函数y=Asin(ωx φ)讲义-高一年级上册数学人教A版（2019）必修第一册

5.6函数y=Asin（（y%+（p）

知识点一Aj。对函数图象的影响

1、。对函数丫=sin（x+o）,xeA的图象的影响

简记为：左加右减“。这种变换属于平移变换，只改变图象的位置，不改变其大小，可表示为

,向左平移冏（00）.

,向右平移时（9<0）7+'

2,。（口>0）对函数、=5m（（m+。）,》67?的图象的影响

情坐标缩短到原来的十倍血>i）

y-sin（69X+/）—>-------------------卬,y—sin（0x+cp）

横坐标仲长到原来的,倍（ovsvi）’

3

3、A（4>0）对函数），=4$皿（。X+0）,xe/?的图象的影响

在纵坐标伸长或缩短的过程中，横坐标未发生变化，其图象变化可以表示为

y=sin（8+⑼…竺好，长到原来的八倍（A>1）.

°纵坐标缩短到原来的A倍y=Asin(<izx+e)

知识点二由y=sin（x）的图象到）?=Asin（（ux+e）的图象的变换过程

由y=sin（x）的图象到y=Asin（cox+（p）的图象的变换过程可由两种方式表示，其一为先平移后伸

缩，其二为先伸缩后平移，具体过程如下：

1

知识点三画函数.丫=Asin（（yx+e）的简图

1.图象变换

利用对函数y=Asin（的+。）的图象的影响，通过“平移”“伸缩”等得到图象。

2.用“五点法”作图

找五个关键点，分别为使），能取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点，其步骤为:

（1）先确定周期7=,在一个周期内作出图象;

（2）令X=3x+0,X分别取0,生，肛二,2乃，求出对应的x值，列表如下:

22

7134

X=CDX-\-(p07T

7T27r

7131

7t-(p----(P2兀一（P

X2

a)izfCDCD

coco

y=Asin(Gx+°)0A0-A0

【提示】

TT3^7

利用“五点法”作图时，将0看成一个整体，使5+0分别取0,鼻•，乃，羊,2乃，然后求出相

应的x,y的值，便找到了“五点”。

知识点四函数y=Asin（a）x+°）（xw[0,+8）,A>0,3>0）中各量的物理意义

A为振幅，它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；而7==2万表示做简谐运动的物体往

CD

复运动一次所需的时间.简谐运动的频率则为/=工=色，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复

T2万

运动的次数.5+°称为相位，当x=0时的相位为0,称为初相.

【拓展】

因此函数丁=5泊工到丁=Asin（5+0）的图象的变换途径为相位变换一周期变换一振幅变换（或

周期变换一相位变换一振幅变换）。

2

知识点五函数y=Asin(Gx+°)(A>0,>0)的性质

定义域

值域

周期

当夕=%］，ZEZ时为奇函数

TT

当。=攵万+］,ZeZ时为偶函数

奇偶性

当夕/号，ZeZ时为非奇非偶函数

直线%="+工一9(ZeZ)

co2coco

对称轴

、、乃

求法：令0x+°=Qr+万可求

对称中心：

f-.......—,olfkeZ

对称中心\coco)

求法：令s+0=%万可求

7F7T

令----F2k7t<a)x+(p<—+2k7i，kEZ可求单调递增区间

22

单调性

yr37r

令——I-2k/r<a)x+(p<-——卜2k兀，kEZ可求单调递减区间

22

【提示】当(p=k兀，ZEZ时，y=Asin(s+0)=/451!1(。¥+左乃)=±24$由5为奇函数；

当(p=k兀〜——,AwZ时，y=Asin(s+°)=Asin(s+Qrd——)=±Acoscox为偶函数.

［经典考法］

考点一利用“五点法”作图

【例1】已知函数y=2sin'+'

(1)用''五点法''画出它的图象；

(2)求出它的振幅、周期及初相.

3

用“五点法”作函数的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点，画出该函数一个周期内的

图象.作函数的图象时，关健是列表，特别是给定区间作图问题，首先确定该区间端点处的函数值，然后

确定两个端点之间的最值点、零点.

考点二函数图象的变换

【例2】为了得到函数y=sin（2x-^的图象，可以将函数），=cos2x的图象（）

A.向右平移二个单位.B.向右平移工个单位.C.向左平移£个单位.D.向左平移生个单位.

6363

【例3】将函数的图象〃x）=sin（2x+3）沿x轴向左平移工个单位长度后，得到一个偶函数的图象，

8

则e的一个可能取值为（）

A.—B.-C.0D.--

344

奇函教y=sinx的图象向左（右）平移］+&下（kez）个单位长度，变换后的函数为偶函数.

【例4】（2021•全国•高三月考）若把函数y=/（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标

不变，则得到函数y=sinx的图象.若把y=的图象向右平移?个单位长度得到函数y=g（x）的图

象,则g（x）=（）

A.sin2xB.—cos2xC.sin）|D.sin|+~|

128J（28）

【针对训练】

1.要得到函数y=sin4x——的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）

\3）

A.向左平移方个单位B.向右平移方个单位C.向左平移号个单位D.向右平移三个单位

2.将函数y=sin向左平移5个单位，可得到函数图象是（）

A.y=sin2xB.y=sin|^2x——JC.y=sin|^2x+—D.y=sinl2x——J

1(4、5

3.已知函数产支in2x+-+本该函数的图象可由尸sinx,x£R的图象经过怎样的变换得到?

