高考数学总复习 第八章 圆锥曲线 8-6课后巩固提升（含解析）新人教A

【创优导学案】届高考数学总复习第八章圆锥曲线8-6课后巩固提升（含解析）新人教A版(对应学生用书P271解析为教师用书独有)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．实轴长为4eq\r(5)且过点A(2，－5)的双曲线的标准方程是 ()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(y2,20)－eq\f(x2,16)＝1C.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝1 D.eq\f(y2,16)－eq\f(x2,20)＝1解析B依题意，a＝2eq\r(5)，排除C、D，由点A在曲线上，排除A，故选B.2．(·宝鸡模拟)双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A．－eq\f(1,4) B．－4C．4 D.eq\f(1,4)解析A双曲线方程mx2＋y2＝1化为标准形式y2－eq\f(x2,－\f(1,m))＝1，则有a2＝1，b2＝－eq\f(1,m).∴2a＝2,2b＝2eq\r(－\f(1,m))，∴2×2＝2eq\r(－\f(1,m))，∴m＝－eq\f(1,4).3．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\f(\r(6),2)，则双曲线的渐近线方程为 ()A．y＝±2x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(1,2)x解析C由已知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),2)，即eq\f(c2,a2)＝eq\f(3,2)，又c2＝a2＋b2，∴eq\f(a2＋b2,a2)＝eq\f(3,2)，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b,a)＝±eq\f(\r(2),2).∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x.4．设椭圆C1的离心率为eq\f(5,13)，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.eq\f(x2,42)－eq\f(y2,32)＝1 B.eq\f(x2,132)－eq\f(y2,52)＝1C.eq\f(x2,32)－eq\f(y2,42)＝1 D.eq\f(x2,132)－eq\f(y2,122)＝1解析A依题意：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(5,13)，,a＝13，))∴c＝5，焦点为(±5,0)．由双曲线定义，C2为双曲线，且a＝4，c＝5，b2＝9，故选A.5．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点为F1、F2，M为双曲线上一点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且tan∠MF1F2＝eq\f(1,2)，则双曲线的离心率为 ()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)解析D由题意知△MF1F2为直角三角形，tan∠MF1F2＝eq\f(1,2)，则eq\f(|MF2|,|MF1|)＝eq\f(1,2)，|MF1|＝2|MF2|，由双曲线的定义可知，|MF1|－|MF2|＝2a，故|MF2|＝2a，|MF1|＝4a，|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2＝20a2，∴|F1F2|＝2c＝2eq\r(5)a，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).6．过点(2,0)的直线与双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是 ()A．k≤－1或k≥1 B．k<－eq\r(3)或k>eq\r(3)C．－eq\r(3)≤k≤eq\r(3) D．－1<k<1解析B点(2,0)为双曲线的右顶点，双曲线渐近线为y＝±eq\r(3)x.如图所示，结合图形得，k>eq\r(3)或k<－eq\r(3)时，直线AB与双曲线右支有两交点．二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．已知双曲线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1共焦点，它们的离心率之和为eq\f(14,5)，则此双曲线方程是________．解析由椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1得焦点(0，±4)，e1＝eq\f(4,5)，∴双曲线的离心率e2＝eq\f(14,5)－eq\f(4,5)＝2，∴eq\f(4,a)＝2，∴a＝2，b2＝12，∴方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,12)＝1.【答案】eq\f(y2,4)－eq\f(x2,12)＝18．已知双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,a)＝1的右焦点的坐标为(eq\r(13)，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．解析∵焦点坐标是(eq\r(13)，0)，∴9＋a＝13，即a＝4，∴双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，∴渐近线方程为eq\f(x,3)±eq\f(y,2)＝0，即2x±3y＝0.【答案】2x±3y＝09.如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝a2＋b2，,\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,b2＝3，))∴双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.【答案】x2－eq\f(y2,3)＝1三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(2,3)x，且过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，－1))；(2)与椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1有公共焦点，且离心率e＝eq\f(5,4).解析(1)∵双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，∴可设双曲线的方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)．又∵双曲线过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，－1))，∴λ＝4×eq\f(81,4)－9＝72.∴双曲线方程为4x2－9y2＝72，即eq\f(x2,18)－eq\f(y2,8)＝1.(2)方法一(设标准方程)由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，即c＝5且焦点在x轴上，∴可设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，且c＝5.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，∴a＝4，∴b2＝c2－a2＝9.∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.方法二(设共焦点双曲线系方程)∵椭圆的焦点在x轴上，∴可设双曲线方程为eq\f(x2,49－λ)－eq\f(y2,λ－24)＝1(24<λ<49)．又e＝eq\f(5,4)，∴eq\f(λ－24,49－λ)＝eq\f(25,16)－1，解得λ＝33.∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.11．(12分)设A，B分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4eq\r(3)，焦点到渐近线的距离为eq\r(3).(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝eq\f(\r(3),3)x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(ON,\s\up10(→))＝teq\o(OD,\s\up10(→))，求t的值及点D的坐标．解析(1)由题意知a＝2eq\r(3)，∴一条渐近线为y＝eq\f(b,2\r(3))x，即bx－2eq\r(3)y＝0，∴eq\f(|bc|,\r(b2＋12))＝eq\r(3)，∴b2＝3，∴双曲线的方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，将直线方程代入双曲线方程得x2－16eq\r(3)x＋84＝0，则x1＋x2＝16eq\r(3)，y1＋y2＝12，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x0,y0)＝\f(4\r(3),3)，,\f(x\o\al(2,0),12)－\f(y\o\al(2,0),3)＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝4\r(3)，,y0＝3，))∴t＝4，点D的坐标为(4eq\r(3)，3)．12．(16分)设圆C与两圆(x＋eq\r(5))2＋y2＝4，(x－eq\r(5))2＋y2＝4中的一个内切，另外一个外切．(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),5)，\f(4\r(5),5)))，F(eq\r(5)，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．解析(1)两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心分别为F1(－eq\r(5)，0)、F2(eq\r(5)，0)，由题意得R＝|CF1|－2＝|CF2|＋2或R＝|CF2|－2＝|CF1|＋2，∴||CF1|－|CF2||＝4<2eq\r(5)＝|F1F2|，可知圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，设方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则2a＝4，a＝2，c＝eq\r(5)，b2＝c2－a2＝1，b＝1，所以轨迹L的方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.(2)∵||MP|－|FP||≤|MF|＝2，当且仅当eq\o(PM,\s\up10(→))＝λeq\o(PF,\s\up10(→))(λ>0)时取“＝”，由kMF＝－2知直线lMF：y＝－2(x－eq\r(5))，联