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文档简介
高二上学期期中考试数学试题一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.直线的倾斜角是()A. B. C. D.2.若直线的方向向量为,平面的法向量为,则()A B.C. D.与斜交3.如图所示,在三棱柱中,底面,,,点,分别是棱,的中点,则直线与所成的角是()A. B. C. D.4.圆与直线相交所得弦长为()A.1 B. C.2 D.25.在空间四边形ABCD中,=()A.-1 B.0C.1 D.不确定6.过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合),则面积的最大值为()A. B. C.2 D.47.在三棱锥中,点E,F分别是的中点,点G在棱上,且满足,若,则()A. B. C. D.8.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家,对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点Q,P的距离之比,那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为,定点为轴上一点,且,若点,则的最小值为()A. B. C. D.二.多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.已知向量,则下列结论中正确是()A.若,则B.若,则C.不存在实数,使得D.若,则10.下列说法正确的是()A.任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率B.点关于直线的对称点为C.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为D.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是211.在棱长为2的正方体中,E、F、G分别为BC、、的中点,则下列选项正确的是()A.B.直线与EF所成角的余弦值为C.三棱锥的体积为D.存在实数、使得12.已知圆和圆的交点为、,则(
)A.两圆的圆心距B.圆上存点,圆上存在点,使得C.圆上存在两点和使得D.圆上的点到直线的最大距离为三、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.)13.若直线与平行,则_____________,与间的距离为_____________.14.在棱长为的正方体中,直线到平面的距离为_______________.15.如图,已知一个的二面角的棱上有两点和,且和分别是在这两个面内且垂直于的线段.又知,,,则求CD的长为___.16.若直线与曲线有两个交点,则实数的取值范围是______.三、解答题:(本题共6小题,共70分)17.已知△ABC的顶点坐标为A(﹣3,9)、B(2,2)、C(5,3).(1)求AC边中线所在直线方程;(2)求△ABC面积.18.已知四棱锥的底面为直角梯形,,,底面,且,是的中点.(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.19.如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处,B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1千米为一个单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O,A,B三点.(1)求圆C的方程;(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛南偏西30°方向距O岛40千米处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险?20.已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知.(1)线段的长(2)求到平面的距离;21.如图,已知梯形,//,,四边形为正方形,且平面平面.(1)求证:平面;(2)点M在线段上运动,求平面与平面夹角余弦值的取值范围.22.已知的方程是,直线l经过点.(1)若直线l与相切,求直线l的方程;(2)若直线l与相交于A,B两点,与直线交于点M,求证:为定值.高二上学期期中考试数学试题一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.直线的倾斜角是()A. B. C. D.答案:A【解析】分析:根据斜率与倾斜角的关系,直接得到答案.【详解】因为直线,则其斜率即,且
所以故选:A.2.若直线的方向向量为,平面的法向量为,则()A. B.C. D.与斜交答案:B【解析】分析:判断与的位置关系,进而可得出结论.【详解】由已知可得,则,因此,.故选:B.3.如图所示,在三棱柱中,底面,,,点,分别是棱,的中点,则直线与所成的角是()A. B. C. D.答案:C【解析】分析:建立如图所示的空间直角坐标系,求出和的坐标,进而由夹角公式可求得结果.【详解】如图所示,建立空间直角坐标系.由于,不妨取,则,,,,∴,,∴,又,∴,即直线与所成的角为.
