连续型随机变量及其概率密度

关于连续型随机变量及其概率密度则称X为连续型随机变量,称f(x)

为X的概率密度函数,简称为概率密度.一、连续型随机变量及其概率密度函数有,使得对任意实数

,对于随机变量X,如果存在非负可积函数f(x),

连续型随机变量的分布函数在上连续(ContinuousRandomVariable)(ProbabilityDensityFunction)第2页,共40页，星期六，2024年，5月第3页,共40页，星期六，2024年，5月二、概率密度函数的性质1o2of(x)xo面积为1这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度的充要条件对于任意实数x1,x2,(x1<x2),利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率

若f(x)在点x

处连续,则有第4页,共40页，星期六，2024年，5月故X的密度f(x)

在x

这一点的值,恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.*若x是f(x)的连续点，则对f(x)的进一步理解:*若不计高阶无穷小，有表示随机变量X

取值于的概率近似等于.在连续型r.v理论中所起的作用与在离散型r.v理论中所起的作用相类似.第5页,共40页，星期六，2024年，5月*注意:密度函数f(x)在某点处a的高度,并不反映X取值的概率.

但是,这个高度越大,则X取a附近的值的概率就越大.

在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xoa第6页,共40页，星期六，2024年，5月(1)连续型r.v取任一指定实数值a的概率均为0.即注意:这是因为当时得到由P(B)=1,不能推出

B=S由P(A)=0,不能推出(2)对连续型r.vX,有第7页,共40页，星期六，2024年，5月第8页,共40页，星期六，2024年，5月第9页,共40页，星期六，2024年，5月第10页,共40页，星期六，2024年，5月第11页,共40页，星期六，2024年，5月第12页,共40页，星期六，2024年，5月第13页,共40页，星期六，2024年，5月1.均匀分布(TheUniformDistribution)则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，X

～U(a,b)三、三种重要的连续型随机变量若r.vX的概率密度为：记作*均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五入，

小数点后某一位小数引入的误差；公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，

即乘客的候车时间等。第14页,共40页，星期六，2024年，5月第15页,共40页，星期六，2024年，5月第16页,共40页，星期六，2024年，5月例2某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等时刻有汽车到达此站,

如果乘客到达此站时间X

是7:00到7:30之间的均匀随机变量,

试求他候车时间少于5分钟的概率.解依题意，

X

～U(0,30)

以7:00为起点0，以分为单位第17页,共40页，星期六，2024年，5月为使候车时间X少于5分钟,乘客必须在7:10到7:15之间,或在7:25到7:30之间到达车站.所求概率为：即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.从上午7时起，每15分钟来一班车，即

7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，第18页,共40页，星期六，2024年，5月*指数分布常用于各种“寿命”分布的近似，

例如，电子元件的寿命，轮胎的寿命，电话的通话时间等。2.指数分布(The(Negative)ExponentialDistribution)

若r.vX具有概率密度为常数,则称X

服从参数为的指数分布.第19页,共40页，星期六，2024年，5月若X

服从参数为

的指数分布,则其分布函数为当时,当时,第20页,共40页，星期六，2024年，5月第21页,共40页，星期六，2024年，5月3.正态分布(TheNormal(Gaussian)Distribution)若连续型r.vX的概率密度为记作:其中和(>0)都是常数,则称X服从参数为和的正态分布或高斯分布.X

～N(μ,σ2)第22页,共40页，星期六，2024年，5月正态分布是概率论中非常重要的分布，可以用正态分布来描述的实例非常多，例如，各种测量的误差；人的生理特征；工厂产品的尺寸；

农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；

热噪声电流强度；学生们的考试成绩等。正态分布的重要性可以由以下情形加以说明：1)正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的。可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，

但其中任何一个因素都不起决定性作用，

则该随机指标一定服从或近似服从正态分布。2)正态分布有许多良好的性质，

这些性质是其它许多分布所不具备的。3)正态分布可以作为许多分布的近似分布。第23页,共40页，星期六，2024年，5月则有第24页,共40页，星期六，2024年，5月曲线关于轴对称；函数在上单调增加,在上单调减少,在取得最大值；第25页,共40页，星期六，2024年，5月x=μ

σ为f(x)的两个拐点的横坐标；当x→∞时，f(x)→0.f(x)以x轴为渐近线第26页,共40页，星期六，2024年，5月决定了图形的中心位置,决定了图形中峰的陡峭程度.

正态分布

的图形特点第27页,共40页，星期六，2024年，5月若固定σ的值而μ变化时,则密度曲线的形状不变,它沿着x轴方向平行移动．若固定μ的值而σ变化时，则密度曲线的位置不变，而其形状将改变，当σ大时曲线平缓，当σ小时曲线陡峭．第28页,共40页，星期六，2024年，5月

设X~,X的分布函数是正态分布的分布函数第29页,共40页，星期六，2024年，5月的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用

和

表示：标准正态分布(StandardNormalDistribution)第30页,共40页，星期六，2024年，5月的性质:第31页,共40页，星期六，2024年，5月标准正态分布的重要性在于,任何一个的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理1证:Z

的分布函数为:则有:第32页,共40页，星期六，2024年，5月根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.于是:第33页,共40页，星期六，2024年，5月书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.正态分布表当x<0

时,表中给的是x>0时,Φ(x)的值.第34页,共40页，星期六，2024年，5月若若X～N(0,1),~N(0,1)

则第35页,共40页，星期六，2024年，5月由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明,X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内,

超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X～N(0,1)时，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.99743准则第36页,共40页，星期六，2024年，5月将上述结论推广到一般的正态分布,可以认为，X

的取值几乎全部集中在区间内.在统计学上称作“3准则”

.~N(0,1)

X

～N(μ,σ2)时，第37页,共40页，星期六，2024年，5月标准正态分布的上分位点设若数满足条件则称点为标准正态分布的上分位点.第38页,共40页，星期六，2024年，5月看一个应用正态分布的