(人教A版2019选择性必修第一册)重难点题型精讲专题2.19直线和圆的方程全章综合测试卷(原卷版+解析)

第二章直线和圆的方程全章综合测试卷-提高篇【人教A版2019】考试时间：90分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）(2023·全国·高二课时练习）如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2A．k1<k2<k3 B．2．（5分）(2023·江西省高一阶段练习（理））已知A−1,2,B4,7，若过点C2,0的直线与线段A．−∞,−2C．−32，3．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知直线l1：ax−y+1=0A．不论a为何值时，l1与lB．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，C．不论a为何值，l1与l2都关于直线D．如果l1与l2交于点M，O4．（5分）(2023·河北·高二阶段练习）过定点A的直线a+1x−y+2=0与过定点B的直线x+a+1y−4a−2=0交于点P(P与A､BA．2 B．22 C．2 5．（5分）(2023·河北保定·高二阶段练习）如图，已知两点A(11,0),B0,112，从点P(1,0)射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上，最后经直线OB上的点N反射后又回到点P，则直线MNA．4x−3y−3=0 B．4x+3y+4=0C．3x−4y+3=0 D．4x−3y+4=06．（5分）(2023·河南开封·高二阶段练习）关于x的方程1−x2=mx+1(m∈R)A．[−1,1] B．(−1,1) C．[−1,0)∪(0,1] D．(0,1]7．(2023·全国·高二单元测试）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比MQMP=λλ>0,λ≠1，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=1，定点Q为x轴上一点，P−A．6 B．7 C．10 D．118．（5分）(2023·全国·高二课时练习）在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成“曲线三角形”，作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块，且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的，如图，若AC=2CB，则阴影部分与最大半圆的面积比为（

）A．1081 B．2081 C．49二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）(2023·江苏省高二阶段练习）使方程x2+y2−ax+2ay+2A．−2 B．0 C．−1 D．310．（5分）(2023·辽宁·高二开学考试）已知直线l1：x+ay−a=0和直线l2：ax−2a−3A．若l1∥l2，则a=1或−3 B．若l2在C．若l1⊥l2，则a=0或2 D．若l1∥11．（5分）(2023·广东广州·一模）已知点A(0,2)，B(1,1)，且点P在圆C：(x−2)2+y2=4A．|PA|−|PB|的最大值为2B．以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为：x−y=0C．当∠PAB最大时，△PAB的面积为2D．△PAB的面积的最大值为212．（5分）(2023·全国·高三专题练习）已知圆C:x−22+y2=1，点P是直线l:x+y=0上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A．圆C上恰有一个点到直线l的距离为12 B．切线长PA的最小值为C．四边形ACBP面积的最小值为2 D．直线AB恒过定点3三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）(2023·上海市高一期末）设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β，若k14．（5分）(2023·全国·高二课时练习）过点A(1,1)且斜率为−m(m>0)的直线l与x，y轴分别交于点P，Q，过点P，Q作直线2x+y=0的垂线，垂足分别为R，S，则四边形PRSQ面积的最小值为．