2022-2023学年江苏省南通市如东某中学高三（上）段考数学试卷（12月份）（附答案详解）

2022-2023学年江苏省南通市如东高级中学高三(上)段考数学

试卷(12月份)

1.若集合M={x|y=，4x-x2},N=[x\22-x>2},则MnN=()

A.{x|0<%<1}B.{x|0<x<1}C.{x|l<%<4}D.{x\x<1}

2.已知Z=罟-i2022,则在复平面内，其共挽复数£所对应的点位于()

1—1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，

宽度最大，然后向两边均依次是次间、次间、梢间、尽间.每间宽度从明间开始向左右两边

均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为8：7.若设明间的宽度为小则该

大殿9间的总宽度为()

A.(g)4aB.15a—14混KC.14a[l-(g)4]D.15a-14aq尸

4.已知函数/(x)=sin7T(ox-V5COS"3X(3>0)在(0,1)内恰有3个最值点和4个零点，则实

数3的取值范围是()

A.(需]B.[招)C.先学D.(H,?]

5.已知函数/(%)=ln(，X2+1一%)+1,正实数。满足f(2a)+/(b-4)=2,则?+

T港的最小值为()

2ab+b

A.1B.2C.4D.黑

o

4s25

6.已知(％-l)+2x=劭+。式%+1)+a2(x+I)d---Fa5(x+l),则改=()

A.-2B.2C.4D.12

7,过双崎—岸1(。>0/>0)上的任意一点尸，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐

1

而

而

若>

近线于点M,-4~则双曲线离心率的取值范围是()

A.畔,+8)B.(1，净C.[粤,+8)D.(1,粤]

8.已知f(x)及其导函数/'(X)的定义域均为R,若/(I-2x)为奇函数,/(2x-1)为偶函数.设

f(0)=1,则⑥="'(2k)=()

9.2021年7月1日是中国共产党建党100周年，某单位为了庆祝中国共产党建党100周年，

组织了学党史、强信念、跟党走系列活动，对本单位200名党员同志进行党史测试并进行评

分，将得到的分数分成6组：[70,75）,[75,80）,[80,85）,[85,90）,[90,95）,[95,100],得到如图所示

的频率分布直方图.下列说法正确的是（）

B.得分在[95,100]的人数为4人

C.200名党员员工测试分数的众数约为87.5

D.据此可以估计200名党员员工测试分数的中位数为85

10.△ABC的内角A、B、C的对边分别为小b、c,则下列说法正确的是（）

A.若A>8,贝!IsinA>sinB

B.若△ABC为钝角三角形，则a2+b2>c2

C.若4=30。，b=4,a=3,则△ABC有两解

D.若三角形ABC为斜三角形，则tam4+tanB+tanC=tanZtanBtanC

11.甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到A,B,C,。四所山区学校参加支教活动,

要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的

是（）

A.不同的安排方法共有240种

B.甲志愿者被安排到4学校的概率是:

C.若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种

D.在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是|

12.已知抛物线/=2y,点t6过用作抛物线的两条切线AM,MB,其

中A,8为切点，且A在第一象限，直线A8与y轴交于点P,则下列结论正确的有（）

A.点尸的坐标为(0,1)B.OA1OB

C.△M48的面积的最大值为3gD.霭的取值范围是[2,2+V3]

13.已知角a的顶点与坐标原点。重合，角的始边与x轴非负半轴重合，点P是a的终边与

单位圆的交点.若赤在x轴上的投影向量的坐标为©,()),则cos2a=.

14.已知数列S｝满足斯•限1・即+2=1，a1=2,a2=则闻｝的前〃项积的最大值

为.

15.在平面直角坐标系X。)，中，圆。：x2+y2=3,7(2,m),若圆O上存在以例为中点的

弦AB,且AB=2MT,则实数胆的取值范围是.

-1

16.已知函数/(%)=mx,g(x)=31nx+2e(-<%<e3),若/(%)与g(x)的图像上分别存在点

M,N,使得M,N关于直线y=e对称，则实数机的取值范围是.

