2019年中考数学复习专题《代数综合、代数几何综合》(有答案)

2019年中考数学复习专题《代数综合、代数几何综合》（有答案）/高中化学必修一同步提高课程课后练习代数综合对于实数a，b，我们用符号min{a，b}表示a，b两数中较小的数，如min{3，5}=3，因此，min{－1，－2}=________；若，则x=___________．对于实数c，d，我们用符号max{c，d}表示c，d两数中较大的数，如max{3，5}=5，因此，max{－，－}=________；若，则x=___________．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2(x≥0)与y2=(x≥0)于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则=______．在平面直角坐标系中，点P(0，m2)(m>0)在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=于点A、B，交抛物线C2：y=于点C、D．(1)如图①，原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD，求△AOB与△CQD面积比为_______．(2)如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F，在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为_______．如图，点E、F在函数y=(k>0)的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A、B，且BE：BF=1：4，过点E作EP⊥y轴于P，已知△OEP的面积为2．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)计算△OEF的面积．如图，点A(1，6)和点M(m，n)都在反比例函数y=(k>0)的图象上．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)当m=3时，求直线AM的解析式，并求出△AOM的面积.\t"/math2/ques/detail/_blank"设函数y=，若互不相等的实数x1，x2，x3，满足y1=y2=y3，求x1+x2+x3的取值范围．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．(1)求直线AC的表达式；(2)在x轴下方且垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线AC交于点N(x3，y3)，若x1>x2>x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．

参考答案－2，－3或2．详解：∵－2<－1，∴min{－1，－2}=－2，∵，当(x+1)2=x2时，解得：x=－0.5，(x+1)2=x2=0.25，这时不可能得出最小值为4，当x>－0.5，(x+1)2>x2，则x2=4，解得x1=2或x2=－2(舍去)，当x<－0.5，(x+1)2<x2，则(x+1)2=4，解得x1=－3或x2=1(舍去)，∴x=－3或x=2．

－，－或0．详解：∵－>－，∴max{－，－}=－，∵，当x2+2x+2=x2时，解得：x=－1，x2+2x+2=x2=1，这时不可能得出最大值为2，当x>－1，x2+2x+2>x2，则x2+2x+2=2，解得x1=0或x2=－2(舍去)，当x<－1，x2+2x+2<x2，则x2=2，解得x1=－或x2=(舍去)，∴x=－或x=0．．详解：设A点坐标为(0，a)，(a>0)，则x2=a，解得x=，∴点B(，a)，=a，解得x=，∴点C(，a)，∴BC=－，∵CD∥y轴，

∴点D的横坐标与点C的横坐标相同均为，∴y1=()2=3a，

∴点D的坐标为(，3a)，∵DE∥AC，

∴点E的纵坐标为3a，∴=3a，∴x=3，

∴点E的坐标为(3，3a)，∴DE=3－，∴==．

(1)，(2)．详解：(1)将y=m2(m>0)代入y=，得x=±2m，∴A(－2m，m2)，B(2m，m2)，

∴AB=4m，将y=m2(m>0)代入y=，得x=±3m，

∴C(－3m，m2)，D(3m，m2)，∴CD=6m，∵O、Q关于直线CD对称，

∴PQ=OP，

∵CD∥x轴，∴∠DPQ=∠DPO=90°，∴△AOB与△CQD的高相等，

∵S△AOB=AB•PO，S△CQD=CD•PQ，∴===．(2)∵A(－2m，m2)，D(3m，m2)，AE∥y轴，DF∥y轴，

∴E点的横坐标为－2m，F点的横坐标为3m，

∴yE=×(－2m)2=，yF=×(3m)2=，∴E(－2m，)，F(3m，)，

∴AE=m2－=，DF=－m2=，S△AEM=××2m=，

S△DFM=××3m=，∴==．(1)y=，(2)．详解：(1)作EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，如图，

∵△OEP的面积为2，∴|k|=2，而k>0，∴k=4，∴反比例函数解析式为y=；∵EP⊥y轴，FH⊥y轴，∴EP∥FH，∴△BPE∽△BHF，∴=，即HF=4PE，设E点坐标为(t，)，则F点的坐标为(4t，)，

∵S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，而S△OFD=S△OEC=2，

∴S△OEF=S梯形ECDF=×(+)×(4t－t)=．(1)y=；(2)y=－2x+8，8．详解：(1)把A(1，6)代入y=得：6=，∴k=6，∴反比例函数的解析式为：y=；

(2)当m=3时，n==2，∴M(3，2)，设直线AM的解析式为：y=kx+b，∵A(1，6)，M(3，2)在直线AM上，根据题意得：，

解得：k=－2，b=8，∴直线AM的解析式为：y=－2x+8；

当y=0时，x=4，∴直线AM与x轴的交点为N(4，0)，

∴S△AOM=S梯形ABON－S△AOB－S△OMN=×(1+4)×6－×1×6－×4×2=8．3<x1+x2+x3<4．详解：先作出函数y=的图象，如图，不妨设x1<x2<x3，∵y=(x≥0)的对称轴为x=2，y1=y2，∴x2+x3=4，∵y=(x≥0)的顶点坐标为(2，－2)，令y=－2，代入y=3x+1，解得：x=－1，∴－1<x1<0，

