高一数学新教材同步配套教学讲义(人教A版必修第二册)7.3复数的三角表示(原卷版+解析)

7.3复数的三角表示【知识点梳理】1.复数的辐角以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。适合于0≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即0≤argz<2π.2.复数的三角表达式一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r是复数的模；θ是复数z＝a＋bi的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．注意：复数三角形式的特点模非负，角相同，余弦前，加号连3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．4、复数三角形式的乘法及其几何意义设的三角形式分别是： 简记为：模数相乘，幅角相加几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．5、复数三角形式的除法及其几何意义设的三角形式分别是： 简记为：模数相除，幅角相减几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．【典型例题】题型一复数的三角形式例1．（2023·全国·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（）.A． B．C． D．例2．（2023·全国·高一课时练习）已知的三角形式为，则的三角形式是（）.A． B．C． D．例3．（2023·全国·高一课时练习）复数的三角形式是（）A． B．C． D．题型二复数的代数形式表示成三角形式例4．（2023·全国·高一课时练习）复数的三角形式是______．例5．（2023·全国·）复数的三角形式是______．例6．(2023·全国·）将复数z=-2+2i化成三角形式是_____.题型三把复数表示成代数形式例7．（2023·全国·高一课时练习）求复数的模与辐角．例8．（2023·全国·高一课时练习）设复数，那么的共轭复数的代数形式是______．题型四复数的三角形式乘法运算例9．（2023·江苏省丹阳高级中学高一阶段练习）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（）A． B．C．－i D．＋i例10．（2023·上海·高一课时练习）______（用代数形式表示）.例11．（2023·全国·高一课时练习）计算：（1）（2）题型五复数的三角形式除法运算例12．（2023·全国·高一课时练习）计算：（1）（2）例13．（2023·全国·高一课时练习）计算:4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)].题型六复数的三角形式乘、除运算的几何意义例14．（2023·重庆八中高三阶段练习）在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为，，，(其中是原点)，已知对应复数.则和对应的复数的乘积___________.例15．（2023·福建省漳州第一中学高一期末）如果向量对应复数绕原点按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数是___________.例16．（2023·全国·高一课时练习）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）．例17．（2023·福建福州·高一期中）如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转，得到，求向量对应的复数（用代数形式表示）.【同步练习】一、单选题1．（2023·全国·高一课时练习）设，，则（）A． B． C． D．2．（2023·全国·高二课时练习）复数的辐角主值是（）A．－40° B．310° C．50° D．130°3．（2023·吉林·长春外国语学校高二期末（理））若复数，则（）A． B．C． D．4．（2023·河北正中实验中学高三阶段练习）棣莫弗定理：若两个复数，，则，已知，，则的值为（）A． B． C． D．5．（2023·全国·高三阶段练习）欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式，有拓扑学中的欧拉多面体公式、初等数论中的欧拉数论公式等其中最著名的是复变函数中的欧拉幅角公式——把复数、指数函数与三角函数联系起来（，自然对数的底数，虚数单位）．若复数满足，则的虚部为（）A． B．C． D．6．（2023·福建省漳州第一中学高一期中）若（为虚数单位），则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2023·福建安溪·高三期中）任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（）A． B． C． D．8．（2023·广东惠州·高一期中）已知，则（）A． B． C． D．9．（2023·吉林·长春十一高高一阶段练习）任何一个复数(其中为虚数单位)都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法中正确的个数是（）（1）（2）当时，（3）当时，（4）当时，若n为偶数，则复数为纯虚数A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题10．