17.在①当=品，②.*=空，③2s=-y/3BA■就三个条件中任选一个补充在下

cost2a+csmo—sinea+c

面的横线上，并加以解答.

在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c且,若a=2,c=4,AB边上的中垂

线交AC于。点，求BO的长.

18.等差数列｛即｝的前"项和为右,且S4=4S2,a2n=2an+1.数列｛%｝的前"项和为与，

且加+竽=L

(1)求数列｛即｝,｛bn｝的通项公式；

acos口①为奇数

(2)数列｛“｝满足”=｛n求£您1。

bn，n为偶数,

19.如图1,已知△4DE为等边三角形，四边形A8CZ)为平行四边形，BC=1,BD=2,BA=

图1图2

(1)证明：PA1BD-,

(2)在(1)的条件下求二面角4-PB-C的余弦值.

20.有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中(3个白球和2个

黑球)轮流摸出1球(摸后不放回)，摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出

的球重新放回袋中，准备下一次游戏.

(1)分别求先摸球者3轮获胜和5轮获胜的概率；

(2)小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小李先摸球，并且规定某一次游

戏输者在下一次游戏中先摸球.每次游戏获胜得1分，失败得0分.记3次游戏中小李的得

分之和为X,求X的分布列和数学期望E(X).

21.已知Fi，F2分别为椭圆。:^+，=19>。>0)的左、右焦点，椭圆上任意一点P到焦

点距离的最小值与最大值之比为g,过&且垂直于长轴的椭圆C的弦长为3.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过a的直线与椭圆C相交的交点A、B与右焦点尸2所围成的三角形的内切圆面积是否存在

最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由.

22.已知函数/'(%)=-(a+l)x+Inx,a>0.

(1)讨论函数/'(x)的单调性；

(2)当a=1时，设g(x)=/(%)+(3-m)x-(%+l)lnx,(mG/?),函数g(x)有两个极值点%1、

%2(%1<%2)・

①求m的取值范围；

②若3%i>%2»求%1+%2的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由题意知”={x|0WxW4},N={x|x<1},所以MnN={x[0Wx<1}.

故选：B.

根据集合的定义，先对集合进行化简，再利用交运算即可求解.

本题考查交集的定义，属于基础题.

2.【答案】D

2

【解析】解：因为》4=1,则12。22=»4*5。5+2=12=一1,贝收=77笔=+1=年+1=1+»,

所以z=l—i,

故复数W所对应的点(L-1)位于第四象限.

故选：D.

利用复数的运算化简复数z,可得其共辄复数W,利用复数的几何意义可得出结论.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：由题意，设明间的宽度。为等比数列的首项，从明间向右共5间，宽度成等比数列,

公比为《，

O

同理从明间向左共5间，宽度成等比数列，公比为看,

则由%=也里可得S5=空字1=8a-7a弓)4,

1-81飞

所以总宽度为2s5—a=2[8a-7a(g)4]-a=15a-14a($汽

故选：D.

由题意把9间的宽度转化为两个等比数列的和，应用等比数列前〃项和公式计算即可.

本题主要考查等比数列的前〃项和公式，考查运算求解能力，属于中档题.

4.【答案】A

【解析】解：/(%)=sinna)x—\/3cosna)x=2sin(7ra)x—》

因为％W(0,1),所以7T3V—9CO7T-

又因为函数/'(x)=sinna)x-y/3cosna)x(a)>0)在(0,1)内恰有3个最值点和4个零点，

由正弦函数的图像得：3兀<3兀一上?，解得：

JZ5o

所以实数3的取值范围是(半，知

故选：A.

由第4个正零点小于1,第4个正最值点大于等于1可解.

本题主要考查三角恒等变换，三角函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题.

5.【答案】B

【解析】解：•••/•(x)=ln(yE—x)+l,且函数定义域为R,

•••/(x)+/(—x)=ln(Vx2+1—x)+1+ln(Vx2+1+%)+1=2,

故函数f(x)关于(0,1)对称，

又/(X)=五2：11,(高T_1)=_号7<0

•••/•(X)在R上严格递减，/(2a)+/(b-4)=2,

2a+b—4=0,即2Q+b=4.,

...生+_J=竺+看竺+总22心=2,当且仅当也=看即£1=祟匕号时等号

a2ab+oab(2a+b)a4byja4ba4b99

成立，

故选：B.

