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文档简介
第二章直线和圆的方程全章综合测试卷-提高篇【人教A版2019】考试时间:90分钟;满分:150分姓名:___________班级:___________考号:___________考卷信息:本卷试题共22题,单选8题,多选4题,填空4题,解答6题,满分150分,限时90分钟,本卷题型针对性较高,覆盖面广,选题有深度,可衡量学生掌握本章内容的具体情况!一.选择题(共8小题,满分40分,每小题5分)1.(5分)(2023·全国·高二课时练习)如图,已知直线PM、QP、QM的斜率分别为k1、k2、k3,则k1、k2A.k1<k2<k3 B.2.(5分)(2023·江西省高一阶段练习(理))已知A−1,2,B4,7,若过点C2,0的直线与线段A.−∞,−2C.−32,3.(5分)(2023·全国·高三专题练习)已知直线l1:ax−y+1=0A.不论a为何值时,l1与lB.当a变化时,l1与l2分别经过定点A(0,C.不论a为何值,l1与l2都关于直线D.如果l1与l2交于点M,O4.(5分)(2023·河北·高二阶段练习)过定点A的直线a+1x−y+2=0与过定点B的直线x+a+1y−4a−2=0交于点P(P与A、BA.2 B.22 C.2 5.(5分)(2023·河北保定·高二阶段练习)如图,已知两点A(11,0),B0,112,从点P(1,0)射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上,最后经直线OB上的点N反射后又回到点P,则直线MNA.4x−3y−3=0 B.4x+3y+4=0C.3x−4y+3=0 D.4x−3y+4=06.(5分)(2023·河南开封·高二阶段练习)关于x的方程1−x2=mx+1(m∈R)A.[−1,1] B.(−1,1) C.[−1,0)∪(0,1] D.(0,1]7.(2023·全国·高二单元测试)阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家,对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点Q,P的距离之比MQMP=λλ>0,λ≠1,那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为x2+y2=1,定点Q为x轴上一点,P−A.6 B.7 C.10 D.118.(5分)(2023·全国·高二课时练习)在一个半圆中有两个互切的内切半圆,由三个半圆弧围成“曲线三角形”,作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块,且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的,如图,若AC=2CB,则阴影部分与最大半圆的面积比为(
)A.1081 B.2081 C.49二.多选题(共4小题,满分20分,每小题5分)9.(5分)(2023·江苏省高二阶段练习)使方程x2+y2−ax+2ay+2A.−2 B.0 C.−1 D.310.(5分)(2023·辽宁·高二开学考试)已知直线l1:x+ay−a=0和直线l2:ax−2a−3A.若l1∥l2,则a=1或−3 B.若l2在C.若l1⊥l2,则a=0或2 D.若l1∥11.(5分)(2023·广东广州·一模)已知点A(0,2),B(1,1),且点P在圆C:(x−2)2+y2=4A.|PA|−|PB|的最大值为2B.以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为:x−y=0C.当∠PAB最大时,△PAB的面积为2D.△PAB的面积的最大值为212.(5分)(2023·全国·高三专题练习)已知圆C:x−22+y2=1,点P是直线l:x+y=0上一动点,过点P作圆C的切线PA,PB,切点分别是A.圆C上恰有一个点到直线l的距离为12 B.切线长PA的最小值为C.四边形ACBP面积的最小值为2 D.直线AB恒过定点3三.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)13.(5分)(2023·上海市高一期末)设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2,倾斜角分别为α、β,若k14.(5分)(2023·全国·高二课时练习)过点A(1,1)且斜率为−m(m>0)的直线l与x,y轴分别交于点P,Q,过点P,Q作直线2x+y=0的垂线,垂足分别为R,S,则四边形PRSQ面积的最小值为.15.