故选:C.4.圆与直线相交所得弦长为()A.1 B. C.2 D.2答案:D【解析】分析:利用垂径定理可求弦长.【详解】圆的圆心坐标为,半径为,圆心到直线的距离为,故弦长为:,故选:D.5.在空间四边形ABCD中,=()A.-1 B.0C.1 D.不确定答案:B【解析】分析:令,利用空间向量的数量积运算律求解.【详解】如图,令,则,,.故选:B6.过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合),则面积的最大值为()A. B. C.2 D.4答案:C【解析】分析:根据方程可得定点A、B,并且可判断两直线垂直,然后利用基本不等式可得.【详解】动直线化为,可知定点,动直线化为,可知定点,又所以直线与直线垂直,为交点,.则,当且仅当时,等号成立.即面积的最大值为2.故选:C.7.在三棱锥中,点E,F分别是的中点,点G在棱上,且满足,若,则()A. B. C. D.答案:B【解析】分析:利用空间向量的加、减运算即可求解.【详解】由题意可得故选:B.8.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家,对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点Q,P的距离之比,那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为,定点为轴上一点,且,若点,则的最小值为()A. B. C. D.答案:C【解析】分析:根据点的轨迹方程可得,结合条件可得,即得.【详解】设,,所以,又,所以.因为且,所以,整理可得,又动点M的轨迹是,所以,解得,所以,又,所以,因为,所以的最小值为.故选:C.二.多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.已知向量,则下列结论中正确的是()A.若,则B.若,则C.不存在实数,使得D.若,则答案:AC【解析】分析:根据向量的模的计算公式,可判定A选项正确;根据向量垂直的条件,列出方程,可判定B选项错误;根据共线向量的条件,列出方程组,可判定C选项正确;根据向量的数量积的运算公式,列出方程,可判定D选项错误.【详解】对于A中,由,可得,解得,故A选项正确;对于B中,由,可得,解得,故B选项错误;对于C中,若存在实数,使得,则,显然无解,即不存在实数,使得,故C选项正确;对于D中,若,则,解得,于是,故D选项错误.故选:AC.【点睛】本题主要考查了空间向量的垂直与共线的表示及应用,以及空间向量的数量积的运算,其中解答中熟记空间向量的垂直与共线的条件,以及数量积的运算公式,逐项判定是解答的关键,着重考查推理与运算能力.10.下列说法正确的是()A.任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率B.点关于直线的对称点为C.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为D.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2答案:ABD【解析】分析:A选项,利用斜率定义可知,当倾斜角为90°时,斜率不存在;B选项求解点关于直线的对称点,满足两点的斜率与乘积为-1,中点在已知直线上,进而求出对称点;C选项要考虑截距均为0的情况,D选项求出与坐标轴的交点坐标,进而求出围成的三角形的面积.【详解】当倾斜角为90°时,斜率不存在,故A选项正确;设关于直线的对称点为,则满足,解得:,故点关于直线的对称点为,B正确;当在x轴和y轴上截距都等于0时,此时直线为,故C错误;直线与两坐标轴的交点坐标为与,故与两坐标轴围成的三角形的面积为,D正确故选:ABD11.在棱长为2的正方体中,E、F、G分别为BC、、的中点,则下列选项正确的是()A.B.直线与EF所成角的余弦值为C.三棱锥的体积为D.存在实数、使得答案:BD【解析】分析:对于A,根据平行线的与已知直线的垂直关系,可得答案;对于B,根据线线夹角的定义,作平行,根据三角形的余弦定理,可得答案;对于C,根据体积的组合关系,找到三棱锥所在的三棱柱,减去其余部分,可得答案;对于D,根据平行关系,进行平面延拓,由线面平行,可得三个向量共面,可得答案.【详解】对于A,在正方体中,,易知与不垂直,故错误;对于B,在正方体中,取的中点,连接,如下图,易知,则为直线与夹角或其补角,,,,中,,因此,直线与EF所成角的余弦值为,故正确;对于C,根据题意作图如下:易知三棱柱的体积,三棱锥的体积,四棱锥的体积,三棱锥的体积,故错误;对于D,连接,作图如下:易知,则共面,,则共面,即存在实数、使得,故正确;故选:BD.12.已知圆和圆的交点为、,则(
)A.两圆的圆心距B.圆上存点,圆上存在点,使得C.圆上存在两点和使得D.圆上的点到直线的最大距离为答案:ABD【解析】分析:求出两圆圆心距,可判断A选项;计算出的取值范围,可判断B选项;求出,可判断C选项;求出圆上的点到直线的最大距离,可判断D选项.【详解】对于A选项,圆的标准方程为,圆心为,半径为,圆的标准方程为,圆心为,半径为,所以,,A对;对于B选项,因为,则两圆相交,所以,,,因为,所以,圆上存点,圆上存在点,使得,B对;对于C选项,将两圆方程作差可得,即直线的方程为,圆心到直线的距离为,所以,,对于圆上的任意两点、,,C错;对于D选项,圆心到直线的距离的最大值为,D对.故选:ABD.三、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.)13.若直线与平行,则_____________,与间的距离为_____________.