（2023·湖南·高二期末）著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是（）A．B．若复数满足，则C．若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则D．复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直11．（2023·全国·高一课时练习）是著名的欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系.若，，恒成立且，则表示的复数不可能位于复平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．（2023·江苏仪征·高一期中）瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：（其中是虚数单位，是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（）A．B．C．若复数的虚部为，，则的实部为D．已知，，复数，在复平面内对应的点分别为，，则三角形面积的最大值为13．（2023·江苏·南京市第二十九中学高一期末）欧拉公式（其中是虚数单位，）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A．复数对应的点位于第一象限 B．复数的模长等于C．为纯虚数 D．三、填空题14．（2023·全国·高一课时练习）在复平面上，A、B表示复数、对应的点，若，则______．15．（2023·全国·高一课时练习）计算：．16．（2023·全国·高一课时练习）÷()=_____.17．(2023·上海·复旦附中高二期末）已知复数､满足，若和的幅角之差为，则___________.四、解答题18．（2023·全国·高一课时练习）若复数的辐角主值是，求实数a的值．19．（2023·全国·高一课时练习）计算：．20．（2023·全国·高一课时练习）已知，，其中，且，，求的值．21．（2023·全国·高一课时练习）求证：（1）（2）22．（2023·全国·高一课时练习）已知复数．（1）求及；（2）当复数z满足，求的最大值．23．（2023·全国·高一课时练习）（1）计算：；（2）若复数z满足，，求复数的三角形式.（3）利用复数证明余弦定理.24．（2023·全国·高一课时练习）在复数范围内，验证，，1，2，…，为方程的n个根，并给出几何解释．25．（2023·全国·高一课时练习）设．（1）求证：（2）求证：（3）在复数范围内，解方程7.3复数的三角表示【知识点梳理】1.复数的辐角以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。适合于0≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即0≤argz<2π.2.复数的三角表达式一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r是复数的模；θ是复数z＝a＋bi的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．注意：复数三角形式的特点模非负，角相同，余弦前，加号连3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．4、复数三角形式的乘法及其几何意义设的三角形式分别是： 简记为：模数相乘，幅角相加几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．5、复数三角形式的除法及其几何意义设的三角形式分别是： 简记为：模数相除，幅角相减几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．【典型例题】题型一复数的三角形式例1．（2023·全国·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（）.A． B．C． D．答案：B【详解】复数的三角表示为：，其中，B选项满足.故选：B.解题总结（复数三角形式的判断依据和变形步骤）(1)判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．(2)变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”.例2．（2023·全国·高一课时练习）已知的三角形式为，则的三角形式是（）.A． B．C． D．答案：B【详解】由题知，的三角形式是，结合诱导公式知，，故选：B例3．（2023·全国·高一课时练习）复数的三角形式是（）A． B．C． D．答案：C【详解】，故选：C.题型二复数的代数形式表示成三角形式例4．（2023·全国·高一课时练习）复数的三角形式是______．答案：【详解】.故答案为：.解题总结：(复数的代数形式化三角形式的步骤)(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角(常取它的主值)；(4)写出复数的三角形式．例5．（2023·全国·）复数的三角形式是______．答案：（答案不唯一）【详解】，故答案为：例6．(2023·全国·）将复数z=-2+2i化成三角形式是_____.答案：4【详解】模长|z|==4，设辐角为θ，，且点(-2，2)在第二象限，得辐角主值为π，故z=4.故答案为：4题型三把复数表示成代数形式例7．（2023·全国·高一课时练习）求复数的模与辐角．