广东省广州市八十九中2022-2023学年高二上学期期中数学试题(原卷版+解析)

高二上学期期中考试数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.2.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（）A B.C. D.与斜交3.如图所示，在三棱柱中，底面，，，点，分别是棱，的中点，则直线与所成的角是（）A. B. C. D.4.圆与直线相交所得弦长为（）A.1 B. C.2 D.25.在空间四边形ABCD中，＝（）A.－1 B.0C.1 D.不确定6.过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（）A. B. C.2 D.47.在三棱锥中，点E，F分别是的中点，点G在棱上，且满足，若，则（）A. B. C. D.8.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（）A. B. C. D.二．多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知向量，则下列结论中正确是（）A.若，则B.若，则C.不存在实数，使得D.若，则10.下列说法正确的是（）A.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B.点关于直线的对称点为C.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为D.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是211.在棱长为2的正方体中，E、F、G分别为BC、、的中点，则下列选项正确的是（）A.B.直线与EF所成角的余弦值为C.三棱锥的体积为D.存在实数、使得12.已知圆和圆的交点为、，则（

）A.两圆的圆心距B.圆上存点，圆上存在点，使得C.圆上存在两点和使得D.圆上的点到直线的最大距离为三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若直线与平行，则_____________，与间的距离为_____________．14.在棱长为的正方体中，直线到平面的距离为_______________．15.如图，已知一个的二面角的棱上有两点和，且和分别是在这两个面内且垂直于的线段．又知，，，则求CD的长为___．16.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.三、解答题：（本题共6小题，共70分）17.已知△ABC的顶点坐标为A（﹣3，9）、B（2，2）、C（5，3）．（1）求AC边中线所在直线方程；（2）求△ABC面积．18.已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?20.已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知.（1）线段的长（2）求到平面的距离；21.如图，已知梯形，//，，四边形为正方形，且平面平面．（1）求证：平面；（2）点M在线段上运动，求平面与平面夹角余弦值的取值范围．22.已知的方程是，直线l经过点.（1）若直线l与相切，求直线l的方程；（2）若直线l与相交于A，B两点，与直线交于点M，求证：为定值.高二上学期期中考试数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.答案：A【解析】分析：根据斜率与倾斜角的关系，直接得到答案.【详解】因为直线，则其斜率即，且

所以故选:A.2.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（）A. B.C. D.与斜交答案：B【解析】分析：判断与的位置关系，进而可得出结论.【详解】由已知可得，则，因此，.故选：B.3.如图所示，在三棱柱中，底面，，，点，分别是棱，的中点，则直线与所成的角是（）A. B. C. D.答案：C【解析】分析：建立如图所示的空间直角坐标系，求出和的坐标，进而由夹角公式可求得结果.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系．由于，不妨取，则，，，，∴，，∴，又，∴，即直线与所成的角为.

故选：C．4.圆与直线相交所得弦长为（）A.1 B. C.2 D.2答案：D【解析】分析：利用垂径定理可求弦长.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，故弦长为：，故选：D.5.在空间四边形ABCD中，＝（）A.－1 B.0C.1 D.不确定答案：B【解析】分析：令，利用空间向量的数量积运算律求解.【详解】如图，令，则，，.故选：B6.过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（）A. B. C.2 D.4答案：C【解析】分析：根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.【详解】动直线化为，可知定点，动直线化为，可知定点，又所以直线与直线垂直，为交点，.则，当且仅当时，等号成立.即面积的最大值为2.故选：C.7.在三棱锥中，点E，F分别是的中点，点G在棱上，且满足，若，则（）A. B. C. D.答案：B【解析】分析：利用空间向量的加、减运算即可求解.【详解】由题意可得故选：B.8.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C【解析】分析：根据点的轨迹方程可得，结合条件可得，即得.【详解】设，，所以，又，所以．因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，所以，解得，所以，又，所以，因为，所以的最小值为．故选：C．二．多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知向量，则下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则C.不存在实数，使得D.若，则答案：AC【解析】分析：根据向量的模的计算公式，可判定A选项正确；根据向量垂直的条件，列出方程，可判定B选项错误；根据共线向量的条件，列出方程组，可判定C选项正确；根据向量的数量积的运算公式，列出方程，可判定D选项错误.【详解】对于A中，由，可得，解得，故A选项正确；对于B中，由，可得，解得，故B选项错误；对于C中，若存在实数，使得，则，显然无解，即不存在实数，使得，故C选项正确；对于D中，若，则，解得，于是，故D选项错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查了空间向量的垂直与共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的垂直与共线的条件，以及数量积的运算公式，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10.下列说法正确的是（）A.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B.点关于直线的对称点为C.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为D.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2答案：ABD【解析】分析：A选项，利用斜率定义可知，当倾斜角为90°时，斜率不存在；B选项求解点关于直线的对称点，满足两点的斜率与乘积为-1，中点在已知直线上，进而求出对称点；C选项要考虑截距均为0的情况，D选项求出与坐标轴的交点坐标，进而求出围成的三角形的面积.【详解】当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A选项正确；设关于直线的对称点为，则满足，解得：，故点关于直线的对称点为，B正确；当在x轴和y轴上截距都等于0时，此时直线为，故C错误；直线与两坐标轴的交点坐标为与，故与两坐标轴围成的三角形的面积为，D正确故选：ABD11.在棱长为2的正方体中，E、F、G分别为BC、、的中点，则下列选项正确的是（）A.B.直线与EF所成角的余弦值为C.三棱锥的体积为D.存在实数、使得答案：BD【解析】分析：对于A，根据平行线的与已知直线的垂直关系，可得答案；对于B，根据线线夹角的定义，作平行，根据三角形的余弦定理，可得答案；对于C，根据体积的组合关系，找到三棱锥所在的三棱柱，减去其余部分，可得答案；对于D，根据平行关系，进行平面延拓，由线面平行，可得三个向量共面，可得答案.【详解】对于A，在正方体中，，易知与不垂直，故错误；对于B，在正方体中，取的中点，连接，如下图，易知，则为直线与夹角或其补角，，，，中，，因此，直线与EF所成角的余弦值为，故正确；对于C，根据题意作图如下：易知三棱柱的体积，三棱锥的体积，四棱锥的体积，三棱锥的体积，故错误；对于D，连接，作图如下：易知，则共面，，则共面，即存在实数、使得，故正确；故选：BD.12.已知圆和圆的交点为、，则（