15．（5分）(2023·福建福州·高二期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+(y+2)2≤3，若将军从点A(−4，0)16．（5分）(2023·江苏·高二开学考试）已知圆C：x－32＋y－42=4，直线l1上定点A1，0，若l1与圆相交于P，Q两点线段PQ四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）(2023·黑龙江·高二阶段练习）经过点P0,−1作直线l，且直线l与连接点A1,−2，B2,1的线段没有公共点，求直线l的倾斜角α18．（12分）(2023·全国·高二课时练习）求过两圆x2+y2−4=019．（12分）(2023·浙江宁波·高二期末）已知三条直线l1：2x−y+1=0，l2：3x+y−6=0，l3：kx−y+k+1=0(1)若l1，l2，l3(2)若l1，l2，l3(3)若l1，l2，l320．（12分）(2023·全国·高二课时练习）在①直线BC的斜率为33；②直线AC的斜率为3已知以角A为顶角的等腰三角形ABC的顶点A−1,2(1)求直线AC的一般式方程；(2)求直线BC的一般式方程；(3)求角A的角平分线所在直线的一般式方程．21．（12分）(2023·江西·高二开学考试）已知圆C过点A4,0，B0,4，且圆心C在直线l：(1)求圆C的方程；(2)若从点M4,1发出的光线经过直线y=−x反射，反射光线l1恰好平分圆C的圆周，求反射光线(3)若点Q在直线l上运动，求QA22．（12分）(2023·四川省高二开学考试）已知两个定点A0,4、B0,1，动点P满足PA=2PB，设动点P的轨迹为曲线(1)求曲线E的方程；(2)若k=1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．第二章直线和圆的方程全章综合测试卷-提高篇参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）(2023·全国·高二课时练习）如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2A．k1<k2<k3 B．【解题思路】首先判断三条直线的倾斜角，进而根据倾斜角与斜率的关系即可得出结论..【解答过程】由于直线PM的倾斜角为钝角，QP、QM的倾斜角为锐角，当倾斜角为锐角时，斜率为正，即k3>0,k又因为倾斜角为0,π2时，倾斜角越大，斜率越大，即所以k1故选：B.2．（5分）(2023·江西省高一阶段练习（理））已知A−1,2,B4,7，若过点C2,0的直线与线段A．−∞,−2C．−32，【解题思路】数形结合，计算kAC【解答过程】如图所示，过点C的直线与线段AB相交，kAC=2−0又因为该直线与x轴垂直时，斜率不存在，所以过点C与线段AB相交的直线斜率取值范围为−∞故选：A.3．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知直线l1：ax−y+1=0A．不论a为何值时，l1与lB．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，C．不论a为何值，l1与l2都关于直线D．如果l1与l2交于点M，O【解题思路】根据直线垂直的条件可判断A;求出直线l1与l2所过的定点，可判断B；在l1上任取点(x,ax+1)，求出其关于直线x+y=0的对称点，判断是否满足l2方程，判断C;求出l1与l【解答过程】对于A，a×1+(−1)×a=0恒成立，l1与l对于B，直线l1：ax−y+1=0，当a所以l1恒过定点A(0l2：x+ay+1=0，当a变化时，x=−1，y=0对于C，在l1上任取点(x,ax+1)，a∈其关于直线x+y=0对称的点的坐标为(−ax−1,−x)，代入l2：x+ay+1=0对于D，联立ax−y+1=0x+ay+1=0,解得x=即M(−a−1所以|MO|=＝2a2+1所以MO的最大值是2，故D正确，故选C.4．（5分）(2023·河北·高二阶段练习）过定点A的直线a+1x−y+2=0与过定点B的直线x+a+1y−4a−2=0交于点P(P与A､BA．2 B．22 C．2 【解题思路】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.【解答过程】动直线a+1x−y+2=0化为y=a+1x+2动直线x+a+1y−4a−2=0化为(a+1)(y−4)+x+2=0，可知定点又(a+1)×1−1×(a+1)=0所以直线a+1x−y+2=0与直线x+a+1y−4a−2=0∴PA⊥PB,∴PA则S△PAB=1即△PAB面积的最大值为2.