2021届高三数学“小题速练”含答案解析18

2021届高三数学“小题速练”18

答案解析

一、单项选择题

1.设集合用={0,1,2},"=1,2-3犬+2<0},则Mp|N=()

A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}

【答案】D

【解析】

【分析】

利用一元二次不等式的解法化简集合N,再利用集合的交集运算即可得到结论.

【详解】•.•N={x|V—3x+2釉}={x|(x—l)(x—2)0}={x|窗k2},

M={0,1,2}

:.Mr>N={\,2},

故选：D.

【点睛】本题主要考查集合的基本运算，考查了一元二次不等式的解法，比较基础.

2.已知复数z满足(l+i)z=*+i],i为虚数单位，则z等于()

,.11.1]

A.1—zB.1+zC.----zD.—F-

222：

【答案】A

【解析】

【分析】

直接根据复数代数形式的除法法则计算可得；

【详解】解：因为(l+i)z=|G+i],所以z=白==1

故选：A

【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.

rrr

3.若向量B满足：同=1，(a+b)_La,+则恸=()

A.2B.J2C.1D.—

2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量垂直数量积等于零即可求解.

【详解】由(a+b)_La,(2a+b^Lb,

\(a+b)-a=O(a2+a-b=0

(2〃+孙5=02a-b+b~=0

解得52=2/=2，

所以忖=血.

故选：B

【点睛】本题考查了向量垂直数量积的表示，求向量的模，属于基础题.

4.已知抛物线E：)2=2川(/7>0)的焦点为F,。为坐标原点，。尸为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角

线8C的长为2,且点8,C在抛物线E上，则。=()

A.1B.V2C.2D.2V2

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意‘D在抛物线上'代入抛物线方程可得1二1'即可求出〃的值.

【详解】解：由题意，引D在抛物线上，代入抛物线方程可得

,e•P>0,:.p=®,

故选：B.

【点睛】本题考查抛物线的方程，考查学生的计算能力，属于基础题.

5.已知为是等差数列｛〃"｝的前〃项和，则对>皿"对应2恒成立”是““3>“4”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

设等差数列的公差为d,利用等差数列的通项公式和前«项和公式将S„>na„(n>2)等价转化为d<0,

将等价转化为d<0，由此可得答案.

【详解】设等差数列的公差为4,

当〃22时，因为S“>〃凡等价于“(4+4)>等价于6>4等价于(n—1)。<0等价于d<0,

4>a4等价于4-4<°等价于d<0,

所以S”>nan(n>2)等价于a3>a4,

所以“S”>叫(心2)”是“%>4”的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前“项和公式，考查了充分必要条件的概念，属于基础题.

6.函数=J卜osx(—4<]<不且XHO)的图象可能为()

【答案】D

【解析】

因为/(一幻=(-X+')COSX=-(X-L)COSX=-/(X),故函数是奇函数，所以排除A,B；取》=万，则

XX

f(7T)=)COS^=-(^-―)<0,故选D.

7tn

考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.

7.已知函数/(X)是定义在R上的奇函数，当XG(F,()］时，/(x)=—f+2x,若实数加满足

/(log2m)<3,则m的取值范围是()

A.(0,2］B.-,2c.(0,8］D.-,8

28

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，结合函数的解析式可得f(x)在区间(-8,0］上为增函数，进而可得/0)在R上为增函数，且

"1)=3；据此可得“log2M釉nf(log/?)/(l)=>log2/n,l,解可得加的取值范围，即可得答案.

【详解】解：根据题意，当xe(—8,0］时，/(X)=-X2+2X=-(X-1)2+1.则/(x)在区间(7,。1上

为增函数，

且/(T)=(T)+2X(—1)=—3,

又由/(幻为奇函数，则/(X)在区间［0,+8)上为增函数，ja/(i)=-/(-i)=3；

故在R上为增函数，

/(log2=>/(log2m)/(I)=>log2m,,1,

解可得：0〈供，2,即m的取值范围为(0,2］；

故选：A.

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题.

8.如图，在三棱锥A—BC。中，AB=AC=BD=CD=3,AO=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点，则异面

直线AN,CA/所成的角的余弦值是()

A

5c7

A.-B.旦C.一D.五

8T88

【答案】C

【解析】

【分析】

连接取8M的中点0,连接ON,根据异面直线所成角的定义，结合等腰三角形的性质、勾股定理、

余弦定理进行求解即可.

