新高考高中数学核心知识点全透视专题8.6正弦定理、余弦定理(专题训练卷)(原卷版+解析)

专题8.6正弦定理、余弦定理（专题训练卷）一、单选题1．（2023·河南·高二月考）的内角，，的对边分别为，，，满足，则等于（）A． B． C． D．2．（2023·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（）A．1 B． C． D．33．(2023·浙江诸暨·高一期末）中，所对的边分别是，若，，则（）A． B． C． D．4．（2023·河南·高二月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则的值是（）A． B． C． D．5.（2023·河南焦作·高二期中（理））在中，，，，则是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形6．（2023·广东·高三月考）在中，内角所对的边为，若，，，则（）A． B．C． D．7．(2023·浙江诸暨·高一期末）在中，在线段上，，若的外心在线段上，则（）A． B． C． D．8．（2023·江苏扬州·高三月考）已知△的内角所对的边分别为若，且△内切圆面积为，则△面积的最小值为（）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·江苏扬州·高三月考）不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是（）A．，有一解 B．，有两解C．，有两解 D．，无解10．（2023·辽宁实验中学高三月考）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（）A． B．C．若，则的面积是15 D．若，则外接圆半径是11．（2023·重庆·高一期中）如图，的三个内角，，对应的三条边分别是，，，为钝角，，，，，则下列结论正确的有（）A． B．C． D．的面积为12．（2023·广东顺德·一模）在中，、、所对的边为、、，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（）A．若，则 B．的最大值为C． D．角的最小值为三、填空题13．（2023·重庆一中高三月考）甲船在处观察乙船，乙船在它的北偏东方向相距海里的处，乙船正以每小时60海里的速度向北行驶.经测算，若甲船速度是乙船速度的倍，为了尽快追上乙船，甲船应朝北偏东30°方向前进，刚好用1小时可追上乙船，则___________（海里）.14．（2023·湖北·高三月考）如图，在凸四边形ABCD中，，，若，则四边形ABCD面积的最大值为________．15．（2023·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.16.（2023·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））点为所在平面内一点，，，若的面积为，则的最小值是________．四、解答题17．（2023·河北·藁城新冀明中学高一月考）在中，内角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.18．(2023·浙江诸暨·高一期末）在中，分别为角的对边，且满足.（1）求的面积S；（2）若，求的值.19．（2023·河南焦作·高二期中（理））在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，.（1）求的外接圆的半径；（2）求的面积.20．（2023·上海·曹杨二中高三期中）已知函数.（1）求函数在区间上的最大值和最小值；（2）设方程在上的两个解为和（），求的值；（3）在中，角､､的对边分别为､､.若，，且，求的面积.21．（2023·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．22．（2023·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.专题8.6正弦定理、余弦定理（专题训练卷）一、单选题1．（2023·河南·高二月考）的内角，，的对边分别为，，，满足，则等于（）A． B． C． D．答案：D分析：利用余弦定理可求，再结合正弦定理即得.【详解】因为，不妨设，则所以故选：D2．（2023·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（）A．1 B． C． D．3答案：D分析：利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.3．(2023·浙江诸暨·高一期末）中，所对的边分别是，若，，则（）A． B． C． D．答案：C分析：由正弦定理求解．【详解】由正弦定理得．故选：C．4．（2023·河南·高二月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则的值是（）A． B． C． D．答案：A分析：利用正弦定理角化边，代入计算即可得解【详解】在中，，由正弦定理得：，所以的值是.故选：A5.（2023·河南焦作·高二期中（理））在中，，，，则是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形答案：B分析：利用余弦定理求出的长，再用余弦定理求出，即可判断.【详解】解：将，，代入余弦定理公式得：角为钝角是钝角三角形.故选：B.6．（2023·广东·高三月考）在中，内角所对的边为，若，，，则（）A． B．C． D．答案：B分析：利用正弦定理角化边得到，再利用余弦定理构造方程求得结果.【详解】，，由余弦定理得：，，.故选：B.7．(2023·浙江诸暨·高一期末）在中，在线段上，，若的外心在线段上，则（）A． B． C． D．答案：C分析：延长交外接圆于点，由内角平分线定理得的比值，结合是圆心，由相交弦定理求得长，然后由余弦定理计算．【详解】如图，延长交外接圆于点，，平分，所以，设，则，于是，又由相交弦定理得，，在中由余弦定理得．故选：C．8．（2023·江苏扬州·高三月考）已知△的内角所对的边分别为若，且△内切圆面积为，则△面积的最小值为（）A． B． C． D．答案：D分析：根据已知条件及正弦定理可得，由内切圆的面积可得内切圆半径，最后根据及余弦定理，并结合基本不等式求的范围，进而求△面积的最小值.【详解】由题设，，而且，∴，，则，∴，由题设△内切圆半径，又，∴，而，即，∴，可得，当且仅当时等号成立.∴.故选：D二、多选题9．（2023·江苏扬州·高三月考）不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是（）A．，有一解 B．，有两解C．，有两解 D．，无解答案：AD分析：应用正弦定理结合各选项的条件求，由三角形内角的性质即可判断各选项的正误.