根据/(x)=ln(Vx2+1-x)+1,可得/(x)+/(—x)=2,则/(x)关于(0,1)对称，利用导数可得

/(%)单调递减，利用基本不等式，即可得出答案.

本题考查函数的性质和基本不等式的应用，考查转化思想和整体思想，考查逻辑推理能力和运算

能力，属于中档题.

6.【答案】C

【解析】解：令％+1=3则x=t—1,

4545at:5

故(x—I)+2x=(t—2)+2(t—I)=劭+i+a2t?+…+a5t,

(t-2>中产的系数为盘(-2)2=24,(t-中产的系数为盘(_i)3=一io,

所以a?=24-20=4,

故选：C.

令X+1=3直接根据二项式定理求解即可.

本题主要考查了二项展开式的应用，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：双曲线圣―，=19>0*>0)的渐近线方程：bx±ay=0,即丫=±5,

设点P(Xo,y0),可得y-yo=±g(X-殉)，

分别联立两组直线方程可得M(丝祭&竺磬),N(粤产，-丝展力),

丽.而=^±4b‘^一^44a=z^，

"^-^=1---b2x^-a2y^=a2b2,

二加.而=学，由题意学岂

4444，

故选：B.

设点P(xo，yo)，分别联立两组直线方程，求得〃、N的坐标，然后利用向量的数量积，推出离心

率的范围即可.

本题考查向量的数量积的求法与应用，直线与双曲线的位置关系的应用，是中档题.

8.【答案】B

【解析】解：因为/(1一2乃为奇函数，

所以f(1+2x)=-/(l-2x),BP/(1+x)=-f(l-x),

两边同时求导，则有/'(1+x)=/'(l-x),

所以f'Q)的图象关于直线x=1对称.

因为/(2x—1)为偶函数，

所以f(一2x-1)=f(2x-1),即/(-1-x)=/(-I+%),

两边同时求导，则有一/'(一1—X)=/'(—1+X),

所以函数1(x)的图象关于点(—1,0)对称，

所以，f(x)=f'(2-x)=-4),f'(_x+8)=-f'[x+4)=/(x),

所以，函数尸(x)为周期函数，且周期为8,

则有((0)=/(2)=f(8)=f(10)=1(16)=1,f(4)=f(6)=f(12)=尸(14)=-1,

所以由="'(2k)=f(2)+f(4)+…+((12)+八14)+/"'(16)=0.

故选：B.

根据/(I-2x)为奇函数，得到/'(1+x)=-/(I-x),两边同时求导得到/''(>)的图象关于直线x=

1对称，同理由f(2x—1)为偶函数，得到函数((x)的图象关于点(-1,0)对称，两者联立得到f'(x)

为周期函数，且周期为8求解.

本题主要考查了抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题.

9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题.

对于A,结合频率分布直方图的性质，即可求解，对于8,结合频率与频数的关系，即可求解,

对于C,结合众数的定义，即可求解，对于O,结合中位数的公式，即可求解.

【解答】

解：对于4由频率分布直方图的性质可得，

(0.02+0.025+0.03+0.035+a+0.05)x5=1,解得a=0.04,故A正确，

对于8,得分在［95,100］的人数为0.02x5x200=20,故B错误，

对于C,200党员员工测试分数的众数约为电罗=87.5,故C正确，

对于D,•••(0.025+0.035+0.04)x5=0.5,

.••估计200名党员员工测试分数的中位数为85,故£>正确.

故选：ACD.