故选：C.5．（5分）(2023·河北保定·高二阶段练习）如图，已知两点A(11,0),B0,112，从点P(1,0)射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上，最后经直线OB上的点N反射后又回到点P，则直线MNA．4x−3y−3=0 B．4x+3y+4=0C．3x−4y+3=0 D．4x−3y+4=0【解题思路】分别求出点P关于直线x+2y−11=0与y轴的对称点，从而得到结果.【解答过程】由题意易得AB所在的直线方程为x+2y−11=0，设点P关于直线AB:x+2y−11=0的对称点A1则b−0a−1×(−12)=−1点P关于直线AB对称的点为A1(5,8)，点P关于y轴对称的点为直线MN即直线A1A2，则直线MN的方程为y=故选：D.6．（5分）(2023·河南开封·高二阶段练习）关于x的方程1−x2=mx+1(m∈R)A．[−1,1] B．(−1,1) C．[−1,0)∪(0,1] D．(0,1]【解题思路】将问题转化为直线y=mx+1(m∈R)与x2+y【解答过程】令y=1−x2且−1≤x≤1，则x只需恒过(0,1)的直线y=mx+1(m∈R)与x2如上图，当y=mx+1与半圆相切时11+m2当y=mx+1过(−1,0)时，m=1，当y=mx+1过(1,0)时，m=−1，综上，m∈[−1,0)∪(0,1].故选：C.7．(2023·全国·高二单元测试）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比MQMP=λλ>0,λ≠1，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=1，定点Q为x轴上一点，P−A．6 B．7 C．10 D．11【解题思路】根据点M的轨迹方程可得Q−2,0，结合条件可得2【解答过程】设Qa,0，Mx,y，所以又P−12因为MQMP=λ且λ=2，所以整理可得x2又动点M的轨迹是x2所以4+2a3=0a所以Q−2,0，又MQ所以2MP+MB所以2MP+MB故选：C．8．（5分）(2023·全国·高二课时练习）在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成“曲线三角形”，作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块，且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的，如图，若AC=2CB，则阴影部分与最大半圆的面积比为（

）A．1081 B．2081 C．49【解题思路】设BC=2r，则AC=4r，AB=6r，建立直角坐标系，根据已知条件求出各点坐标，由圆O与圆O3内切，解得a=23r，由圆O与圆【解答过程】设BC=2r，则AC=4r，AB=6r，以C为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则C（0，0），O1−2r,0，O−r,0设O3−a,t，O（圆O1，O3外切与勾股定理结合），得t=22ar由圆O与圆O3内切，得−a+r2+同理r+b2−r−b2=得v=2br，由圆O与圆O4内切，得解得b=23r．设阴影部分的面积为SS1所以S1故选：B.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）(2023·江苏省高二阶段练习）使方程x2+y2−ax+2ay+2A．−2 B．0 C．−1 D．3【解题思路】配方后，利用半径的平方大于0，得到不等式，解不等式求出实数a的取值范围.【解答过程】x2x−a要想表示圆，则−3解得：−2<a<2故选：BC.10．（5分）(2023·辽宁·高二开学考试）已知直线l1：x+ay−a=0和直线l2：ax−2a−3A．若l1∥l2，则a=1或−3 B．若l2在C．若l1⊥l2，则a=0或2 D．若l1∥【解题思路】由两直线平行，即可求出a=−3，则可判断出A选项，结合两直线的距离公式即可判断出D选项；由l2在x轴和y轴上截距相等等价于l2过原点或其斜率为−1，即可列出等式，解出a=0或2，则可判断出B选项；由两直线垂直，即可求出【解答过程】若l1∥l2，由1×3−2a经检验当a=1时，l1，l2重合，当a=−3时，所以a=−3，故A错误；若l2在x轴和y轴上截距相等，则l2过原点或其斜率为−1，则a−2=0或a2a−3=−1，则若l1⊥l2，则当l1∥l2时，a=−3，则l1：x−3y+3=0即l2：x−3y+53=0，则l1故选：CD．