高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题12.2离散型随机变量的分布列、均值与方差(真题测试)(原卷版+解析)

专题12.2离散型随机变量的分布列、均值与方差（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为，，则等于（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（

）X3456PA． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则（

）A． B． C．1 D．4．（2023·浙江·高考真题）设，则随机变量的分布列是：则当在内增大时()A．增大 B．减小C．先增大后减小 D．先减小后增大5．(2023·浙江·高考真题）设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，()A．减小 B．增大C．先减小后增大 D．先增大后减小6．(2023·浙江·高考真题）已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，则A．<，< B．<，>C．>，< D．>，>7．(2023·河南·高三开学考试（理））某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元．在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元．在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为X678P0.40.50.1若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为（

）．A．1716.8元 B．206.5元 C．168.6元 D．156.8元8．（2023·全国·高三专题练习（理））某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元.在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为：X678P0.40.50.1若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为（

）A．1716.8元 B．206.5元 C．168.6元 D．156.8元二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下表：012若，则（

）A． B． C． D．10．(2023·吉林·东北师大附中高三开学考试）已知随机变量的分布列如下表；01记“函数是偶函数”为事件，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．11．(2023·江苏·苏州市第六中学校三模）已知投资两种项目获得的收益分别为，分布列如下表，则（

）/百万02百万012A． B．C．投资两种项目的收益期望一样多 D．投资项目的风险比项目高12．（2023·海南·高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（

）A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大C．若，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)三、填空题13.（2023·全国·高三专题练习）随机变量，满足，且，则___________.14．(2023·上海·高考真题（理））赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则________（元）．15．(2023·浙江·高考真题（理））随机变量的取值为0,1,2，若，，则________.16．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为：X1234Pp其中，随机变量X的期望为，则当取得最小值时，_________．四、解答题17．(2023·全国·高考真题（理））甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．18．（2023·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19．(2023·北京·高考真题（理））电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．20．（2023·北京·高考真题）在核酸检测中,“k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E(X).(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)21．(2023·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）22．（2023·全国·高考真题（理））为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．专题12.2离散型随机变量的分布列、均值与方差（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为，，则等于（

）A． B． C． D．答案：A分析：根据分布列的概率求解方式即可得出答案.【详解】解：由题意得：．故选:A2．（2023·全国·高三专题练习）下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（

）X3456PA． B． C． D．答案：C分析：由随机变量分布列中概率之和为1列出方程即可求出a.【详解】由，解得.故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则（

）A． B． C．1 D．答案：B分析：由随机变量的分布列的性质得，，求得的值，再利用随机变量的方差公式可求解.【详解】由，解得由随机变量的分布列的性质得，得所以故选：B4．（2023·浙江·高考真题）设，则随机变量的分布列是：则当在内增大时()A．增大 B．减小C．先增大后减小 D．先减小后增大答案：D分析：研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.【详解】方法1：由分布列得，则，则当在内增大时，先减小后增大.方法2：则故选D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.5．(2023·浙江·高考真题）设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，()A．减小 B．增大C．先减小后增大 D．先增大后减小答案：D分析：先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.【详解】，，，∴先增后减，因此选D.【点睛】6．(2023·浙江·高考真题）已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，则A．<，< B．<，>C．>，< D．>，>答案：A【详解】∵，∴，∵，∴，故选A．【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A正确．7．(2023·河南·高三开学考试（理））某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元．在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元．在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为X678P0.40.50.1若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为（

）．A．1716.8元 B．206.5元 C．168.6元 D．156.8元答案：D分析：由题意2台设备使用期间需更换的零件数可能取值为12、13、14、15、16，再求出它们对应的概率，进而求2台设备另需购买易损零件所需费用可能值及其概率，最后求期望即可.【详解】记Y表示2台设备使用期间需更换的零件数，则Y的可能取值为12，13，14，15，16，，，，，．若购买2台设备的同时购买易损零件13个，在使用期间，记这2台设备另需购买易损零件所需费用为Z元，则Z的可能取值为0，280，560，840，，，，，．故选：D8．（2023·全国·高三专题练习（理））某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元.在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为：X678P0.40.50.1若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为（