(5分)(2023·福建福州·高二期末)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+(y+2)2≤3,若将军从点A(−4,0)16.(5分)(2023·江苏·高二开学考试)已知圆C:x-32+y-42=4,直线l1上定点A1,0,若l1与圆相交于P,Q两点线段PQ四.解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)(2023·黑龙江·高二阶段练习)经过点P0,−1作直线l,且直线l与连接点A1,−2,B2,1的线段没有公共点,求直线l的倾斜角α18.(12分)(2023·全国·高二课时练习)求过两圆x2+y2−4=019.(12分)(2023·浙江宁波·高二期末)已知三条直线l1:2x−y+1=0,l2:3x+y−6=0,l3:kx−y+k+1=0(1)若l1,l2,l3(2)若l1,l2,l3(3)若l1,l2,l320.(12分)(2023·全国·高二课时练习)在①直线BC的斜率为33;②直线AC的斜率为3已知以角A为顶角的等腰三角形ABC的顶点A−1,2(1)求直线AC的一般式方程;(2)求直线BC的一般式方程;(3)求角A的角平分线所在直线的一般式方程.21.(12分)(2023·江西·高二开学考试)已知圆C过点A4,0,B0,4,且圆心C在直线l:(1)求圆C的方程;(2)若从点M4,1发出的光线经过直线y=−x反射,反射光线l1恰好平分圆C的圆周,求反射光线(3)若点Q在直线l上运动,求QA22.(12分)(2023·四川省高二开学考试)已知两个定点A0,4、B0,1,动点P满足PA=2PB,设动点P的轨迹为曲线(1)求曲线E的方程;(2)若k=1,Q是直线l上的动点,过Q作曲线E的两条切线QM、QN,切点为M、N,探究:直线MN是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.第二章直线和圆的方程全章综合测试卷-提高篇参考答案与试题解析一.选择题(共8小题,满分40分,每小题5分)1.(5分)(2023·全国·高二课时练习)如图,已知直线PM、QP、QM的斜率分别为k1、k2、k3,则k1、k2A.k1<k2<k3 B.【解题思路】首先判断三条直线的倾斜角,进而根据倾斜角与斜率的关系即可得出结论..【解答过程】由于直线PM的倾斜角为钝角,QP、QM的倾斜角为锐角,当倾斜角为锐角时,斜率为正,即k3>0,k又因为倾斜角为0,π2时,倾斜角越大,斜率越大,即所以k1故选:B.2.(5分)(2023·江西省高一阶段练习(理))已知A−1,2,B4,7,若过点C2,0的直线与线段A.−∞,−2C.−32,【解题思路】数形结合,计算kAC【解答过程】如图所示,过点C的直线与线段AB相交,kAC=2−0又因为该直线与x轴垂直时,斜率不存在,所以过点C与线段AB相交的直线斜率取值范围为−∞故选:A.3.(5分)(2023·全国·高三专题练习)已知直线l1:ax−y+1=0A.不论a为何值时,l1与lB.当a变化时,l1与l2分别经过定点A(0,C.不论a为何值,l1与l2都关于直线D.如果l1与l2交于点M,O【解题思路】根据直线垂直的条件可判断A;求出直线l1与l2所过的定点,可判断B;在l1上任取点(x,ax+1),求出其关于直线x+y=0的对称点,判断是否满足l2方程,判断C;求出l1与l【解答过程】对于A,a×1+(−1)×a=0恒成立,l1与l对于B,直线l1:ax−y+1=0,当a所以l1恒过定点A(0l2:x+ay+1=0,当a变化时,x=−1,y=0对于C,在l1上任取点(x,ax+1),a∈其关于直线x+y=0对称的点的坐标为(−ax−1,−x),代入l2:x+ay+1=0对于D,联立ax−y+1=0x+ay+1=0,解得x=即M(−a−1所以|MO|==2a2+1所以MO的最大值是2,故D正确,故选C.4.(5分)(2023·河北·高二阶段练习)过定点A的直线a+1x−y+2=0与过定点B的直线x+a+1y−4a−2=0交于点P(P与A、BA.2 B.22 C.2 【解题思路】根据方程可得定点A、B,并且可判断两直线垂直,然后利用基本不等式可得.【解答过程】动直线a+1x−y+2=0化为y=a+1x+2动直线x+a+1y−4a−2=0化为(a+1)(y−4)+x+2=0,可知定点又(a+1)×1−1×(a+1)=0所以直线a+1x−y+2=0与直线x+a+1y−4a−2=0∴PA⊥PB,∴PA则S△PAB=1即△PAB面积的最大值为2.