【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第15讲余弦定理、正弦定理的应用(原卷版+解析)

第15讲余弦定理、正弦定理的应用【学习目标】1、进一步熟悉余弦定理、正弦定理；2、了解常用的测量相关术语；3、能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。【考点目录】考点一：判定三角形的形状考点二：求三角形边长或周长范围与最值问题考点三：求三角形面积范围与最值问题考点四：几何图形的计算考点五：距离测量问题考点六：高度测量问题考点七：角度测量问题考点八：正余弦定理与三角函数性质的综合应用【基础知识】知识点一、解三角形应用题的步骤解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；（3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题．知识点二、解三角形应用题的基本思路实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解【考点剖析】考点一：判定三角形的形状例1．(2023·天津·高一期末）在中，若，则是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形例2．(2023·全国·高一单元测试）在中，若，则这个三角形是（

）A．底角不等于的等腰三角形 B．锐角不等于的直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形考点二：求三角形边长或周长范围与最值问题例3．(2023·四川内江·高一期末（文））中，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．例4．(2023·山西运城·高一阶段练习）在中，，D是BC中点，且，则的最大值为（

）A． B． C．4 D．例5．(2023·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且满足关系式，则的取值范围是（

）A． B．C． D．考点三：求三角形面积范围与最值问题例6．(2023·江苏南通·高一期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为(

)A．1 B．3 C．2 D．4例7．(2023·四川省岳池中学高一阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则的面积的最大值为（

）A．3 B．6 C． D．例8．(2023·四川·攀枝花市第三高级中学校高一阶段练习（理））设锐角的内角的对边分别为，已知，，则面积的取值范围为（

）A． B． C． D．考点四：几何图形的计算例9．(2023·山东滨州·高一期末）如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.(1)求AC；(2)求.例10．(2023·辽宁·高一期末）如图，在已知圆周上有四点、、、，，，.(1)求的长以及四边形的面积；(2)设，，求的值.考点五：距离测量问题例11．(2023·上海市陆行中学高一期末）某观测站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏东方向的处有一艘渔船正向港口驶去，行驶了20千米后，到达处，在观察站处测得间的距离为31千米，间的距离为21千米，问这艘渔船到达港口还需行驶多少千米？例12．(2023·上海市第十中学高一期末）如图，要计算西湖岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两点，现测得，，，，，求两景点与的距离（精确到）.参考数据：，，.考点六：高度测量问题例13．(2023·云南保山·高一期末）文笔塔，又称慈云塔，位于保山市隆阳区太保山麓，古塔建设于唐代南诏时期．2007年4月在原址拆除重建后的文笔塔新塔与广大市民见面．如图，某同学在测量塔高AB时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C和D．测得，在点C测得塔顶A仰角为，已知，，且CD＝56米．(1)求；(2)求塔高AB（结果保留整数）．例14．(2023·四川乐山·高一期末）如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得点M的仰角，C点的仰角以及；从C点测得．已知山高，求山高．考点七：角度测量问题例15．(2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角．例16．(2023·重庆八中高一期末）从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角．某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我国海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为20海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向．以20海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以海里/小时的速度，以直线轨迹行驶前去营救，求护航舰的航向（方位角）和靠近货船所需的时间．考点八：正余弦定理与三角函数性质的综合应用例17．(2023·广东·广州市培英中学高一期中）如图，在中，，点E，F是线段BC（含端点）上的动点，且点F在点E的右下方，在运动的过程中，始终保持不变，设．(1)写出的取值范围，并分别求线段AE，AF关于的函数关系式；(2)求面积S的最小值．例18．(2023·全国·高一专题练习）已知向量，，函数.（1）求函数的零点；（2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围.【真题演练】1．（2023·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距2．（2023·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（

）A．346 B．373 C．446 D．4733．(2023·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．4．(2023·全国·高考真题（文））如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．5．(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．6．（2023·江苏·高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．7．（2023·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．8．(2023·浙江·高考真题（理））在中，角、、所对的边分别为、、，且．(1)求的值；(2)若，求的最大值．9．(2023·全国·高考真题（理））设锐角三角形的内角，，的对边分别为（1）求B的大小；（2）求的取值范围.10．(2023·湖南·高考真题（理））如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.（1）求cos∠CAD的值；（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．【过关检测】一、单选题1．(2023·上海·华东师范大学附属东昌中学高一期末）某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量､两地之间的距离，甲同学选定了与､不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量.其中要求能唯一确定､两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④2．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）在中，，，以为边作等腰直角三角形（为直角顶点，、两点在直线的两侧）.当变化时，线段长的最大值为（