）A．1716.8元 B．206.5元 C．168.6元 D．156.8元答案：D分析：由题意2台设备使用期间需更换的零件数可能取值为12、13、14、15、16，再求出它们对应的概率，进而求2台设备另需购买易损零件所需费用可能值及其概率，最后求期望即可.【详解】记Y表示2台设备使用期间需更换的零件数，则Y的可能取值为12，13，14，15，16，，，，，.若购买2台设备的同时购买易损零件13个，在使用期间，记这2台设备另需购买易损零件所需费用为Z元，则Z的可能取值为0，280，560，840，，，，，.故选：D.二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下表：012若，则（

）A． B． C． D．答案：AC分析：根据分布列和已知列出方程组即可求出.【详解】依题意，解得，.故选：AC.10．(2023·吉林·东北师大附中高三开学考试）已知随机变量的分布列如下表；01记“函数是偶函数”为事件，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．答案：BC分析：根据分布列的性质，以及数学期望的公式判断AB，结合偶函数的定义判断CD，即可求解．【详解】解：由随机变量的分布列知，所以，故B正确；，故A错误，函数是偶函数为事件，满足条件的事件的的可能取值为或，，故C正确，D错误；故选：BC．11．(2023·江苏·苏州市第六中学校三模）已知投资两种项目获得的收益分别为，分布列如下表，则（

）/百万02百万012A． B．C．投资两种项目的收益期望一样多 D．投资项目的风险比项目高答案：ACD分析：根据分布列的性质求出、，再根据期望、方差公式计算可得；【详解】解：依题意可得，所以，，所以，所以，故A正确；所以，则，故B错误；，所以，故C正确；因为，即，所以投资项目的风险比项目高，故D正确；故选：ACD12．（2023·海南·高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（

）A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大C．若，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)答案：AC分析：对于A选项，求得，由此判断出A选项；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，计算出，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项.【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，，所以，当时，，当时，，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若，则，则随着的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.三、填空题13.（2023·全国·高三专题练习）随机变量，满足，且，则___________.答案：7分析：根据期望的性质即可求解.【详解】故答案为:714．(2023·上海·高考真题（理））赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则________（元）．答案：【详解】赌金的分布列为12345P所以奖金的分布列为1.42.84.25.6P所以15．(2023·浙江·高考真题（理））随机变量的取值为0,1,2，若，，则________.答案：【详解】设时的概率为，则，解得，故16．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为：X1234Pp其中，随机变量X的期望为，则当取得最小值时，_________．答案：分析：根据随机变量的均值计算公式可得，利用导数研究的单调性，进而即可得出结果.【详解】由题意得，，令，则，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得最小值，即当时取得最小值.故答案为：.四、解答题17．(2023·全国·高考真题（理））甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．答案：(1)；(2)分布列见解析，.分析：（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为．（2）依题可知，的可能取值为，所以，,，，.即的分布列为01020300.160.440.340.06期望.18．（2023·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.答案：（1）见解析；（2）类．分析：（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．；；．所以的分布列为（2）由（1）知，．若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．；；．所以．因为，所以小明应选择先回答类问题．19．(2023·北京·高考真题（理））电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．答案：(1)概率为0.025(2)概率估计为0.35(3)>>=>>【详解】分析：(1)先根据频数计算是第四类电影的频率，再乘以第四类电影好评率得所求概率，(2)恰有1部获得好评为第四类电影获得好评第五类电影没获得好评和第四类电影没获得好评第五类电影获得好评这两个互斥事件，先利用独立事件概率乘法公式分别求两个互斥事件的概率，再相加得结果，(3)服从0-1分布，因此，即得>>=>>．详解：解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．故所求概率为．（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．故所求概率为P（）=P（）+P（）=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2．故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．（Ⅲ）>>=>>．点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).20．（2023·北京·高考真题）在核酸检测中,“k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E(X).(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)答案：（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）．分析：（1）①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解.【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，可以取20，30，，，则的分布列:所以；（2）由题意，可以取25，30，两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，则.21．(2023·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）答案：(1)0.4(2)(3)丙分析：(1)

由频率估计概率即可(2)

求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.(3)

计算出各