11．（5分）(2023·广东广州·一模）已知点A(0,2)，B(1,1)，且点P在圆C：(x−2)2+y2=4A．|PA|−|PB|的最大值为2B．以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为：x−y=0C．当∠PAB最大时，△PAB的面积为2D．△PAB的面积的最大值为2【解题思路】依题意画出图象，判断出B在圆内，当P为射线BC与圆C的交点时，|PA|−|PB|取得最大值AB，即可判断A；求出以AC为直径的圆再两圆方程作差，即可求出公共弦所在直线方程，即可判断B，当AP与圆C相切时，∠PAB最大，求出三角形的面积，即可判断C，求出直线AB的方程，可得C在AB上，即可得到P到AB的距离最大值，再求出AB，即可判断D.【解答过程】解：圆C：(x−2)2+y2=4的圆心为C2,0，半径r=2，又所以当P为射线BC与圆C的交点时，|PA|−|PB|取得最大值AB=因为B点恰好是A、C的中点，且AC=22+2所以以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为(x−2)2整理得x−y=0，故B正确；当AP与圆C相切时，∠PAB最大，此时S△APB直线AB的方程为y=−x+2，又AB=0−12+2−1所以P到AB的距离最大值为r=2，所以S△PAB故选：ABD.12．（5分）(2023·全国·高三专题练习）已知圆C:x−22+y2=1，点P是直线l:x+y=0上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A．圆C上恰有一个点到直线l的距离为12 B．切线长PA的最小值为C．四边形ACBP面积的最小值为2 D．直线AB恒过定点3【解题思路】由圆心C到直线l：x+y=0的距离为2，可判定A错误；由圆的切线长PA=PC2−1，可判定B错误；由四边形ACBP的面积为S=2×12×【解答过程】由圆C:x−22+y2所以圆心C到直线l：x+y=0的距离为22因为2−1<12<2+1，故圆由圆的性质，可得切线长PA=当PC最小时，PA达到最小，又PCmin=2由四边形ACBP的面积为2×12×设Pt,−t，由题知A,B在以PC又由C2,0，所以x−t即x2因为圆C:x−22+两圆的方程相减得直线AB:2−tx+ty−3+2t=0，即由2x−3=0x−y−2=0，解得x=32，y=−12故选：ABC．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）(2023·上海市高一期末）设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β，若k1k【解题思路】由已知及k1k2=tanαtanβ得【解答过程】由α,β∈[0,π2)∪(π2若α>β，则α∈(π2,π),β∈(0,π2)，而同理α<β，可得β−α=π综上，|α−β|=π2故答案为：π214．（5分）(2023·全国·高二课时练习）过点A(1,1)且斜率为−m(m>0)的直线l与x，y轴分别交于点P，Q，过点P，Q作直线2x+y=0的垂线，垂足分别为R，S，则四边形PRSQ面积的最小值为185【解题思路】设出直线l的方程，即可分别求出点P、Q的坐标，进而求出直线PR和QS的方程，接着可求出点P和点Q到直线2x+y=0的距离以及直线PS和直线QR的距离RS，最后利用梯形的面积公式即可得到四边形PRSQ面积的表达式，利用基本不等式即可求最值.【解答过程】由已知得直线l的方程为y−1=−m(x−1)，则P1+1m由此可得直线PR和QS的方程分别为x−2y−m+1m=0点P到直线2x+y=0的距离为|PS|=2+2m直线PS和直线QR的距离为RS=故S=1102当且仅当m=1m，即故答案为：18515．（5分）(2023·福建福州·高二期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+(y+2)2≤3，若将军从点A(−4，0)【解题思路】先求出点A(−4，0)关于直线x+y−1=0的对称点A'【解答过程】设点A(−4，0)关于直线x+y−1=0的对称点则AA'的中点为(a−4故ba+4⋅(−1)=−1a−4由x2+(y+2)要使从点A(−4，0)到军营总路程最短，即为点A'“将军饮马”的最短总路程为12故答案为：5216．