）A． B． C． D．3．(2023·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一阶段练习）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为，此人往滕王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于（

）（忽略人的身高）（参考最据：）A．9米 B．57米 C．54米 D．51米4．(2023·浙江杭州·高一期中）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（

）A．若，则一定是等边三角形B．若，则一定是等腰三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，则一定是锐角三角形5．(2023·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））己知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的有（

）A．若为等边三角形且边长为2，则B．若满足，则C．若，则D．若，则为锐角三角形6．(2023·河南·商水县实验高级中学高一期末）杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑.小金同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小金可测得学校天文台的高度为（

）A． B． C． D．7．(2023·浙江·高一期中）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（

）A． B．C． D．8．(2023·四川省德阳中学校高一阶段练习（理））已知轮船和轮船同时从岛出发，船沿北偏东的方向航行，船沿正北方向航行（如图）．若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船相距（

）．A． B．40 C． D．二、多选题9．(2023·全国·高一课时练习）某人向正东方向走了后向右转了，然后沿新方向走了，结果离出发点恰好，那么x的值是（

）A． B． C．3 D．610．(2023·全国·高一课时练习）一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（

）A．北偏东方向 B．南偏东方向 C．东北方向 D．东南方向11．(2023·全国·高一课时练习）如图，的内角所对的边分别为，且.若是外一点，，则下列说法中正确的是（

）A．的内角B．的内角C．四边形面积的最小值为D．四边形面积无最大值12．(2023·重庆·西南大学附中高一期末）锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆O的半径，点D在边BC上，且，则下列判断正确的是（

）A． B．△BOD为直角三角形C．△ABC周长的取值范围是（3，9] D．AD的最大值为三、填空题13．(2023·全国·高一专题练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的必到景点，其集圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为米，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A和教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为______米.14．(2023·青海·海东市教育研究室高一期末）甲，乙两艘渔船从港口处出海捕鱼，甲在处西北方向上的处捕鱼，乙在处北偏东方向上的处捕鱼，已知处在处北偏东的方向上，则，之间的距离为_____________．15．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点.如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，.则的外接圆直径长为______.16．(2023·全国·高一课时练习）在中，角所对的边分别为，已知向量，且．若，且是锐角三角形，则的取值范围为______．四、解答题17．(2023·上海市陆行中学高一期末）某观测站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏东方向的处有一艘渔船正向港口驶去，行驶了20千米后，到达处，在观察站处测得间的距离为31千米，间的距离为21千米，问这艘渔船到达港口还需行驶多少千米？18．(2023·湖南·隆回县教育科学研究室高一期末）如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，，，已知，，°(1)求的值；(2)求sinC的值；(3)若D为边BC上一点，且cos∠ADC=，求BD的长.19．(2023·黑龙江·建三江分局第一中学高一期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)若，求cosB的值；(2)是否存在△ABC，满足B为直角？若存在，求出△ABC的面积；若不存在，请说明理由.20．(2023·福建三明·高一期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．(1)若，且，求△ABC的面积；(2)求的最大值．21．(2023·浙江省杭州第二中学高一期末）如图，直线，点是，之间的一个定点，过点的直线垂直于直线，，（，为常数），点，分别为，上的动点，已知.设（），的面积为.(1)若，求梯形的面积；(2)写出的解析式；(3)求的最小值.22．(2023·江西·临川一中高一阶段练习）如图所示，公路一侧有一块空地，其中，，．市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，M在之间），且．(1)若M在距离A点处，求的长度；(2)为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积．第15讲余弦定理、正弦定理的应用【学习目标】1、进一步熟悉余弦定理、正弦定理；2、了解常用的测量相关术语；3、能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。【考点目录】考点一：判定三角形的形状考点二：求三角形边长或周长范围与最值问题考点三：求三角形面积范围与最值问题考点四：几何图形的计算考点五：距离测量问题考点六：高度测量问题考点七：角度测量问题考点八：正余弦定理与三角函数性质的综合应用【基础知识】知识点一、解三角形应用题的步骤解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；（3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题．知识点二、解三角形应用题的基本思路实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解【考点剖析】考点一：判定三角形的形状例1．(2023·天津·高一期末）在中，若，则是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形答案：A【解析】因为，所以所以，即，因为，所以，因为，所以，因为，所以，即是直角三角形.故选：A例2．(2023·全国·高一单元测试）在中，若，则这个三角形是（