【详解】如图，连接6M，取的中点。，连接ON,

因为N是中点，则ON//CM,

所以NAN。(或其补角)就是异面直线AN,CM所成的角，

因为AB=AC=BC=C£>=3,AD=BC=2,点、M,N分别为A。，BC的中点,

所以M_LBC,AM_LAD,BMA.AD,

因此有AN=^AC2-(|BC)2=V32-l2=2V2,

同理CM=j32-『=2及，BM=ylW-e=2叵

A0=J（；AO）2+（；ftW）2=[12+3）2=百,NO=gcM=6,

/.zcAN、ON?-AO?（2&y+（五）2_（Vi）27

2AN-N02x20x08

故选：C

【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，关键是根据定义作出异面直线所成的角，即平移其中一条直线

与另一条相交，通过解三角形求出相交直线的夹角，可得异面直线所成角，要注意异面直线所成角的范围

TT

是（0口・

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生

原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐臧着的

世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则下列说法正

确的是（）

A.此数列的第20项是200B.此数列的第19项是182

C.此数列偶数项的通项公式为=2/D.此数列的前〃项和为s“=〃・（〃-l）

【答案】AC

【解析】

分析】

首先寻找出数列的规律，归纳出通项公式，然后判断各选项即可.

【详解】观察此数列，偶数项通项公式为外”=2/,奇数项是后一项减去后一项的项数，a2„_,=a2l,-2n,

由此可得出。=2x10?=200,A正确；49=。2。-20=180,B错误；C正确；S“=〃（〃—1）="一〃是

一个等差数列的前〃项，而题中数列不是等差数列，不可能有S“=〃-（〃-D，D错.

故选：AC.

【点睛】本题考查数列的通项公式，要求从数列的前几项归纳出数列的通项公式.这里我们只能从常见的

数列出发，寻找各项与项数”之间的关系，归纳结论.有时需要分奇数项与偶数项分别讨论归纳出结论，

或者寻找两者的关系，从而得出结论.

22

10.已知6、居是双曲线C：二—二=1的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以

42

线段耳尸2为直径的圆经过点则下列说法正确的是（）

A.双曲线C的渐近线方程为y=

B.以耳心为直径的圆的方程为f+y2=2

C.点M的横坐标为±0

D.△用6尸2的面积为26

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据双曲线的标准方程求出渐近线方程，以耳鸟为直径的圆的方程，”点坐标，耳工的面积然后判

断各选项.

22

【详解】由双曲线方程匕—土=1知4=2,6=0,焦点在y轴，渐近线方程为y=±3x=±&x,A正

42b

确；

c=yla2+h2=76'以£工为直径的圆的方程是82+V=6,B错；

1r+y6x—x———5/2,—

由得｛'或,由对称性知M点横坐标是土正，C正确：

［y=y/2x［y=2［y=~2

S

^MF,F2=g|月K|%|=(X2后、逝=26，D正确.

故选:ACD.

【点睛】本题考查双曲线的几何性质，解题时可根据双曲线方程确定人。，同时注意焦点据的轴，然后根

据a*,c求解其他量.

11.已知定义在/?上的函数/(》)满足/*)4/(一幻=0,/(%+6)=-/*),且对VE./W-IO］,当

玉*X2时，都有菁/(芯)+%2/(%2)<%/(%2)+%2/(%)，则以下判断正确的是()

A.函数/(x)是偶函数B.函数〃尤)在［-9,一6］单调递增

C.x=3是函数/(x)的对称轴D.函数f(x)的最小正周期是12

【答案】BCD

【解析】

【分析】

由/(x)tf(-幻=0得函数为奇函数，判断A选项；通过/(x+6)=-/(x)得函数的最小正周期，判断。选

项；通过题意得/(%+6)=/(-%),进而得函数的对称轴，判断C选项；化简

司/(%,)+x2f(x2)<须/(々)+//(%)为(%-%)•(7(%)二/1(工2))<°得到函数在［-3,0］上的单调性，

结合奇偶性、对称轴、周期得［-9,-6］匕的单调性，判断5选项即可.

【详解】解：因为/(x)tf(-x)=O,B［J/(-%)=-/(%),所以函数为奇函数，故A选项错误；

因为/(x+6)=-/(x),而/(-x)=-/(x),所以/(x+6)=/(-x),所以函数的对称轴为％=号°=3,

故C选项正确；

因为/(x+6)=—/(x),所以/(x+12)=—/(x+6)=/(x),即/(x+⑵=/(x),

所以/(X)的最小正周期是12,故。选项正确;

因为VX1,X2目一3,0],当玉工4时，都有玉/(苍)+了2/(%2)<王/(工2)+%2/(%)，

由%/(%)+x2f(x2)<xtf(x2)+x2f(x})化简得(X]-/),(/(玉)一/(工2))<0，

所以x?[3,0]时，“X)为减函数.