【详解】，，故．由此可知，这个复数的模为2，辐角为．解题总结（把复数表示成代数形式的注意事项）（1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．（2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可．例8．（2023·全国·高一课时练习）设复数，那么的共轭复数的代数形式是______．答案：【详解】，故.故答案为：.题型四复数的三角形式乘法运算例9．（2023·江苏省丹阳高级中学高一阶段练习）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（）A． B．C．－i D．＋i答案：D【详解】故选:D.解题总结（复数的三角形式乘法运算的注意事项）两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和。简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加.例10．（2023·上海·高一课时练习）______（用代数形式表示）.答案：【详解】.故答案为：.例11．（2023·全国·高一课时练习）计算：（1）（2）【解析】（1）（2）题型五复数的三角形式除法运算例12．（2023·全国·高一课时练习）计算：（1）（2）【解析】（1）.（2）.解题总结：(复数的三角形式除法运算的注意事项)两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角。简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除，幅角相减.例13．（2023·全国·高一课时练习）计算:4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)].答案：【详解】解：题型六复数的三角形式乘、除运算的几何意义例14．（2023·重庆八中高三阶段练习）在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为，，，(其中是原点)，已知对应复数.则和对应的复数的乘积___________.答案：【详解】设对应的复数为，可得，复平面上点与x轴正半轴的夹角为，则点与x轴正半轴的夹角为，所以，所以.故答案为：.解题总结（复数的三角形式乘、除运算的几何意义的注意事项）复数乘法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．复数除法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是zz0．例15．（2023·福建省漳州第一中学高一期末）如果向量对应复数绕原点按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数是___________.答案：【详解】解：因为，所以由题意可得对应的复数为，故答案为：例16．（2023·全国·高一课时练习）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）．【详解】，对应向量绕原点O按顺时针方向旋转，所对应的复数为.例17．（2023·福建福州·高一期中）如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转，得到，求向量对应的复数（用代数形式表示）.【详解】向量对应的复数为，故答案为：.【同步练习】一、单选题1．（2023·全国·高一课时练习）设，，则（）A． B． C． D．答案：B分析：首先求，再求，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值.【详解】，复数对应的点是，位于第三象限，且，所以.故选：B2．（2023·全国·高二课时练习）复数的辐角主值是（）A．－40° B．310° C．50° D．130°答案：B分析：将复数写成（）即可求出所求复数的辐角.【详解】复数，所以该复数的辐角主值是.故选：B3．（2023·吉林·长春外国语学校高二期末（理））若复数，则（）A． B．C． D．答案：C分析：根据已知条件，运用复数的乘法运算法则及复数的三角形式，即可求解．【详解】解：，，．故选：C．4．（2023·河北正中实验中学高三阶段练习）棣莫弗定理：若两个复数，，则，已知，，则的值为（）A． B． C． D．答案：B分析：推导出，求出的值，即可得出的值.【详解】由已知条件可得，，，以此类推可知，对任意的，，，所以，，因此，.故选：B.5．（2023·全国·高三阶段练习）欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式，有拓扑学中的欧拉多面体公式、初等数论中的欧拉数论公式等其中最著名的是复变函数中的欧拉幅角公式——把复数、指数函数与三角函数联系起来（，自然对数的底数，虚数单位）．若复数满足，则的虚部为（）A． B．C． D．答案：D分析：根据欧拉公式求得，再根据复数的乘方求得，即可得复数，再根据共轭复数的定义和复数虚部的定义即可得出答案.【详解】解：∵，∴．又∵，∴复数，∴，则的虚部为.故选：D．6．（2023·福建省漳州第一中学高一期中）若（为虚数单位），则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A分析：根据充分、必要条件的知识确定正确选项.【详解】当时，，当时，可以取，此时，所以是的充分不必要条件.故选：A7．（2023·福建安溪·高三期中）任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（）A． B． C． D．答案：A分析：将复数写成三角形式，可得结果.【详解】复数，因此，复数的辐角主值为.故选：A.8．（2023·广东惠州·高一期中）已知，则（）A． B． C． D．答案：B分析：先对，然后再化为复数的三角形式可得答案【详解】

