2024年中考数学二次函数压轴题专题12菱形的存在性问题(学生版+解析)

专题12菱形的存在性问题一、知识导航作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：（1）有一组邻边相等的平行四边形菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边都相等的四边形是菱形．坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足：考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等．即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点（2）1个定点+3个半动点解决问题的方法也可有如下两种：思路1：先平四，再菱形设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．思路2：先等腰，再菱形在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点．

看个例子：如图，在坐标系中，A点坐标（1,1），B点坐标为（5,4），点C在x轴上，点D在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形．思路1：先平四，再菱形设C点坐标为（m，0），D点坐标为（p，q）．（1）当AB为对角线时，由题意得：（AB和CD互相平分及AC=BC），解得：（2）当AC为对角线时，由题意得：（AC和BD互相平分及BA=BC），解得：或（3）当AD为对角线时，由题意得：，解得：或思路2：先等腰，再菱形先求点C，点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C，再确定D点．（1）当AB=AC时，C点坐标为，对应D点坐标为；C点坐标为，对应D点坐标为．（2）当BA=BC时，C点坐标为（8，0），对应D点坐标为（4，-3）；C点坐标为（2，0），对应D点坐标为（-2，-3）．（3）AC=BC时，C点坐标为，D点坐标为．以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法．二、典例精析如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：；（2）先考虑M点位置，即由A、C、M三点构成的三角形是等腰三角形：①当CA=CM时，即CM=CA=，M点坐标为、，对应N点坐标为、．②当AC=AM时，即AM=AC=，M点坐标为（0，6），对应N点坐标为（2，0）．③当MA=MC时，勾股定理可求得M点坐标为，对应N点坐标为．综上，N点坐标为、、（2，0）、．如下图依次从左到右．三、中考真题演练1．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2023·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式．(3)抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标．5．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．

(1)求这个二次函数的解析式．(3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．7．（2023·四川达州·中考真题）如图，抛物线过点．

(1)求抛物线的解析式；(3)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．专题12菱形的存在性问题一、知识导航作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：（1）有一组邻边相等的平行四边形菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边都相等的四边形是菱形．坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足：考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等．即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点（2）1个定点+3个半动点解决问题的方法也可有如下两种：思路1：先平四，再菱形设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．思路2：先等腰，再菱形在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点．

看个例子：如图，在坐标系中，A点坐标（1,1），B点坐标为（5,4），点C在x轴上，点D在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形．思路1：先平四，再菱形设C点坐标为（m，0），D点坐标为（p，q）．（1）当AB为对角线时，由题意得：（AB和CD互相平分及AC=BC），解得：（2）当AC为对角线时，由题意得：（AC和BD互相平分及BA=BC），解得：或（3）当AD为对角线时，由题意得：，解得：或思路2：先等腰，再菱形先求点C，点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C，再确定D点．（1）当AB=AC时，C点坐标为，对应D点坐标为；C点坐标为，对应D点坐标为．（2）当BA=BC时，C点坐标为（8，0），对应D点坐标为（4，-3）；C点坐标为（2，0），对应D点坐标为（-2，-3）．（3）AC=BC时，C点坐标为，D点坐标为．以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法．二、典例精析如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：；（2）先考虑M点位置，即由A、C、M三点构成的三角形是等腰三角形：①当CA=CM时，即CM=CA=，M点坐标为、，对应N点坐标为、．②当AC=AM时，即AM=AC=，M点坐标为（0，6），对应N点坐标为（2，0）．③当MA=MC时，勾股定理可求得M点坐标为，对应N点坐标为．综上，N点坐标为、、（2，0）、．如下图依次从左到右．三、中考真题演练1．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）将，代入，求出,即可得出答案；（3）抛物线的对称轴为直线，设，，求出，，，分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线．【详解】（1）解：（1）∵，两点在抛物线上，∴解得，，∴抛物线的解析式为：；（3）存在，理由如下：抛物线的对称轴为：直线，设，，∵，则，，，∵以为顶点的四边形是菱形，∴分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线，当以为对角线时，则，如图1，

