2020-2021学年四川省绵阳市高一(下)期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年四川省绵阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．等比数列{an}中，若a2＝2，a4＝4，则a6＝（）A．8 B．6 C．±8 D．±62．已知，，若，则m＝（）A． B． C． D．3．已知平面α，直线l1，l2是两不同的直线．下列选项中，能推出l1∥l2的是（）A．l1与l2无公共点 B．l1∥α，l2∥α C．l1⊥α，l2⊥α D．l1，l2与α所成角相等4．已知a＜0＜b，下列不等式错误的是（）A． B．a+c＜b+c C．a2＜ab D．ac2≤bc25．在△ABC中，D为AB边上一点，，E是CD的中点，设，，则＝（）A． B． C． D．6．若关于x的不等式ax2﹣2x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣37．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BC，A1D1，B1C1的中点，下列说法错误的是（）A．EF⊥AG B．EF与AG是异面直线 C．A，E，C1，F四点共面 D．直线EC1与平面AGF相交8．若a＞0，b＞0，a+b＝1，则的最小值为（）A．5 B． C．4 D．9．如图为一个空间几何何体的三视图，则它的体积为（）A． B． C． D．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，c＝2a，则sinA＝（）A． B． C． D．11．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，AA1＝AC＝BC＝2，E为棱AB的中点，在侧棱BB1上存在一点P，使得CP⊥平面A1C1E，则CP＝（）A．2 B． C． D．12．已知向量，，满足，与的夹角为，，则最大值为（）A．6 B．4 C．2 D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案直接填在答题卡中的横线上。13．已知x，y满足约束条件，则目标函数z＝x﹣y的最小值为．14．数学兴趣小组为了测量电视塔AB的高度，在塔底水平面上设置两个观测点C，D，CD间距离为108米，在点C处测得A，D的张角为60°，在点D处测得A，C的张角为75°，测得点B的仰角为60°，则塔高AB＝米．15．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PB⊥BC，PA＝AC＝2，BC＝1，则该三棱锥的外接球表面积为．16．已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，Sn+Sn﹣1＝n2+2（n≥2），则S21＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S5＝15，a2+a5＝7．（1）求{an}的通项公式；（2）若，求{bn}的前的前n项和Tn．18．如图，已知与的夹角为，，AC＝4，，，AE与BD相交于点F．（1）求；（2）求与的夹角的余弦值．19．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝AC＝BC＝2，，SC＝1，D，E分别为SA，AB的中点．（1）求证：DE∥平面BCS；（2）求三棱锥S﹣ABC的体积．20．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，△BCD为等边三角形．（1）若，求BD的长；（2）求四边形ABCD面积的取值范围．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点F为线段BC上的动点．（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；（2）是否存在点F，使得直线EF与直线PA所成角为60°？若存在，求出BF的长度；若不存在，请说明理由．22．设{an}是公差大于1的等差数列，数列{bn}满足bn2＝bn+1•bn﹣1（n≥2）．已知a1＝1，b1＝4，b2＝a2+a3，2a3是b1和b3的等差中项．（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；（2）设cn＝，且数列{cn}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式Tn＜a2﹣a恒成立，求a的取值范围．