10.【答案】ACD

【解析】解：对于A：在△4BC中，若4>B,则a>b,

由正弦定理可得2Rsin4>2RsinB,即sinA>sinB,故A正确;

对于若△ABC为钝角三角形，假设。为钝角，

由余弦定理得COSC="V0,即Q2+b2<c2,故8错误;

2ab

对于CbsinA=4sin30°=2,则bsinAVaVb,如图所示：

・•.△Z8C有两解，故C正确;

tanS+tanC

对于D：vtan(B+C)=1—tanfitanC，

・•・tanB+tanC=tan(B+C)(l—tan^tanC)

在^ABC中，tan(B+C)=tan(/r—A)=—tan4,

・•・tanfi+tanC=tanAtanBtanC-tan4即tan/+tanB+tanC=tanAtanBtanC,故D正确,

故选：ACD.

利用正弦定理、余弦定理，逐一分析选项，即可得出答案.

本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算

能力，属于中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到A,B,C,。四所山区学校参加支教活

动，

则共有鬣•花=240种安排方法，故A正确；

甲志愿者被安排到A学校，

若4学校只有一个人，则有以-Aj=36种安排方法，

若A学校只有2个人，则有用=24种安排方法，

所以甲志愿者被安排到A学校有36+24=60种安排方法，

所以甲志愿者被安排到A学校的概率是端=；,故B正确；

若4学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有幽=60种，故C错误；

甲志愿者被安排到A学校有60种安排方法，

在甲志愿者被安排到4学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的安排方法有24种，

所以在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是等=葭故。正确.

故选：ABD.

先将5人分成4组，然后排入4所学校即可判断A；

分A学校只有一个人和A学校只有2个人,两种情况讨论，求出甲志愿者被安排到A学校的排法，

再根据古典概型即可判断8;

先将A学校的两名志愿者排好，再将剩下的3名志愿者安排到其他3所学校即可判断C；

求出甲志愿者被安排到A学校的排法，然后再求出在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A

学校有两名志愿者的排法，根据条件概率进行计算，从而可判断D

本题主要考查排列、组合与简单的计数原理，古典概型概率公式，考查运算求解能力，属于中档

题.

12.【答案】ACD

【解析】

【分析】

求得y=的导数，可得A处的切线的斜率和方程，同理可得B处的切线的方程，由两点确定

一条直线，可得AB的方程，令x=0,可判断4由直线A8的方程和抛物线的方程联立，运用

韦达定理和向量数量积的坐标表示，化简可判断8；求得M到直线A8的距离和|4B|,由三角形

的面积公式和函数的单调性，可判断C；由弦长公式和韦达定理，结合f的范围，解不等式可判

断D.

本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于

中档题.

【解答】

解：x2=2y即y=的导数为y，=x,

设8(%2，先)，则好=2%，话=2y?，

可得A处的切线的方程为y-y1=%i(x-%力，即为%1%=y+%，

同理可得B处的切线的方程为=y+，

又切线MA,MB都过M(£,-1),可得%i£=-l+yi，x2t=-1+y2,

由两点确定一条直线，可得A3的方程为%t=y-1,

可得P(O,1),故A正确;

X=

联立，~,可得/—2tx—2=0,即有％1+%223%不=一2

一y—1

由+为、2—-2+-——2+1=—1丰0,

即OA不垂直于08,故B错误；

由t€[1,1])M到直线AB的距离为&=华坦，\AB\=VTTt7-V4t2+8,

2乒

所以△M4B的面积S=^d-\AB\=(t2+2)gJ2在t6g1]递增，可得5的最大值为38，故C

正确；

由力+必=23%1%2=-2,消去X],x2＞可得=与察~€G,1],

解得me[2,2+K],故。正确.

故选：ACD.

13.【答案】々

【解析】解：题意可知：cosa=5

所以cos2a=2cos2a—1=^—1=-L

yy

故答案为：-g.

根据投影向量的坐标和任意角的三角函数可得：cosa=%再利用二倍角的余弦公式即可求解.

本题主要考查了三角函数的定义及二倍角公式，属于基础题.

