刻画．t0.000.100.200.300.400.500.60y10.320.010.3(1)试确定位移关于时间的函数关系式；(2)在理想状态下，经过10秒，该弹簧振子的位移和路程分别是多少？（精确到0.1）答案:(1)(2)弹簧振子的位移是，路程为解析：(1)由数据表可知，．振子的周期为0.60s，所以，解得．所以，因为时，．所