所以，故选：B9．（2023·吉林·长春十一高高一阶段练习）任何一个复数(其中为虚数单位)都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法中正确的个数是（）（1）（2）当时，（3）当时，（4）当时，若n为偶数，则复数为纯虚数A．1 B．2 C．3 D．4答案：B分析：直接利用棣莫弗定理结合三角函数值的求法逐个分析判断即可【详解】解：对于（1），因为，所以，所以，所以，所以（1）正确，对于（2），当时，，则，所以（2）错误，对于（3），当时，，则，所以（3）正确，对于（4），当时，，则当时，，所以（4）错误，所以正确的有2个，故选：B二、多选题10．（2023·湖南·高二期末）著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是（）A．B．若复数满足，则C．若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则D．复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直答案：ABD分析：对于A：根据已知得，再由对数运算可判断；对于B：由已知计算得，由此可判断；对于C：由已知得对应的向量坐标为，对应的向量坐标为，根据垂直的坐标表示可判断；对于D:根据向量垂直的坐标表示可判断．【详解】∵，∴，故A正确；∵，∴．故B正确；∵对应的向量坐标为，对应的向量坐标为，∴，即，又，，∴，或．故C不正确；∵，复数，两者对应向量坐标为、，∴两向量垂直．故D正确，故选：ABD.11．（2023·全国·高一课时练习）是著名的欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系.若，，恒成立且，则表示的复数不可能位于复平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：BCD分析：利用平方关系及二倍角的余弦公式可求得，再根据复数的乘法运算及，可求得的范围，再根据欧拉公式及复数的几何意义即可得出答案.【详解】解：，由，，则，，所以，又因为恒成立，所以，所以，根据，则，因为，则，所以，所以表示的复数位于复平面中的第一象限.故选：BCD.12．（2023·江苏仪征·高一期中）瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：（其中是虚数单位，是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（）A．B．C．若复数的虚部为，，则的实部为D．已知，，复数，在复平面内对应的点分别为，，则三角形面积的最大值为答案：AB分析：根据欧拉公式及复数得模即可判断A；，整理即可判断B；根据欧拉公式及复数的虚部为，，结合三角恒等变换，求出，即可求出的实部，从而判断C；根据题意可得，点得轨迹时以原点为圆心，1为半径的圆，根据三角形的面积公式即可求得三角形面积的最大值，从而判断D.【详解】解：对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，因为复数的虚部为，所以，又，所以，故，所以，所以，，，即的实部为，故C错误；对于D，由题意，，则点得轨迹时以原点为圆心，1为半径的圆，又，，当，即时，取最大值，所以三角形面积的最大值为，故D错误.故选：AB.13．（2023·江苏·南京市第二十九中学高一期末）欧拉公式（其中是虚数单位，）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A．复数对应的点位于第一象限 B．复数的模长等于C．为纯虚数 D．答案：BD分析：根据欧拉公式的定义，有、、、，结合对应三角函数值及复数三角形式的除法运算即可知各选项的正误.【详解】A：，而，则、，故位于第二象限，错误；B：，则其模长为，正确；C：，则为实数，错误；D：，正确；故选：BD三、填空题14．（2023·全国·高一课时练习）在复平面上，A、B表示复数、对应的点，若，则______．答案：分析：利用三角形式的复数除法表示即可得出答案.【详解】，，，.故答案为：15．（2023·全国·高一课时练习）计算：．答案：##分析：直接利用复数的三角运算性质求解即可【详解】原式故答案为：16．（2023·全国·高一课时练习）÷()=_____.答案：分析：先复数化成三角形式，再利用乘方和除法运算，即可得到答案；【详解】解：原式，故答案为：17．(2023·上海·复旦附中高二期末）已知复数､满足，若和的幅角之差为，则___________.答案：分析：分别设，，可得，由题意可得或，即可得，再代入计算即可求解.【详解】因为，设，，所以由题意可知或，当时，，，当时，，，综上所述：，故答案为：.四、解答题18．（2023·全国·高一课时练习）若复数的辐角主值是，求实数a的值．答案：分析：计算得到，故且，解得答案.【详解】，故且，解得.19．（2023·全国·高一课时练习）计算：．答案：64分析：把复数用三角形式表达，先用辅助角公式，再利用复数三角形式下的次方公式进行求解，【详解】因为，所以20．（2023·全国·高一课时练习）已知，，其中，且，，求的值．答案：分析：结合复数的三角形式以及辐角与模的概念，结合三角