【详解】A：由正弦定理，又，故只有一个解，正确；B：由正弦定理，又，显然只有一个解，错误；C：由正弦定理，显然无解，错误；D：由正弦定理，显然无解，正确；故选：AD10．（2023·辽宁实验中学高三月考）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（）A． B．C．若，则的面积是15 D．若，则外接圆半径是答案：ABD分析：先利用已知条件设，进而得到，利用正弦定理可判定选项A；利用向量的数量积公式可判断选项B；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D.【详解】依题意，设，所以，由正弦定理得：，故选项A正确；，故,选项B正确；若，则，所以，所以，所以，故的面积是：，故选项C不正确；若，则，所以，所以，所以，则利用正弦定理得：的外接圆半径是：，故选项D正确.故选：ABD11．（2023·重庆·高一期中）如图，的三个内角，，对应的三条边分别是，，，为钝角，，，，，则下列结论正确的有（）A． B．C． D．的面积为答案：BCD分析：由已知利用二倍角的余弦函数公式可求的值，利用余弦定理求得的值，再计算，由同角的三角函数关系求出，根据直角三角形边角关系求出，，的值，再计算的面积从而得解．【详解】解：由，得：，又角为钝角，解得：，因为，，由余弦定理，得：，解得，可知为等腰三角形，即，所以，解得，故A错误，可得，在中，，得，可得，故B正确，，可得，可得，故C正确，所以的面积为，故D正确．故选：BCD．12．（2023·广东顺德·一模）在中，、、所对的边为、、，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（）A．若，则 B．的最大值为C． D．角的最小值为答案：ABC分析：利用余弦定理结合三角形的面积公式可判断A选项的正误；利用基本不等式结合三角形的面积公式可判断B选项的正误；利用余弦定理可判断C选项的正误；利用余弦定理结合基本不等式可判断D选项的正误.【详解】对于A，由余弦定理可得，得，故，A对；对于B，由基本不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，由余弦定理可得，则，B对；对于C，，则，由余弦定理可得，，所以，，整理可得，则，C对；对于D，由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，因为且函数在上单调递减，故，D错.故选：ABC.三、填空题13．（2023·重庆一中高三月考）甲船在处观察乙船，乙船在它的北偏东方向相距海里的处，乙船正以每小时60海里的速度向北行驶.经测算，若甲船速度是乙船速度的倍，为了尽快追上乙船，甲船应朝北偏东30°方向前进，刚好用1小时可追上乙船，则___________（海里）.答案：60分析：根据题意可利用余弦定理求解.【详解】如图，设甲船在处追上乙船，由题可得，则由余弦定理可得，.故答案为：60.14．（2023·湖北·高三月考）如图，在凸四边形ABCD中，，，若，则四边形ABCD面积的最大值为________．答案：分析：由题设∠ADC，则可得四边形ABCD面积，再利用三角函数的性质可得最大值.【详解】如图连接AC，设∠ADC，由，，，可知，∴四边形ABCD面积：，其中，当时，.故答案为：.15．（2023·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.答案：分析：由题意结合余弦定理可得，进而可得，再由余弦定理可得.【详解】由题意作出图形，如图，在中，由余弦定理得，即，解得（负值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案为：；.16.（2023·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））点为所在平面内一点，，，若的面积为，则的最小值是________．答案：分析：在中，根据题意化简得到，根据的面积为，求得，再根据，得到，设，结合点与点连线的斜率，利用直线与半圆相切，即可求解.【详解】在中，设角对的三边分别为，由，又由，可得且，解得，因为的面积为，所以，可得，由，可得，设，其中因为表示点与点连线的斜率，如图所示，当过点与半圆相切时，此时斜率最大，在直角中，，可得，所以斜率的最大值为，所以的最大值为，所以，所以，即的最小值为.故答案为：.四、解答题17．（2023·河北·藁城新冀明中学高一月考）在中，内角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.答案：（1）（2）分析：（1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，结合即可求得的大小；（2）利用余弦定理结合已知条件列方程，解方程求得的值，再利用三角形的面积公式即可求解.（1）在中，由正弦定理可得，所以，因为，所以，可得：，又因为，所以．（2）在中，由余弦定理得：，因为，所以，可得，所以，即，解得：，所以.18．(2023·浙江诸暨·高一期末）在中，分别为角的对边，且满足.（1）求的面积S；（2）若，求的值.答案：（1）2（2）分析：（1）先由，求得，再根据向量数量积公式，求出，然后根据三角形面积公式即可求解；（2）由，结合余弦定理即可求出的值.（1）∵，∴∵∴，即∴（2）由余弦定理可得.∵∴∴.19．（2023·河南焦作·高二期中（理））在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，.（1）求的外接圆的半径；（2）求的面积.答案：（1）（2）分析：（1）利用正弦定理边角关系及三角形内角的性质可得，结合已知求得，再由正弦定理即可求半径.（2）由正弦定理求a，再由三角形面积公式求的面积.（1）由题设及正弦定理，有，∴，而，故，又，即.（2）由题设知：，则，∴.20．（2023·上海·曹杨二中高三期中）已知函数.（1）求函数在区间上的最大值和最小值；（2）设方程在上的两个解为和（），求的值；（3）在中，角､､的对边分别为､､.若，，且，求的面积.答案：（1）最大值，最小值（2）（3）分析：（1）利用辅助角公式及正弦函数的性质即求；（2）由题得，可解得，，再利用两角差的余弦公式及二倍角公式即求；（3）由题可求，再结合正余弦定理及面积公式即求.（1）由题意知，又，故当且仅当时，取最大值；当且仅当时，取最小值.（2）令，化简得，解得或．由于，故，．于是．令，则，因此．（3）由题意知，由于，解得．在△中，由正弦定理知，故，，代入题目条件得在△中，由余弦定理知，将上式代入得，解得，因此△的面积．21．（2023·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．答案：（1）；（2）存在，且.分析：（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.【详解】（1）因为，则，则，故