参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．等比数列{an}中，若a2＝2，a4＝4，则a6＝（）A．8 B．6 C．±8 D．±6解：等比数列{an}中，a2＝2，a4＝4，∴，解得q2＝2，∴a6＝＝4×2＝8．故选：A．2．已知，，若，则m＝（）A． B． C． D．解：因为，，且，所以2m﹣3×（﹣1）＝0，解得m＝﹣．故选：D．3．已知平面α，直线l1，l2是两不同的直线．下列选项中，能推出l1∥l2的是（）A．l1与l2无公共点 B．l1∥α，l2∥α C．l1⊥α，l2⊥α D．l1，l2与α所成角相等解：对于A，l1与l2无公共点时，l1与l2可能异面，故A错；对于B，l1∥α，l2∥α时，l1与l2可能异面，故B错；对于C，l1⊥α，l2⊥α时，l1∥l2，故C正确；对于D，l1，l2与α所成角相等时，l1，l2可能异面、相交，故D错；故选：C．4．已知a＜0＜b，下列不等式错误的是（）A． B．a+c＜b+c C．a2＜ab D．ac2≤bc2解：∵a＜0＜b，∴＜0＜，故A对，∵a＜b，∴a+c＜b+c，故B对，∵a＜b，且c2≥0，∴ac2≤bc2，故D对，∵a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，故a2＞ab，故C错，故选：C．5．在△ABC中，D为AB边上一点，，E是CD的中点，设，，则＝（）A． B． C． D．解：因为AD＝，则，所以＝＝＝＝+＝＝，故选：A．6．若关于x的不等式ax2﹣2x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3解：∵关于x的不等式ax2﹣2x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，∴﹣3和1是方程ax2﹣2x+b＝0的两根，由根与系数的关系可得：，则a＝﹣1．故选：B．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BC，A1D1，B1C1的中点，下列说法错误的是（）A．EF⊥AG B．EF与AG是异面直线 C．A，E，C1，F四点共面 D．直线EC1与平面AGF相交解：根据题意，依次分析选项：对于A，A1B⊥平面AB1C1D，而EF∥A1B，则EF⊥平面AB1C1D，又由AG⊂平面AB1C1D，必有EF⊥AG，A正确；对于B，EF与AG既不平行也不垂直，是异面直线，B正确；对于C，连接BG，有AF∥BG且BG∥EC1，则AF∥EC1，A，E，C1，F四点共面，C正确；对于D，由C中结论，AF∥EC1，AF在平面AGF内，则直线EC1∥平面AGF，D错误；故选：D．8．若a＞0，b＞0，a+b＝1，则的最小值为（）A．5 B． C．4 D．解：依题意，＝（）（a+b）＝2+++≥+2＝，当且仅当a＝2b时等号成立，故选：B．9．如图为一个空间几何何体的三视图，则它的体积为（）A． B． C． D．解：由三视图知该几何体是左边为半圆柱体，右边为正四棱锥的组合体，且半圆柱的底面半径为1，高为2，四棱锥的底面边长为2，高为1，计算半圆柱的体积为×π•12×2＝π，四棱锥的体积为×22×1＝，所以该几何体的体积为π+．故选：B．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，c＝2a，则sinA＝（）A． B． C． D．解：由得sinAcosAcosB＝sinBsin2A+，因为sinA≠0，故，即，结合A+B∈（0，π），故，所以C＝，所以sinC＝，由正弦定理得，故sinA＝．故选：A．11．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，AA1＝AC＝BC＝2，E为棱AB的中点，在侧棱BB1上存在一点P，使得CP⊥平面A1C1E，则CP＝（）A．2 B． C． D．解：由题意，侧棱AA1⊥平面ABC，则侧棱CC1⊥平面ABC，又AC，BC⊂平面ABC，所以CC1⊥AC，CC1⊥BC，又AB⊥BC，且CC1⊥BC＝C，则AC⊥平面CC1B1B，由直三棱柱的性质可得，A1C1∥AC，A1C1＝AC，所以A1C1⊥侧面CC1B1B，又CP⊂侧面CC1B1B，则A1C1⊥CP，取BC的中点F，连接EF，C1F，所以EF为△ABC的中位线，则EF∥AC∥A1C1，且EF＝，则点F在平面A1C1E内，即C1F⊂平面A1C1FE，若CP⊥平面A1C1FE，而C1F⊂平面A1C1FE，则CP⊥C1F，如图所示，设BP＝x，若CP⊥C1F，则∠CC1F+∠C1CP＝90°，又∠C1CP+∠PCF＝90°，所以∠CC1F＝∠PCF，则tan∠CC1F＝，解得x＝1，即P为BB1的中点，所以CP＝＝．故选：C．12．已知向量，，满足，与的夹角为，，则最大值为（）A．6 B．4 C．2 D．1解：设，则，所以，当，即与方向相反时，等号成立．所以的最大值为4．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案直接填在答题卡中的横线上。13．已知x，y满足约束条件，则目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣2．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，4），由z＝x﹣y，得y＝x﹣z，由图可知，当直线y＝x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故答案为：﹣2．14．数学兴趣小组为了测量电视塔AB的高度，在塔底水平面上设置两个观测点C，D，CD间距离为108米，在点C处测得A，D的张角为60°，在点D处测得A，C的张角为75°，测得点B的仰角为60°，则塔高AB＝162米．