∴，解得：，∴或∵四边形是菱形，∴与互相垂直平分，即与的中点重合，当时，∴，解得：，∴当时，∴，解得：，∴以为对角线时，则，如图2，

∴，解得：，∴，∵四边形是菱形，∴与互相垂直平分，即与中点重合，∴，解得：，∴；当以为对角线时，则，如图3，

∴，解得：，∴，∵四边形是菱形，∴与互相垂直平分，即与的中点重合，∴，解得：∴，综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为：，或，或，或或2．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．

(1)求抛物线的表达式；(3)在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，∴，解得．∴抛物线的表达式为：．（3）解：存在，点的坐标为或．如下图，连接，，

∵四边形是菱形，，∴，∵，∴是等边三角形．∴，∵，，，∴，，点与点关于对称轴对称，∴，，∴是等边三角形，，∴，∴即，，∴．∴．∴直线的表达式为：．与抛物线表达式联立得．∴点坐标为．如下图，连接，，，

同理可证：是等边三角形，是等边三角形，．∴，∵，，∴．∴．∴．∴直线的表达式为：．与抛物线表达式联立得．∴点坐标为．3．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．

(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；(3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：由题意可得：，解得：，所以抛物线的函数表达式为；当时，，则顶点M的坐标为．（3）解：存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形①如图：线段作为菱形的边，当为菱形的对角线时，作关于直线的对称线段交于E，连接,作点E关于的对称点F，即为菱形，由对称性可得F的坐标为，故存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，此时．当为菱形对角线时，，设，，则，解得：或，∴或②线段作为菱形的对角线时，如图：设∵菱形,∴,的中点G的坐标为，点G是的中点，∴，解得，∴，设，则有：，解得：，∴．

综上，当或或或时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．4．（2023·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式．(3)抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标．【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（3）根据题意，分别求得，①当为对角线时，，②当为边时，分，，根据勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，∴，解得：，∴抛物线解析式为：；（3）∵抛物线与轴交于点，∴，当时，，即，∵，∴,，，①当为对角线时，，

∴，解得：，∴，∵的中点重合，∴，解得：，∴，②当为边时，当四边形为菱形，

∴，解得：或，∴或，∴或，由的中点重合，∴或，解得：或，∴或，当时；如图所示，即四边形是菱形，

点的坐标即为四边形为菱形时，的坐标，∴点为或，综上所述，点为或或或或．【点睛】本题考查了二次函数的性质，面积问题，菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质，细心的计算是解题的关键．5．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．

(1)求这个二次函数的解析式．(3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可；（3）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示，为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可．【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线，∴，∴，∵二次函数经过点，∴，即，∴，∴二次函数解析式为；（2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线，∴，∴，∵二次函数与y轴交于点C，∴，∴；设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，设，则，，∴；∵，∴，∵，∴当时，最大，最大值为，∴此时点P的坐标为；（3）解：设，则，，∵轴，∴轴，即，∴是以、为顶点的菱形的边；如图3-1所示，当为对角线时，

∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴轴，∴轴，即轴，∴点C与点N关于抛物线对称轴对称，∴点N的坐标为，∴，∴；如图3-2所示，当为边时，则，

∵，，∴，∴，解得或（舍去），∴，∴；如图3-3所示，当为边时，则，

同理可得，∴，解得或（舍去），∴，∴；如图3-4所示，当为边时，则，

同理可得，解得（舍去）或（舍去）；如图3-5所示，当为对角线时，

∴，∵，∴，∴，∴轴，∴轴，这与题意相矛盾，∴此种情形不存在如图3-6所示，当为对角线时，设交于S，

∵轴，∴，∵，∴，这与三角形内角和为180度矛盾，∴此种情况不存在；综上所述，或或．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．6．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．【答案】(1)(2)周长的最大值，此时点(3)以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或【分析】（1）把、代入计算即可；（2）延长交轴