答案:①.②.【解析】分析:直接根据两直线平行,列出方程即可求得,然后用两平行直线间的距离公式即可得到结果.【详解】因为直线与平行,则,即,两平行直线间的距离,故答案为:;.14.在棱长为的正方体中,直线到平面的距离为_______________.答案:【解析】分析:以为坐标原点建立空间直角坐标系,根据平面可知所求距离即为点到平面的距离,利用点到面的距离的向量求法可求得结果.【详解】以为坐标原点,为轴建立如图所示空间直角坐标系,,平面,平面,平面,直线到平面的距离即为点到平面的距离;,,,,,,,设平面的法向量,则,令,解得:,,,点到平面的距离,即直线到平面的距离.故答案为:.15.如图,已知一个的二面角的棱上有两点和,且和分别是在这两个面内且垂直于的线段.又知,,,则求CD的长为___.答案:【解析】分析:由向量的线性运算法则得到,根据题设条件和向量的数量积、向量模的计算公式,即可求解.【详解】由向量的线性运算法则,可得,因为,,且二面角的平面角为,可得,,且,又因为和分别是在这两个面内且垂直于的线段,所以,所以.故答案为:.16.若直线与曲线有两个交点,则实数的取值范围是______.答案:【解析】分析:先求出直线所过定点,再将曲线转化为,可知其为半圆,结合图像,即可求出的取值范围.【详解】由题意得,直线的方程可化为,所以直线恒过定点,又曲线可化为,其表示以为圆心,半径为2的圆的上半部分,如图.当与该曲线相切时,点到直线的距离,解得,设,则,由图可得,若要使直线与曲线有两个交点,须得,即故答案为:.三、解答题:(本题共6小题,共70分)17.已知△ABC的顶点坐标为A(﹣3,9)、B(2,2)、C(5,3).(1)求AC边中线所在直线的方程;(2)求△ABC的面积.答案:(1)4x+y-10=0(2)【解析】分析:(1)先求解AC的中点M的坐标,利用直线方程的点斜式,即得解;(2)先求解直线AC的方程,点B到直线AC的距离即为△ABC的AC边的高,利用面积公式求解即可.【小问1详解】△ABC的顶点坐标为A(-3,9)、B(2,2)、C(5,3),所以AC的中点M的坐标为(,)=(1,6),所以AC边中线所在直线BM方程为,即AC边中线所在直线的方程为4x+y-10=0;【小问2详解】由题意可得,直线AC的方程为,即3x+4y-27=0,所以点B到直线AC的距离为h=,,则△ABC的面积为.18.已知四棱锥的底面为直角梯形,,,底面,且,是的中点.(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.答案:(1)证明见解析(2)【解析】分析:(1)取的中点为,连接、,即可证明四边形是平行四边形,从而得到,即可得证;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量法计算可得.【小问1详解】证明:取的中点为,连接、,因为、分别是、的中点,所以且,又且,所以且,所以四边形是平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面.【小问2详解】解:因为,底面,所以两两互相垂直,以为坐标原点,以分别为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系如图所示,则,则,设平面一个法向量为,所以,即,令,则,设直线与平面所成角为,则,即直线与平面所成角的正弦值为.19.如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处,B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1千米为一个单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O,A,B三点.(1)求圆C的方程;(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险?答案:(1);(2)该船有触礁的危险.【解析】分析:(1)根据给定条件,求出点A,B的坐标,设出圆C的一般方程,利用待定系数法求解作答.(2)求出船D的航线所在直线的方程,再利用点到直线距离公式计算判断作答.【小问1详解】依题意,因A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处,则点,又B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处,则,设过O,A,B三点的圆C的方程为,则,解得,所以圆C的方程为.【小问2详解】因船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处,则,而船D沿着北偏东45°方向行驶,则船D的航线所在直线l的斜率为1,直线l的方程为,由(1)知,圆C的圆心为,半径,则圆心C到直线l的距离,则,所以该船有触礁的危险.20.已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知.(1)线段的长(2)求到平面的距离;答案:(1)(2)【解析】分析:建立空间直角做标系,用空间向量的方法解题即可.【小问1详解】如右图,取的中点,则,因为,所以,因为在底面的射影为,所以平面,以为轴建立空间坐标系,则,,,,,,,,由,得,.【小问2详解】设平面的法向量为,,,所以,设,则,所以点到平面的距离.21.如图,已知梯形,//,,四边形为正方形,且平面平面.(1)求证:平面;(2)点M在线段
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