解：△ACD中，∠ACD＝60°，∠ADC＝75°，CD＝108米，所以∠CAD＝180°﹣60°﹣75°＝45°，由正弦定理，得＝，解得AD＝＝54，在Rt△ABD中，∠ADB＝60°，AD＝54，所以AB＝ADtan60°＝54×＝162，即塔高AB＝162米．故答案为：162．15．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PB⊥BC，PA＝AC＝2，BC＝1，则该三棱锥的外接球表面积为8π．解：如图，∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC，又PB⊥BC，取PC的中点O，则OA＝OB＝OP＝OC，∴O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，且OA＝OB＝OP＝OC＝PC＝．则该三棱锥的外接球表面积为．故答案为：8π．16．已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，Sn+Sn﹣1＝n2+2（n≥2），则S21＝231．解：Sn+Sn﹣1＝n2+2（n≥2）①，所以Sn+1+Sn＝（n+1）2+2＝n2+2n+3②，②﹣①得：Sn+1﹣Sn﹣1＝2n+1，所以S3﹣S1＝5，S5﹣S3＝9，.........，S21﹣S19＝41，所以S21＝S1+5+9+....+41＝．故答案为：231．三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S5＝15，a2+a5＝7．（1）求{an}的通项公式；（2）若，求{bn}的前的前n项和Tn．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由S15＝15，得5a1+10d＝15，即a1+2d＝3①，又a2+a3＝7，得a1+d+a1+4d＝7，即2a1+5d＝7②，联立①②解得a1＝1；d＝1，所以an＝1+n﹣1＝n．（2）由（1）可知bn＝＝＝﹣，所以Tn＝b1+b2+…+bn＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．18．如图，已知与的夹角为，，AC＝4，，，AE与BD相交于点F．（1）求；（2）求与的夹角的余弦值．解：（1）根据题意，，即D是BC的中点，则＝（+），则||2＝（2+2+2•）＝，则＝；（2）设与的夹角为θ，则与的夹角也是θ，＝﹣＝﹣，则•＝（+）•（﹣）＝2﹣2﹣•＝4﹣1﹣1＝2，||＝＝＝，则cosθ＝＝．19．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝AC＝BC＝2，，SC＝1，D，E分别为SA，AB的中点．（1）求证：DE∥平面BCS；（2）求三棱锥S﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：因为D，E分别为SA，AB的中点，所以DE∥SB，又因为DE⊄平面BCS，SB⊂平面BCS，所以DE∥平面BCS；（2）解：连结SE，CE，过点S作SO⊥CE于点O，如图所示：因为SA＝SB＝AC＝BC＝2，AB＝2，SC＝1，所以SE⊥AB，CE⊥AB，且SE∩CE＝E，所以AB⊥平面SCE，又SO⊂平面SCE，所以AB⊥SO；又CE∩AB＝E，所以SO⊥平面ABC；计算SE＝CE＝＝1，所以OE＝CE＝，计算SO＝＝＝，所以△ABC的面积为S△ABC＝×2×1＝，所以三棱锥S﹣ABC的体积为：V三棱锥S﹣ABC＝S△ABC•SO＝××＝．20．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，△BCD为等边三角形．（1）若，求BD的长；（2）求四边形ABCD面积的取值范围．解：（1）在△ABD中，A＝，AB＝2，AD＝1，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos＝4+1﹣2×2×1×（﹣＝7，解得BD＝．（2）在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cosA＝5﹣4cosA，所以四边形ABCD面积S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD•sinA+BD2＝sinA+（5﹣4cosA）＝+2sin（A﹣），因为A∈（0，π），所以A﹣∈（﹣，），所以sin（A﹣）∈（﹣，1]，所以＜S四边形ABCD≤+2，所以四边形ABCD面积的取值范围为（，+2]．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点F为线段BC上的动点．（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；（2）是否存在点F，使得直线EF与直线PA所成角为60°？若存在，求出BF的长度；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC，又PA∩AB＝A，PA、AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE，∵PA＝AB，E为线段PB的中点，∴AE⊥PB，又BC