因为函数为奇函数，所以无目(),3]时，"X)为减函数，又因为函数“X)关于x=3对称，

所以xw[3,6]时，/(x)为增函数.

因为/(x)的最小正周期是12,所以xe[—9,-6]的单调性与xw[3,6]时的单调性相同.

故，》目-9,-6]时，/(x)单调递增，故3选项正确.

故选：BCD.

【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性，奇偶性，对称轴和周期，属于中档题.

12.如图四棱锥尸一ABC。，平面BAD，平面ABC。，侧面24。是边长为2点的正三角形，底面ABCD

为矩形，=2百，点。是尸。的中点，则下列结论正确的是()

A.C。，平面尸AD

B.PC与平面AQC所成角的余弦值为述

3

C.三棱锥5-ACQ的体积为6立

D.四棱锥Q-ABC。外接球的内接正四面体的表面积为24百

【答案】BD

【解析】

【分析】

取AO的中点。，8c的中点E，连接OE,OP,则由已知可得OP_L平面ABCD,而底面ABCD为矩形,

所以以。为坐标原点，分别以所在的直线为％轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用

空间向量依次求解即可.

【详解】解：取的中点。，BC的中点E，连接。民。尸，

因为三角形B4Z)为等边三角形，所以OPLA。，

因为平面PAT>J_平面ABCO,所以OP_L平面ABCD,

因为AO_LQ£,所以尸两两垂直，

所以，如下图，以O为坐标原点，分别以OD,OE,OP所在直线为x轴，)轴，z轴，

建立空间直角坐标系，则。(0,0,0),£>(、/,0,0),A(—指,0,0),

P(0,0,3V2),C(76,2V3,0),5(-76,2A/3,0),

因为点。是PD的中点，所以Q(手,0,孚)，

平面PAD的一个法向量为m=(0,1,0),

文=(曰,26,-竽)，显然浣与反不共线，

所以CQ与平面尸A。不垂直，所以A不正确;

PC=（瓜2百,-3&）,硕=（孚,0,孚）,AC=（2>/6,2百,0），

设平面AQC的法向量为3=（x,y,z）,则

-方3m/母..

n-AQ=---x+z=0

v22,

n-AC=2遥x+2百y=0

令尤=1,则y=-0,z=-G，

所以7=（1,—血,—G），

设PC与平面AQC所成角为0,

An-PC2瓜1

则sinrmin

0=\nPC\=-6ar==-3,

所以cos®=2也，所以B正确;

3

三棱锥8—ACQ的体积为

VB-AC。=%-ABC=§S-ABC.5OP

=—x—x26x2A/6x—x3>72=6，

322

所以C不正确；

设四棱锥Q-ABCD外接球的球心为M（0,6,a）,则MQ=MD,

所以闺2+（扃+'言］2=（扃+（可+#

解得a=0,即M((),V3,0)为矩形A3CD对角线的交点,

所以四棱锥Q-AB。。外接球的半径为3,

设四棱锥Q-ABC。外接球的内接正四面体的棱长为x,

将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线,

故正方体的棱长为孝x，所以31曰x)=62,得炉=24,

所以正四面体的表面积为4x走/=246,所以D正确.

4

故选：BD

【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力,

属于较难题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成个三位正整数.

【答案】100

【解析】

【分析】

用分步乘法原理计数.

【详解】用0,1,2,3,4这五个数字，

可以组成三位数的个数为4x5x5=10().

故答案为：100.

【点睛】本题考查分步乘法原理，解题关键是确定完成这件事的方法，是分步还是分类.

14.函数/3=5布仁+不卜05：-5皿彳在［0,句上的最小值是

【答案】一也上1

2

【解析】

【分析】

利用三角恒等变换思想化简得出〃x)=—lin，—工、I77

由OWxW%计算得出x--的取值范围,

2k4,24

再利用正弦函数的基本性质可求得函数)=/(%)的最小值.

详解

X、X.TX.XX.2X1.1-cosX

—+7icos——sin—=-sin—cos——sin'—=——sinx------------

2J2222222

当L寸，

所以当=5时，函数y=/(x)取得最小值，即/(同同=_Y2__L=一也±1

故答案为：一也上！.

2

【点睛】本题考查正弦型函数在区间上最值的求解，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析

式，考查计算能力，属于中等题.

15.已知一袋中装有红，蓝，黄，绿小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回.当四种颜色的小球

全部取出时即停止，则恰好取6次停止的概率为.

75

【答案】荻

【解析】

【分析】

事件“恰好取6次停止”是第4种颜色第6次才取到，前5次只出现3种颜色，求出它的方法数，再求出

取6次球的总方法数，由概率公式可计算出概率.

【详解】取