14.【答案】2

aaaa

【解析】解：@九•CLn+l'n+2=1，,,,n+l'n+2*n+3=L

两式相除得皿=1,即册=册+3,故数列｛册｝的周期r=3,

an

-

■■的=2,a2=|»。3=-1,

设｛斯｝的前〃项积为7；,

.♦.当n=3k,kGN*时，Tn=1,

当n=3/c+l,ZcCN*时，Tn=1x2=2,

当n=3k+2,ZcCN*时，7；=1x2x(-j)=-1,

••.7；的最大值为2,

故答案为：2.

由递推公式可得数列周期T=3,分类讨论n=3k,n=3k+1,n=3k+2,k6N*,即可得出

答案.

本题考查由数列的递推式求数列的通项和周期数列，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推

理能力和运算能力，属于中档题.

15.【答案】［一企，或］

【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，圆。：/+y2=3,也

7(2,m),

M为AB的中点，且AB=2MT,••.△TAB为直角三角形，

—厂本『

若Al,TB为切线,则2。78=45。，----1--<Ay--------►.

在RtAOTB中，Z.OTB=45°,AOBT=90°,\0B\=V3,:.

|OT|=V6,/

二过T到向圆引的两条切线的夹角不小于90。，满足题意，

则圆心(0,0)到点T(2,m)的距离不大于遥，

即|。7|=&2+标<76,

解得：mG［-72,72］.

故答案为：［-V2.V2］.

根据条件把问题转化为圆C上存在A8两点，使41rB=90。，即过T到向圆引的两条切线的夹角

不小于90。，即圆心(0,0)到点7(2,m)的距离不大于乃，进而得到答案.

本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.

16.【答案】［一；,30

【解析】解：因为/(X)与g(W的图像上分别存在点M,N,使得“，N关于直线y=e对称，

令M(x,mx),N(x,31nx+2e),

则mx+3黑+2e=即-mx=31nx+2e在上有解，

即一mx=31nx在［，,”］上有解，即一m=^^在g”］上有解，

设九(%)=乎，x€［i,e3］,则“(%)=3(1；产,

当:<%<e时，^(%)>0,故九(%)在&,e)为增函数，

当eCxV/时，//(%)<0,故九(%)在(e,?3)为减函数，

而八(e)=；,/i(3=-3e,/i(e3)=^,

故h(x)在E，e3］上的值域为［一3乡|］,

故—tn€［―3e,1］,即ni€［―1,3e］.

故答案为：［一=,3也

设点M(x,znx),/V(x,31nx+2e),可得出-m=2丝，构造函数/i(x)=岂皆，可得知直线y=-m与

函数y=/i(x)在区间［；,e3］上的图象有交点，进而可知，实数-租的取值范围是函数y=h(x)在区

间E，e3］上的值域，利用导数求解即可.

本题主要考查函数与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题.

17.【答案】解：选取条件①：•.•笔=总，

cost2Q+C

・••在△48C中由正弦定理得=一x即2sin4cosB4-sinCcosB=-sin8cosC,

cost2sirL4+sinc

・•・2sin4cosB=—sinBcosC—sinCcosB=—sin(8+C)=-sin>l,

又A,BG(O,TT),AsinA>0,

・•.cosB=解得B=y,

在^ABC中由余弦定理得/=a2+c2-2accosB=28,解得b=2-77,

)b2+c2-a228+16-45V7

••・cos"==五诲=N'

设AB边上的中垂线垂足为点O,如图所示：

B

V。。垂直平分AB,OA=OB,

又。。=OD,.-.AD=BD,

在RtAA。。中，OA=2,

MD=%=3=塔,即BO=增;

C0Si45V755

14

选取条件②：•••.产冲,

sinB-sinCa+c

・・・在4ABC中由正弦定理得工匕=空，即小+。。=庐一c2

b—ca+c

・•・=。2+。2+QC=。2+Q2_2aCCOSB,

***COSB=~2f又B€(0,7T),则B——,

则〃=@2+。2_2accosB=28,:.b=2近，

.b2+c2-a228+16-45V7

；・*==及尔F'

设A8边上的中垂线垂足为点O,如图所示：

又0D=OD,AD=BD,

在中，OA=2,

.A。一必一2__也即80—也

-AU-cos4一我一5'即"〃一5.