）A．底角不等于的等腰三角形 B．锐角不等于的直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形答案：D【解析】由正弦定理及题意，得，．∵，∴，∴或，即或．∴这个三角形为直角三角形或等腰三角形．故选：D考点二：求三角形边长或周长范围与最值问题例3．(2023·四川内江·高一期末（文））中，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为，所以，即，由正弦定理可得，由余弦定理，因为，所以，由正弦定理，所以，因为，所以，所以.故选：A例4．(2023·山西运城·高一阶段练习）在中，，D是BC中点，且，则的最大值为（

）A． B． C．4 D．答案：A【解析】因为是的中点，所以，因为，，所以，在中由正弦定理，有，所以，．所以，（其中，，所以时，此时取得最大值为，所以的最大值为．故选：A例5．(2023·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且满足关系式，则的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】,由正弦定理可得，再由余弦定理可得，,.所以在锐角中，，由正弦定理得：所以，所以.因为，所以，所以.故选：D.考点三：求三角形面积范围与最值问题例6．(2023·江苏南通·高一期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为(

)A．1 B．3 C．2 D．4答案：C【解析】，，即，即，则，整理得，∴，当且仅当a2，则．故选：C．例7．(2023·四川省岳池中学高一阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则的面积的最大值为（

）A．3 B．6 C． D．答案：A【解析】，故，因为，所以，又，由余弦定理得：，由面积公式得：，由三角形三边关系得：，解得：，故当时，△ABC面积取得最大值，此时面积为3.故选：A例8．(2023·四川·攀枝花市第三高级中学校高一阶段练习（理））设锐角的内角的对边分别为，已知，，则面积的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由得：，；，，，解得：，；由正弦定理得：；为锐角三角形，，解得：，，，，.故选：D.考点四：几何图形的计算例9．(2023·山东滨州·高一期末）如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.(1)求AC；(2)求.【解析】（1）因为的面积为，所以.又因为，，所以.由余弦定理得，，，所以.（2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.例10．(2023·辽宁·高一期末）如图，在已知圆周上有四点、、、，，，.(1)求的长以及四边形的面积；(2)设，，求的值.【解析】(1)由余弦定理可得，整理可得，因为，解得.由圆内接四边形的性质可知，所以，，由余弦定理可得，整理可得，，解得，因为，所以，.(2)由余弦定理可得，，则为锐角，为钝角，所以，，，则，，因此，.考点五：距离测量问题例11．(2023·上海市陆行中学高一期末）某观测站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏东方向的处有一艘渔船正向港口驶去，行驶了20千米后，到达处，在观察站处测得间的距离为31千米，间的距离为21千米，问这艘渔船到达港口还需行驶多少千米？【解析】在中，，，，由余弦定理得，所以.在中，，，.由正弦定理得（千米）.所以这艘渔船到达港口还需行驶15千米.例12．(2023·上海市第十中学高一期末）如图，要计算西湖岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两点，现测得，，，，，求两景点与的距离（精确到）.参考数据：，，.【解析】根据题意，在中，，，，所以由余弦定理得：，即；所以，，因为，所以，所以，所以，在中，，，所以，，即.所以，景点与的距离大约为考点六：高度测量问题例13．(2023·云南保山·高一期末）文笔塔，又称慈云塔，位于保山市隆阳区太保山麓，古塔建设于唐代南诏时期．2007年4月在原址拆除重建后的文笔塔新塔与广大市民见面．如图，某同学在测量塔高AB时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C和D．测得，在点C测得塔顶A仰角为，已知，，且CD＝56米．(1)求；(2)求塔高AB（结果保留整数）．【解析】（1）在中，因为，所以，则，所以，所以，又，所以，则；（2）在中，因为，所以米，则中，米，所以塔高AB为47米.例14．(2023·四川乐山·高一期末）如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得点M的仰角，C点的仰角以及；从C点测得．已知山高，求山高．【解析】在中，因，则，在，，则，由正弦定理可得，即，解得，在中，，，则．所以山高为.考点七：角度测量问题例15．(2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角．【解析】由勾股定理得：，，由余弦定理得：，因为，所以.例16．(2023·重庆八中高一期末）从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角．某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我国海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为20海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向．以20海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以海里/小时的速度，以直线轨迹行驶前去营救，求护航舰的航向（方位角）和靠近货船所需的时间．【解析】设护航舰靠近货船所需时间为t小时，营救地点为，可得，．在△ABC中，由余弦定理可得，∴，化简可得，∴或（舍去）．∴护航舰需要1小时靠近货船．∴，BC＝20，在△ABC中，根据正弦定理得：，∴，为三角形内角，∴，∴可得护航舰航行的方位角为75°，所需时间为1小时．考点八：正余弦定理与三角函数性质的综合应用例17．(2023·广东·广州市培英中学高一期中）如图，在中，，点E，F是线段BC（含端点）上的动点，且点F在点E的右下方，在运动的过程中，始终保持不变，设．(1)写出的取值范围，并分别求线段AE，AF关于的函数关系式；(2)求面积S的最小值．【解析】（1）由题意知，．（2）．当且仅当时，取“”．例18．(2023·全国·高一专题练习）已知向量，，函数.（1）求函数的零点；（2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围.【解析】（1）由条件可得：，∴，所以函数零点满足，则，得，；（2）由正弦定理得，由（1），而，得，∴，，又，得，∴代入上式化简得：，又在钝角中，不妨设为钝角，有，则有.∴.【真题演练】1．（2023·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距答案：A【解析】如图所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故选：A.2．（2023·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（