（5分）(2023·江苏·高二开学考试）已知圆C：x－32＋y－42=4，直线l1上定点A1，0，若l1与圆相交于P，Q两点线段PQ【解题思路】由条件通过联立方程组求出M,N的坐标，结合两点距离公式表示AM⋅【解答过程】过点A1，0的斜率不存在的直线为x=1，联立x即直线x=1与圆C有且只有一个交点，与已知矛盾，过点A1，0的斜率为0的直线为y=0，联立x－32＋所以直线l1斜率必定存在，且不为0，可设直线：l1:kx−y−k=0由x+2y+2=0,kx−y−k=0,得N又直线CM与l1垂直，所以得Mk所以|AM|⋅|AN|=k2==6.故答案为：6.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）(2023·黑龙江·高二阶段练习）经过点P0,−1作直线l，且直线l与连接点A1,−2，B2,1的线段没有公共点，求直线l的倾斜角α【解题思路】先求出l与线段AB相交时直线l的倾斜角的范围与斜率范围，再讨论不相交的情况即可.【解答过程】解：因为kPA=−2−(−1)所以，当直线l与线段AB相交时，由图可知，kPA≤k≤k所以0≤tanα≤1或由于y=tanx在0,π所以直线l的倾斜角α的范围为：0,π故倾斜角的范围为0,π4∪3π4所以，直线l与连接点A1,−2，B2,1的线段没有公共点时，倾斜角的范围为π4,3π18．（12分）(2023·全国·高二课时练习）求过两圆x2+y2−4=0【解题思路】先联立两圆的方程，求出交点坐标1,3和1,−解法一：易得所求圆的圆心在x轴上，结合圆心在直线上可得圆心，进而求得半径即可；解法二：设所求圆的方程为x2+y2−4+λ【解答过程】解法一：联立得x2+y2−4=0所以点1,3和1,−3都在所求圆上，所以所求圆的圆心在又圆心在直线x−3y−6=0上，所以所求圆的圆心为（6，0），半径所以所求圆的方程为x−62解法二：设所求圆的方程为x2整理得x2+y因为圆心2λ1+λ,0在直线x−3y−6=0上，所以所以所求圆的方程为x219．（12分）(2023·浙江宁波·高二期末）已知三条直线l1：2x−y+1=0，l2：3x+y−6=0，l3：kx−y+k+1=0(1)若l1，l2，l3(2)若l1，l2，l3(3)若l1，l2，l3【解题思路】(1)由二条已知直线求交点，代入第三条直线即可；(2)不能围成一个三角形，l3(3)由直线互相垂直得，斜率之积为-1.【解答过程】(1)显然l1，l2得交点(1,3)，由点(1,3)代入l3得所以当l1，l2，l3(2)l3过定点(−1，1)，因为l1，l2，l3不能围成三角形，所以(1,3)∈l3，或所以k=1，或k=2，或k=−3.(3)显然l1与l2不垂直，所以(1,3)∉l3，且所以k的值为k=−12或20．（12分）(2023·全国·高二课时练习）在①直线BC的斜率为33；②直线AC的斜率为3已知以角A为顶角的等腰三角形ABC的顶点A−1,2(1)求直线AC的一般式方程；(2)求直线BC的一般式方程；(3)求角A的角平分线所在直线的一般式方程．【解题思路】先判断出AB∥x轴，选①：根据斜率的定义数形结合可得AC的倾斜角为60°；选②：直线AC的斜率为3可推出得AC的倾斜角为60°，可得直线BC的倾斜角为30°或120°．（1）根据点斜式求解AC的方程，再化成一般式即可；（2）根据点斜式求解BC的方程，再化成一般式即可；（3）数形结合可得角A的角平分线所在直线的倾斜角，再根据点斜式求解，进而化简成一般式即可.【解答过程】（1）因为A−1,2,B−3,2选①：直线BC的斜率为33，则直线BC的倾斜角为30°，因为△ABC是以角A为顶角的等腰三角形，所以直线AC因为A（－1，2），AC的倾斜角为60°，所以直线AC的方程为y−2=3x+1，其一般式方程为选②：直线AC的斜率为3，则直线AC的倾斜角为60°，因为△ABC是以角A为顶角的等腰三角形，所以直线BC的倾斜角为30°或120°，如图所示：因为A（－1，2），AC的斜率为3，所以直线AC的方程为y−2=3其一般式方程为3x−y+2+（2）选①：因为B（－3，2），直线BC的倾斜角为30°，所以直线BC的方程为y−2=3其一般式方程为3x−3y+6+3选②：因为B（－3，2），直线BC的倾斜角为30°或120°，所以直线BC的方程为y−2=33x+3其一般式方程为3x−3y+6+33=0（3）选①：由（2）可知，角A的角平分线所在直线的倾斜角为120°，斜率为−3所以角A的角平分线所在直线的方程为y−2=−3其一般式方程为3x+y−2+选②：由题意可知，角A的角平分线所在直线的倾斜角为120°或30°，其斜率为−3或3所以角A的角平分线所在直线的方程为y−2=−3x+1或其一般式方程为3x+y−2+3=