14

选取条件③，,：2S=-y/3BA-BC=-V3|BA\-\BC\cosB=-V3accosBacsinB,

:,tanB=—y[3,

又Be(0,7T),则8=手

则匕2=a2+c2-2accosB=28,解得b=2夕,

222

Ab+c-a28+16-45V7

=2^2^4=

设AB边上的中垂线垂足为点O,如图所示：

又。。=0D,•••AD=BD,

在Rt△40D中，0A=2,

颛=迈=可,即BD=弁.

14

【解析】分别选取条件①，利用正弦定理化边为角，结合三角形内角的关系及两角和的正弦公式

求得角B,利用余弦定理求得幼从cosA,证明=求出AC,即可得出答案；选取条件②，

利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得角B,利用余弦定理求得边b,cosA,证明4。=BD,

求出4D,即可得出答案；

选取条件③,利用向量数量积的定义及三角形的面积公式求得角B,利用余弦定理求得边b,cosA,

证明4D=B。，求出4。，即可得出答案.

本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和

运算能力，属于中档题.

18.【答案】解：（1）设等差数列｛斯｝的公差为力且S4=4S2,a2n=2an+l,

『a1+6d=4(2%+d)

id]+(2n-l)d=2al+2(n-l)d+1解得a1=1，d=2.

:,an=2n—l,nGN*,

又〃+^^=1，则〃=1=1-^T，

当n=1时，瓦=7\=1—竽=0,

当nN2时，bn=Tn-+^=2~不符合bi=0.

（0,n=1

（2）由（1）得册=2n—l,n£N*,。,

（5二T，九三乙

E言1G=C]+C2+C3+C4+C5+。6+…+C,+…+C2,=—Q]+⑦—Q3+万4—Q5+生—…一

a2n-l+82/1=一（。1+。3+@5-------a2n-l）+（⑦+力4+生H---------b02n）=一〔1+（1"]九+（/+

2।41,2几-2、_C2I-I/0I2J41,2九一2、

/+声+…+^TT）=-2n+（/+声+声+…+^n），

令7n/+尹尹…+第①,

则也=*+,+/+…+

22

由①-②得*Tn=产一豁=»葬，

4

_4,13n+l、412n+4

•,工=式〕收）=厂^^，

故£"=-2/+”、器.

【解析】（1）设等差数列的公差为d,利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组即可求

得首项和公差；由7；与%的关系，即可得出答案；

（0,n—1

（2）由（1）得a.=2n-l,ne/V*.b==“、利用错位相减法和分组求和法，即可得出答

n>n—£

案.

本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想和方程思想，考查作差法和错位相减法，考

查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

19.【答案】解：（1）证明：如图，设PD的中点为尸，连接4F.

•••△4DP为等边三角形,

•••AF1PD.

又平面PADJL平面PB。，^PAD^W\PBD=PD,

AF1平面PBD.

vBDu平面PBD,

BD1AF.

•••AD=BC=1,BD=2,BA=V5,

.-.AD2+BD2=AB2,：.BD1AD.

又4。OAF=A,BD_1_平面PAD.

又PAu平面PAD,：.PA1BD.

(2)由(1)知8。1平面PAD,则平面PAD1平面ABO.

设AO中点为O，连接尸O，则POLAD.

又平面PAC1平面ABD,平面PA。Cl平面ABD=AD,:.PO_L平面4BD

设A8中点为O',连接00'.

00'//BD,•••00'1AD,

故以点。为坐标原点，00',OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示,

则混,0,0),B(+，2,0),C(*,2,0),P(0,0，S，

"PA=(1«0,-y),PB=(-1,2,-y),PC=(-|,2,-y).

设平面PAB的法向量为记=(x,y,z),

fjn-AP=1x-vz=0

由｛_22,则可取沅=Q低百,2),

(沅-PB=--x+2y——z=0

设平面P8C的法向量为五=(a,b,c),

n-PB=­[a+2b-=c=0

:，则可取记=(0,一8,一4),

(n-PC=--a+2b—=

，一m-n-1111

.-.05^,71)=—=?=-==-->

二面角4-PB-C的余弦值为一和

【解析】⑴先由平面P4D1平面PB£>，证明BDJ.4F,再由勾股定理证明BD14。，最后由判定

定理以及性质证明P4LBD；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法得出二面角4-PB-C的余弦值.