故选:C.5.(5分)(2023·河北保定·高二阶段练习)如图,已知两点A(11,0),B0,112,从点P(1,0)射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上,最后经直线OB上的点N反射后又回到点P,则直线MNA.4x−3y−3=0 B.4x+3y+4=0C.3x−4y+3=0 D.4x−3y+4=0【解题思路】分别求出点P关于直线x+2y−11=0与y轴的对称点,从而得到结果.【解答过程】由题意易得AB所在的直线方程为x+2y−11=0,设点P关于直线AB:x+2y−11=0的对称点A1则b−0a−1×(−12)=−1点P关于直线AB对称的点为A1(5,8),点P关于y轴对称的点为直线MN即直线A1A2,则直线MN的方程为y=故选:D.6.(5分)(2023·河南开封·高二阶段练习)关于x的方程1−x2=mx+1(m∈R)A.[−1,1] B.(−1,1) C.[−1,0)∪(0,1] D.(0,1]【解题思路】将问题转化为直线y=mx+1(m∈R)与x2+y【解答过程】令y=1−x2且−1≤x≤1,则x只需恒过(0,1)的直线y=mx+1(m∈R)与x2如上图,当y=mx+1与半圆相切时11+m2当y=mx+1过(−1,0)时,m=1,当y=mx+1过(1,0)时,m=−1,综上,m∈[−1,0)∪(0,1].故选:C.7.(2023·全国·高二单元测试)阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家,对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点Q,P的距离之比MQMP=λλ>0,λ≠1,那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为x2+y2=1,定点Q为x轴上一点,P−A.6 B.7 C.10 D.11【解题思路】根据点M的轨迹方程可得Q−2,0,结合条件可得2【解答过程】设Qa,0,Mx,y,所以又P−12因为MQMP=λ且λ=2,所以整理可得x2又动点M的轨迹是x2所以4+2a3=0a所以Q−2,0,又MQ所以2MP+MB所以2MP+MB故选:C.8.(5分)(2023·全国·高二课时练习)在一个半圆中有两个互切的内切半圆,由三个半圆弧围成“曲线三角形”,作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块,且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的,如图,若AC=2CB,则阴影部分与最大半圆的面积比为(
)A.1081 B.2081 C.49【解题思路】设BC=2r,则AC=4r,AB=6r,建立直角坐标系,根据已知条件求出各点坐标,由圆O与圆O3内切,解得a=23r,由圆O与圆【解答过程】设BC=2r,则AC=4r,AB=6r,以C为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则C(0,0),O1−2r,0,O−r,0设O3−a,t,O(圆O1,O3外切与勾股定理结合),得t=22ar由圆O与圆O3内切,得−a+r2+同理r+b2−r−b2=得v=2br,由圆O与圆O4内切,得解得b=23r.设阴影部分的面积为SS1所以S1故选:B.二.多选题(共4小题,满分20分,每小题5分)9.(5分)(2023·江苏省高二阶段练习)使方程x2+y2−ax+2ay+2A.−2 B.0 C.−1 D.3【解题思路】配方后,利用半径的平方大于0,得到不等式,解不等式求出实数a的取值范围.【解答过程】x2x−a要想表示圆,则−3解得:−2<a<2故选:BC.10.(5分)(2023·辽宁·高二开学考试)已知直线l1:x+ay−a=0和直线l2:ax−2a−3A.若l1∥l2,则a=1或−3 B.若l2在C.若l1⊥l2,则a=0或2 D.若l1∥【解题思路】由两直线平行,即可求出a=−3,则可判断出A选项,结合两直线的距离公式即可判断出D选项;由l2在x轴和y轴上截距相等等价于l2过原点或其斜率为−1,即可列出等式,解出a=0或2,则可判断出B选项;由两直线垂直,即可求出【解答过程】若l1∥l2,由1×3−2a经检验当a=1时,l1,l2重合,当a=−3时,所以a=−3,故A错误;若l2在x轴和y轴上截距相等,则l2过原点或其斜率为−1,则a−2=0或a2a−3=−1,则若l1⊥l2,则当l1∥l2时,a=−3,则l1:x−3y+3=0即l2:x−3y+53=0,则l1故选:CD.11.