）A．346 B．373 C．446 D．473答案：B【解析】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以．所以．因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以．故选：B．3．(2023·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．答案：【解析】[方法一]：余弦定理设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.[方法二]：建系法令BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理设BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，则，，，当且仅当，即时等号成立.[方法四]：判别式法设，则在中，，在中，，所以，记，则由方程有解得：即，解得：所以，此时所以当取最小值时，，即.

4．(2023·全国·高考真题（文））如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．答案：150【解析】在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，．故答案为150．考点：正弦定理的应用．5．(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【解析】（1）因为，即，而，所以；（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．6．（2023·江苏·高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．【解析】（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长；（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．【详解】解法一：（1）过A作，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.因为PB⊥AB，所以.所以.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知，从而，所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设为l上一点，且，由（1）知，，此时；当∠OBP>90°时，在中，.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为.因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，直线PB的方程为.所以P（−13，9），.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：.在线段AD上取点M（3，），因为，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设为l上一点，且，由（1）知，，此时；当∠OBP>90°时，在中，.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P（−13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.7．（2023·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【解析】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是8．(2023·浙江·高考真题（理））在中，角、、所对的边分别为、、，且．(1)求的值；(2)若，求的最大值．【解析】（1）因为；（2）根据余弦定理可知：，，又，即，，当且仅当时，，故的最大值是．9．(2023·全国·高考真题（理））设锐角三角形的内角，，的对边分别为（1）求B的大小；（2）求的取值范围.答案：（1）；（2）【解析】分析：（1）由，根据正弦定理得，所以，由△ABC为锐角的三角形得（2）由△ABC为锐角的三角形知，所以，，，由此有，所以，的取值范围为10．(2023·湖南·高考真题（理））如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.（1）求cos∠CAD的值；（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．答案：(1)(2)【解析】分析：试题分析：(1)利用题意结合余弦定理可得；(2)利用题意结合正弦定理可得：.试题解析：（I）在中，由余弦定理得(II)设

在中，由正弦定理，

故【过关检测】一、单选题1．(2023·上海·华东师范大学附属东昌中学高一期末）某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量､两地之间的距离，甲同学选定了与､不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量.其中要求能唯一确定､两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④答案：C【解析】①测量∠A，∠C，∠B，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；②测量∠A，∠B，BC，已知两角及一边，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；③测量∠A，AC，BC，已知两边及其一边的对角，由正弦定理可知，三角形可能有2个解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；④测量∠C，AC，BC，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离.综上可得，一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是②④.故选：C2．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）在中，，，以为边作等腰直角三角形（为直角顶点，、两点在直线的两侧）.当变化时，线段长的最大值为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】方法一：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，在中，，，，，