本题考查线面垂直，面面垂直的判定及其性质，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻

辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)设“3轮获胜”为事件A,“5轮获胜”为事件B,

2311

XX=

3轮:白黑黑：5X5X3=5-413-一

10

故先摸球者3轮获胜的概率为P(4)=专+今=*,

若进行5轮，前四个球的情况为：黑白白白:|x|x|xl=±1白黑白白:那x那=也

32211

-

-X-.白白白黑:|xixlx|=±.

白白黑白:54W

故先摸球者5轮获胜的概率为P(B)==x4=备

3-2-

(2)由(1)得先摸球者获胜的概率为4+^+|=|,

X的所有可能取值为：0,1,2,3,

P(X=。)=a=急

233223323333232

-X-X-+-X-X-=a==-X-X-+-X-X-+-X-X-

P(X=5555552)555555555

57

125)

2212

P(X=3)=|x—X——-----,

55125

故X的分布列为:

X0123

P8485712

125125125125

故以X)=ox言+1X粽+2X馨+3'粽=黑

【解析】(1)由题意分两种情况即可求解;

(2)依题意分别求出X=0,1,2,3时的概率，列分布列，即可求期望值.

本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题.

21.【答案】解：(1)P到焦点的最大值和最小值分别为：a+c,a-c,

由题意可得==9，①

Q+C3

过&且垂直于长轴的椭圆C的弦长为。=3②，

又呼=炉+C?③,

由①②③可得小=4,b2=3,c=1,

所以椭圆c的标准方程为：3+4=1；

(2)由(1)可得左焦点&(一1,0),

假设存在这样的直线A8,由于直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为：x=my-l,

设a(%1力),8(%2，兆)，

X=my—1

x2y2整理可得：(4+3m2)y2-6my-9=0,

IT+T=1

可得：4>0,%+丫2=鼻,%、2=一冷蕨,

所以1%—丫2|=〃%+丫2)2-4月丫2==吗富，

令、1+而=t>1,

22

可得：m=t-1,所以；：詈z2=J匚=

4+3m3r+l3t+1

t>1时，f(t)=一、单调递减，所以t=1时，f(t)最大值为:，

3t+]，

所以|%-丫21的最大值为：12X*=3,

所以SAW?=T|FiF2|1%—y2|W”L3=3,

设仆ABF2的内切圆的半径为r,

因为△ABF2的周长为4a=4x2=8,

SAABFZ=1-4a-r=4r,

所以4rs3,,•的最大值为这时内切圆的半径最大.

旦S内切圆=谈《探

即存在这样的内切圆的面积的最大值为弱.

16

【解析】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的综合，三角形内切圆的半径的求法，属于中档题.

(1)P到焦点距离的最小值与最大值之比为软]■得a,c•的关系，过&且垂直于长轴的椭圆C的弦长

为3.可得m人的关系，再由“，b,。之间的关系求出a,h,c的值，进而求出椭圆的方程.

(2)设直线A8的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出A3的纵坐标之差的绝对

值的表达式，令函数/«)=工«21),由函数的单调性求出AABF?的面积的最大值，可得三角

3t+y

形内切圆的半径的最大值，进而求出内切圆的最大值.

22.【答案】解：(1)函数/'(%)=1ax2一(Q+l)x+Inx的定义域为(0,+oo),/'(%)=QX-(Q+1)+

-1二_-(a--x---l)-(-x---l-).

XX

111

①当0VaV1时，->1,由/'(%)>0,可得0V%V1或%>由/'(%)<0,可得1<%<-,

此时函数/(乃的增区间为(0,1)、(/+8),减区间为(1,；)；

2

②当a=1时，f(x)=宁->0且/'(x)不恒为零，此时函数f(x)的增区间为(0,+8)；

1-11

③当Q>1时，O