则x1+x2+x3的取值范围是：－1+4<x1+x2+x3<0+4，∴3<x1+x2+x3<4．(1)y=x+3；(2)－8<x1+x2+x3<－7．详解：(1)由y=得到：y=(x+3)(x+1)，C(0，3)，∴A(－3，0)，B(－1，0)，设直线AC的表达式为：y=kx+b(k≠0)，∴，解得:，所以直线AC的表达式为y=x+3，(2)由y=得到：y=(x+2)2－1，∴抛物线y=的对称轴是x=－2，顶点坐标是(－2，－1)，∵y1=y2，∴x1+x2=－4，令y=－1，代入y=x+3，解得：x=－4，∵x1>x2>x3，∴－4<x3<－3，∴－4－4<x1+x2+x3<－3－4，∴－8<x1+x2+x3<－7．代数几何综合如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PAC的周长最小，并求出点P的坐标.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-4，0），B（1，0），与y轴交于点D（0，4），点C（-2，n）也在此抛物线上．

（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）设BC交y轴于点E，连接AE，AC请判断△ACE的形状，并说明理由.在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．

（1）如图1，⊙O的半径为2，

①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）=，d（B，⊙O）=.②已知直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，求b的值；

（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=-与x轴交于点D，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D(，)，E（0，-2），F（，0）．

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点D、E、F中，⊙O的关联点是．

②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点(P1)（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．

参考答案（1）y=，M（1，4）；（2）P（1，2）.详解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（-1，0）、B（3，0），C（0，3）三点，∴，解得.故抛物线的解析式为，故顶点M为（1，4）；（2）如图1，∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P．设对称轴与x轴交于点H，∵PH∥y轴，∽．∴，由题意得BH=2，CO=3，BO=3，∴PH=2．∴P（1，2）．（1）y=-x2-3x+4，C（-2，6）；（2）△ACE为等腰直角三角形.详解：（1）∵抛物线经过A、B、D三点，∴代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线的解析式为y=-x2-3x+4，∵点C（-2，n）也在此抛物线上，∴n=-4+6+4=6，∴C点坐标为（-2，6）；（2）△ACE为等腰直角三角形，理由如下：设直线BC解析式为y=kx+s(k≠0)，

把B、C两点坐标代入可得，解得，∴直线BC解析式为y=-2x+2，令x=0可得y=2，∴E点坐标为（0，2），∵A（-4，0），C（-2，6），∴AC=，AE=，CE=，∴AE2+CE2=20+20=40=AC2，且AE=CE，∴△ACE为等腰直角三角形.（1）d（A，⊙O）=1，d（B，⊙O）=3；b=±4；（2）.详解：（1）①连接OB，过点B作BT⊥x轴于T，如图1-1，

∵⊙O的半径为2，点A（0，1），

∴d（A，⊙O）=2-1=1．

∵B（4，3），

∴OB=，

∴d（B，⊙O）=5-2=3．

故答案分别为1，3；

②设直线l：与x轴、y轴分别交于点P、Q，过点O作OH⊥PQ于H，设OH与⊙O交于点G，如图1-2，

∴P（-，0），Q（0，b），

∴OP=|b|，OQ=|b|，

∴PQ=|b|．

∵S△OPQ=OP•OQ=PQ•OH，

∴OH==|b|．

∵直线l：与⊙O的密距d（l，⊙O）=，

∴，

∴b=±4；（2）过点C作CN⊥DE于N，如图2．

∵点D、E分别是直线与x轴、y轴的交点，∴D（4，0），E（0，），∴OD=4，OE=，∴tan∠ODE=，∴∠ODE=30°．

①当点C在点D左边时，m＜4．∵OC=m，∴CD=4-m，∴CN=CD•sin∠CDN=(4-m）=2-m．∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜，∴0＜2-m＜+1，

∴1＜m＜4；②当点C与点D重合时，m=4．此时d（DE，⊙C）=0．③当点C在点D的右边时，m＞4．∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜，

∴CD＜+1，∴m-4＜+1，∴m＜，综上所述：m的取值范围为.（1）①D、E；②0≤m≤；（2）r≥1.详解：（1）①如图1所示，过点E作⊙O的切线设切点为R，

∵⊙O的半径为1，∴RO=1，∵EO=2，∴∠OER=30°，根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于60°，∴E点是⊙O的关联点，

∵D（，），E（0，-2），F（，0），∴OF＞EO，DO＜EO，∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点与点F的连线的夹角等于60°，故在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E；②如图2，由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点，

需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°，连接BC，则PC==2BC=2r，-∴若P点为⊙C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r；由上述证明可知，考虑临界点位置的P点，如图3，点P1到原点的距离OP1=2×1=2，

过点O作直线l的垂线OH，垂足为H，tan∠OGF=，∴∠OGF