(5分)(2023·广东广州·一模)已知点A(0,2),B(1,1),且点P在圆C:(x−2)2+y2=4A.|PA|−|PB|的最大值为2B.以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为:x−y=0C.当∠PAB最大时,△PAB的面积为2D.△PAB的面积的最大值为2【解题思路】依题意画出图象,判断出B在圆内,当P为射线BC与圆C的交点时,|PA|−|PB|取得最大值AB,即可判断A;求出以AC为直径的圆再两圆方程作差,即可求出公共弦所在直线方程,即可判断B,当AP与圆C相切时,∠PAB最大,求出三角形的面积,即可判断C,求出直线AB的方程,可得C在AB上,即可得到P到AB的距离最大值,再求出AB,即可判断D.【解答过程】解:圆C:(x−2)2+y2=4的圆心为C2,0,半径r=2,又所以当P为射线BC与圆C的交点时,|PA|−|PB|取得最大值AB=因为B点恰好是A、C的中点,且AC=22+2所以以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为(x−2)2整理得x−y=0,故B正确;当AP与圆C相切时,∠PAB最大,此时S△APB直线AB的方程为y=−x+2,又AB=0−12+2−1所以P到AB的距离最大值为r=2,所以S△PAB故选:ABD.12.(5分)(2023·全国·高三专题练习)已知圆C:x−22+y2=1,点P是直线l:x+y=0上一动点,过点P作圆C的切线PA,PB,切点分别是A.圆C上恰有一个点到直线l的距离为12 B.切线长PA的最小值为C.四边形ACBP面积的最小值为2 D.直线AB恒过定点3【解题思路】由圆心C到直线l:x+y=0的距离为2,可判定A错误;由圆的切线长PA=PC2−1,可判定B错误;由四边形ACBP的面积为S=2×12×【解答过程】由圆C:x−22+y2所以圆心C到直线l:x+y=0的距离为22因为2−1<12<2+1,故圆由圆的性质,可得切线长PA=当PC最小时,PA达到最小,又PCmin=2由四边形ACBP的面积为2×12×设Pt,−t,由题知A,B在以PC又由C2,0,所以x−t即x2因为圆C:x−22+两圆的方程相减得直线AB:2−tx+ty−3+2t=0,即由2x−3=0x−y−2=0,解得x=32,y=−12故选:ABC.三.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)13.(5分)(2023·上海市高一期末)设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2,倾斜角分别为α、β,若k1k【解题思路】由已知及k1k2=tanαtanβ得【解答过程】由α,β∈[0,π2)∪(π2若α>β,则α∈(π2,π),β∈(0,π2),而同理α<β,可得β−α=π综上,|α−β|=π2故答案为:π214.(5分)(2023·全国·高二课时练习)过点A(1,1)且斜率为−m(m>0)的直线l与x,y轴分别交于点P,Q,过点P,Q作直线2x+y=0的垂线,垂足分别为R,S,则四边形PRSQ面积的最小值为185【解题思路】设出直线l的方程,即可分别求出点P、Q的坐标,进而求出直线PR和QS的方程,接着可求出点P和点Q到直线2x+y=0的距离以及直线PS和直线QR的距离RS,最后利用梯形的面积公式即可得到四边形PRSQ面积的表达式,利用基本不等式即可求最值.【解答过程】由已知得直线l的方程为y−1=−m(x−1),则P1+1m由此可得直线PR和QS的方程分别为x−2y−m+1m=0点P到直线2x+y=0的距离为|PS|=2+2m直线PS和直线QR的距离为RS=故S=1102当且仅当m=1m,即故答案为:18515.(5分)(2023·福建福州·高二期末)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+(y+2)2≤3,若将军从点A(−4,0)【解题思路】先求出点A(−4,0)关于直线x+y−1=0的对称点A'【解答过程】设点A(−4,0)关于直线x+y−1=0的对称点则AA'的中点为(a−4故ba+4⋅(−1)=−1a−4由x2+(y+2)要使从点A(−4,0)到军营总路程最短,即为点A'“将军饮马”的最短总路程为12故答案为:5216.