，在中，，当点在上时，即、、三点共线，此时有的最大值，的最大值为：，，的最大值为：.故选：C.方法二：如图，设，，在中，由余弦定理可知：，在中，由余弦定理可知：，由同角关系可得：，，令，则，当时等号成立.的最大值为：.故选：C.3．(2023·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一阶段练习）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为，此人往滕王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于（

）（忽略人的身高）（参考最据：）A．9米 B．57米 C．54米 D．51米答案：B【解析】设滕王阁的高度为，由题设知：，所以，则，又，可得米.故选：B4．(2023·浙江杭州·高一期中）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（

）A．若，则一定是等边三角形B．若，则一定是等腰三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，则一定是锐角三角形答案：A【解析】由正弦定理，若，则，为三角形内角，所以，三角形是等边三角形，A正确；若，由正弦定理得，即，，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B错；例如，，，满足，但此时不是等腰三角形，C错；时，由余弦定理可得，即为锐角，但是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D错．故选：A．5．(2023·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））己知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的有（

）A．若为等边三角形且边长为2，则B．若满足，则C．若，则D．若，则为锐角三角形答案：B【解析】对于A：因为为等边三角形且边长为2，所以，故A错误；对于B：因为，即，所以，因为，所以，故B正确；对于C：因为，可得，当且仅当时取等号，因为，所以，故B错误；对于D：因为，即，即，所以，则角为锐角，但角，角不确定，故D错误；故选：B6．(2023·河南·商水县实验高级中学高一期末）杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑.小金同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小金可测得学校天文台的高度为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】在直角三角形ABM中，在△ACM中，，故由正弦定理，，故在直角三角形CDM中，，∵∴.故选：D7．(2023·浙江·高一期中）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（

）A． B．C． D．答案：A【解析】在中，由正弦定理可知：，在直角三角形中，，故选：A8．(2023·四川省德阳中学校高一阶段练习（理））已知轮船和轮船同时从岛出发，船沿北偏东的方向航行，船沿正北方向航行（如图）．若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船相距（

）．A． B．40 C． D．答案：B【解析】由图所示：由题意可知：，，，由正弦定理可知：，所以，所以，即此时，两船相距；故选：B二、多选题9．(2023·全国·高一课时练习）某人向正东方向走了后向右转了，然后沿新方向走了，结果离出发点恰好，那么x的值是（

）A． B． C．3 D．6答案：AB【解析】由题意设．由余弦定理得，解得或．故选：AB.10．(2023·全国·高一课时练习）一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（

）A．北偏东方向 B．南偏东方向 C．东北方向 D．东南方向答案：AB【解析】画出示意图如图所示，由题意得，，，所以，解得，所以或．当船在B处时，，所以；当船在处时，，所以．综上，灯塔S在B处的北偏东或南偏东方向．故选：AB.11．(2023·全国·高一课时练习）如图，的内角所对的边分别为，且.若是外一点，，则下列说法中正确的是（

）A．的内角B．的内角C．四边形面积的最小值为D．四边形面积无最大值答案：AB【解析】因为，所以由正弦定理，得，所以，又因为，所以，所以因为所以，又因为，所以，所以，所以，因此A，B正确；四边形面积等于，所以当即时，取最大值，所以四边形面积的最大值为，因此C，D错误故选：AB12．(2023·重庆·西南大学附中高一期末）锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆O的半径，点D在边BC上，且，则下列判断正确的是（

）A． B．△BOD为直角三角形C．△ABC周长的取值范围是（3，9] D．AD的最大值为答案：ABD【解析】由题知，，由正弦定理可得，又△ABC为锐角三角形，所以，A正确；连接OC，在中由余弦定理可得，又，所以，在中，由余弦定理得，所以，即，故B正确；△ABC周长因为△ABC为锐角三角形，故，所以，所以，所以，所以，故C错误；易知，当A、O、D三点共线时取得最大值，所以AD的最大值为，D正确.故选：ABD三、填空题13．(2023·全国·高一专题练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的必到景点，其集圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为米，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线