）A.两圆的圆心距B.圆上存点，圆上存在点，使得C.圆上存在两点和使得D.圆上的点到直线的最大距离为答案：ABD【解析】分析：求出两圆圆心距，可判断A选项；计算出的取值范围，可判断B选项；求出，可判断C选项；求出圆上的点到直线的最大距离，可判断D选项.【详解】对于A选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，所以，，A对；对于B选项，因为，则两圆相交，所以，，，因为，所以，圆上存点，圆上存在点，使得，B对；对于C选项，将两圆方程作差可得，即直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以，，对于圆上的任意两点、，，C错；对于D选项，圆心到直线的距离的最大值为，D对.故选：ABD.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若直线与平行，则_____________，与间的距离为_____________．答案：①.②.【解析】分析：直接根据两直线平行，列出方程即可求得，然后用两平行直线间的距离公式即可得到结果.【详解】因为直线与平行，则，即,两平行直线间的距离,故答案为:；.14.在棱长为的正方体中，直线到平面的距离为_______________．答案：【解析】分析：以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据平面可知所求距离即为点到平面的距离，利用点到面的距离的向量求法可求得结果.【详解】以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，，平面，平面，平面，直线到平面的距离即为点到平面的距离；，，，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，，点到平面的距离，即直线到平面的距离.故答案为：.15.如图，已知一个的二面角的棱上有两点和，且和分别是在这两个面内且垂直于的线段．又知，，，则求CD的长为___．答案：【解析】分析：由向量的线性运算法则得到，根据题设条件和向量的数量积、向量模的计算公式，即可求解.【详解】由向量的线性运算法则，可得，因为，，且二面角的平面角为，可得，，且，又因为和分别是在这两个面内且垂直于的线段，所以，所以.故答案为：.16.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.答案：【解析】分析：先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围.【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图.当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，设，则，由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即故答案为：.三、解答题：（本题共6小题，共70分）17.已知△ABC的顶点坐标为A（﹣3，9）、B（2，2）、C（5，3）．（1）求AC边中线所在直线的方程；（2）求△ABC的面积．答案：（1）4x+y-10=0（2）【解析】分析：（1）先求解AC的中点M的坐标，利用直线方程的点斜式，即得解；（2）先求解直线AC的方程，点B到直线AC的距离即为△ABC的AC边的高，利用面积公式求解即可.【小问1详解】△ABC的顶点坐标为A（-3，9）、B（2，2）、C（5，3），所以AC的中点M的坐标为（，）=（1，6），所以AC边中线所在直线BM方程为​​​​​​​，即AC边中线所在直线的方程为4x+y-10=0；【小问2详解】由题意可得，直线AC的方程为，即3x+4y-27=0，所以点B到直线AC的距离为h=，,则△ABC的面积为．18.已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）【解析】分析：（1）取的中点为，连接、，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】证明：取的中点为，连接、，因为、分别是、的中点，所以且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】解：因为，底面，所以两两互相垂直，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，则，则，设平面一个法向量为，所以，即，令，则，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.19.如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?答案：（1）；（2）该船有触礁的危险．【解析】分析：（1）根据给定条件，求出点A，B的坐标，设出圆C的一般方程，利用待定系数法求解作答.（2）求出船D的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答.【小问1详解】依题意，因A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，则点，又B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处，则，设过O，A，B三点的圆C的方程为，则，解得，所以圆C的方程为．【小问2详解】因船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，则，而船D沿着北偏东45°方向行驶，则船D的航线所在直线l的斜率为1，直线l的方程为，由（1）知，圆C的圆心为，半径，则圆心C到直线l的距离，则，所以该船有触礁的危险.20.已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知.（1）线段的长（2）求到平面的距离；答案：（1）（2）【解析】分析：建立空间直角做标系，用空间向量的方法解题即可.【小问1详解】如右图，取的中点，则，因为，所以，因为在底面的射影为，所以平面，以为轴建立空间坐标系，则，，，，，，，，由，得，.【小问2详解】设平面的法向量为，，，所以，设，则，所以点到平面的距离.21.如图，已知梯形，//，，四边形为正方形，且平面平面．（1）求证：平面；（2）点M在线段