(5分)(2023·江苏·高二开学考试)已知圆C:x-32+y-42=4,直线l1上定点A1,0,若l1与圆相交于P,Q两点线段PQ【解题思路】由条件通过联立方程组求出M,N的坐标,结合两点距离公式表示AM⋅【解答过程】过点A1,0的斜率不存在的直线为x=1,联立x即直线x=1与圆C有且只有一个交点,与已知矛盾,过点A1,0的斜率为0的直线为y=0,联立x-32+所以直线l1斜率必定存在,且不为0,可设直线:l1:kx−y−k=0由x+2y+2=0,kx−y−k=0,得N又直线CM与l1垂直,所以得Mk所以|AM|⋅|AN|=k2==6.故答案为:6.四.解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)(2023·黑龙江·高二阶段练习)经过点P0,−1作直线l,且直线l与连接点A1,−2,B2,1的线段没有公共点,求直线l的倾斜角α【解题思路】先求出l与线段AB相交时直线l的倾斜角的范围与斜率范围,再讨论不相交的情况即可.【解答过程】解:因为kPA=−2−(−1)所以,当直线l与线段AB相交时,由图可知,kPA≤k≤k所以0≤tanα≤1或由于y=tanx在0,π所以直线l的倾斜角α的范围为:0,π故倾斜角的范围为0,π4∪3π4所以,直线l与连接点A1,−2,B2,1的线段没有公共点时,倾斜角的范围为π4,3π18.(12分)(2023·全国·高二课时练习)求过两圆x2+y2−4=0【解题思路】先联立两圆的方程,求出交点坐标1,3和1,−解法一:易得所求圆的圆心在x轴上,结合圆心在直线上可得圆心,进而求得半径即可;解法二:设所求圆的方程为x2+y2−4+λ【解答过程】解法一:联立得x2+y2−4=0所以点1,3和1,−3都在所求圆上,所以所求圆的圆心在又圆心在直线x−3y−6=0上,所以所求圆的圆心为(6,0),半径所以所求圆的方程为x−62解法二:设所求圆的方程为x2整理得x2+y因为圆心2λ1+λ,0在直线x−3y−6=0上,所以所以所求圆的方程为x219.(12分)(2023·浙江宁波·高二期末)已知三条直线l1:2x−y+1=0,l2:3x+y−6=0,l3:kx−y+k+1=0(1)若l1,l2,l3(2)若l1,l2,l3(3)若l1,l2,l3【解题思路】(1)由二条已知直线求交点,代入第三条直线即可;(2)不能围成一个三角形,l3(3)由直线互相垂直得,斜率之积为-1.【解答过程】(1)显然l1,l2得交点(1,3),由点(1,3)代入l3得所以当l1,l2,l3(2)l3过定点(−1,1),因为l1,l2,l3不能围成三角形,所以(1,3)∈l3,或所以k=1,或k=2,或k=−3.(3)显然l1与l2不垂直,所以(1,3)∉l3,且所以k的值为k=−12或20.(12分)(2023·全国·高二课时练习)在①直线BC的斜率为33;②直线AC的斜率为3已知以角A为顶角的等腰三角形ABC的顶点A−1,2(1)求直线AC的一般式方程;(2)求直线BC的一般式方程;(3)求角A的角平分线所在直线的一般式方程.【解题思路】先判断出AB∥x轴,选①:根据斜率的定义数形结合可得AC的倾斜角为60°;选②:直线AC的斜率为3可推出得AC的倾斜角为60°,可得直线BC的倾斜角为30°或120°.(1)根据点斜式求解AC的方程,再化成一般式即可;(2)根据点斜式求解BC的方程,再化成一般式即可;(3)数形结合可得角A的角平分线所在直线的倾斜角,再根据点斜式求解,进而化简成一般式即可.【解答过程】(1)因为A−1,2,B−3,2选①:直线BC的斜率为33,则直线BC的倾斜角为30°,因为△ABC是以角A为顶角的等腰三角形,所以直线AC因为A(-1,2),AC的倾斜角为60°,所以直线AC的方程为y−2=3x+1,其一般式方程为选②:直线AC的斜率为3,则直线AC的倾斜角为60°,因为△ABC是以角A为顶角的等腰三角形,所以直线BC的倾斜角为30°或120°,如图所示:因为A(-1,2),AC的斜率为3,所以直线AC的方程为y−2=3其一般式方程为3x−y+2+(2)选①:因为B(-3,2),直线BC的倾斜角为30°,所以直线BC的方程为y−2=3其一般式方程为3x−3y+6+3选②:因为B(-3,2),直线BC的倾斜角为30°或120°,所以直线BC的方程为y−2=33x+3其一般式方程为3x−3y+6+33=0(3)选①:由(2)可知,角A的角平分线所在直线的倾斜角为120°,斜率为−3所以角A的角平分线所在直线的方程为y−2=−3其一般式方程为3x+y−2+选②:由题意可知,角A的角平分线所在直线的倾斜角为120°或30°,其斜率为−3或3所以角A的角平分线所在直线的方程为y−2=−3x+1或其一般式方程为3x+y−2+3=
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