\67

4

考点三确定函数解析式

［例5］函数〃x）=Asin®x+*）（A>0,CT>0，M|<3的最小值为-2,其图象上相邻的最高点与

最低点的横坐标之差的绝对值是3万，图象过点（0,1）,求函数的解析式.

【方法技巧】

确定函数丫=由山（3工+。）的解析式的关键是（fl的确定，常用方法有：

（1）代入法：把图象上的一个已知点代入（此时A,。已知）或代入图象与x轴的交点求解（此时要注

意交点在上升区间上还是在下降区间上）.

（2）五点法：确定夕值时，往往以寻找“五点法''中的第一个零点0）作为突破口.“五点”的5

+<p的值具体如下：，“第一点”（即图象上升时与X轴的交点）为5+«=0；第二点”（即图象的“峰点”）为

5+«=参，“第三点”（即图象下降时与X轴的交点）为5+0=无；，“第四点”（即图象的“谷点”）为妙+夕=

普；，“第五点”为（ox+<p=2n.

【例6】图是函数、=念皿6：+夕）［4>0,。>0,网<£）的图象，求其函数解析式.

［例7］已知函数〃x）=Asin（0x+e）（A>OM>O,O4°〈万）的图象如图所示.

（1）求函数/（x）的解析式;

（2）首先将函数/（X）的图象上每一点横坐标缩短为原来的;，然后将所得函数图象向右平移9个

NO

单位，最后再向上平移1个单位得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在0,1内的值域.

5

【针对训练】

4.如图是函数y=4sin（3：+3）A＞。,①＞。,|同＜的图象的一

部分，求此函数的解析式.

5.某函数部分图象如图所示，它的函数的解析式可能是（

「53吟（52吟

A.y—sinl——X+-^-IB.y=sinl——J

（53乃）（53吟

C-厂叫片D-尸一网厂+引

考点四函数y=Asin的x+*）的性质的应用

【例8】已知函数〃x）=sin（2x+c）（-乃＜e＜0）的图象的一条对称轴是直线工=工.

8

⑴求s；⑵求函数y=〃x）的单调区间.

【例9】已知函数/（x）=Asin（0x+9）其中A＞0m＞0,0＜/＜］的周期为T，且图象上一个最低

点、为M

⑴求〃x）的解析式；⑵当xe0,时，求“X）的最值.

6

【例10】已知函数〃x)=(总山+或05卜0注的图象关于点对称，则下列结论正确的是()

A.“X)的最小正周期是5B.小+奈)是偶函数C./⑺在与/上单调递增

D.先将/(x)图象上各点的横坐标压缩为原来的;，再将所得的函数图象向左平移2个单位长度,

得到函数g(x)=6sin4x+1的图象

【例11］已知函数f(x)=2cos2x-cos(2x+5)-l.

(1)求函数f(x)的最小正周期；⑵求f(x)在(0,9上的值域;

1T

(3)将f(x)的图象向右平移丁得到函数g(x)的图象，若/?(x)=g(x)-lnx,探究〃(x)在上是

O

否存在零点.

7

【课后作业】

TTTT

1.将函数/(x)=sin(2x+当的图象向右平移工，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得

OO

到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是()

A.函数g(x)的图象关于点5,。)对称B.函数g(x)的最小正周期为兀

JTTT27r

C.函数g(x)的图象关于直线x=z对称D.函数g(x)在区间片，=］上单调递增

0o3

2.已知函数_/(x)=2cos(3x-?),下面结论错误的是()

A.函数的最小正周期为等B.函数图像关于(-0)中心对称

C.函数图像关于直线对称

4

37r

D.将y=2cos3x图像上的所有点向右平移工，可得到函数y=/(x)的图像

3.将函数/(x)=sin(2x-：)的图象向左平移;个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标变为原

来的2倍，纵坐标不变，最后得到函数g(x)，则g")=()

A.g(x)=sin［x+；］B.g(x)=sin(4x+；］

C.g(x)=sinxD.g(x)=cosx

4.函数/(%)=ACOS(OX+0)(A>OM>O),。«-兀,0)的部分图象如图M・l・l所示，要得到函数

y=Asin°x的图象，只需将函数/(x)的图象

B.向左平移I个单位\/P\：/

A.向左平移W个单位

C.向右平移展个单位D.向右平移l个单位

6图M-1-1

8

5.函数/（x）=Asin3x+9）,（其中A>0,。>0,同其图象如图所示，为了得到

8（X）=-48$的的图象，可以将/（x）的图象（）

A.向右平移专个单位长度B.向右平移石■个单位长度

5万

C.向左平移看个单位长度D.向左平移石■个单位长度

6.已知函数"x）=2sin（5+9）（0>OQ<0<9的最小正周期为汗，且它的图象关于直线》=今对称,

则下列说法正确的个数为（）

①将/（x）的图象向右平移。个单位长度后，得到函数>=2sin5的图象；

②“X）的图象经过点（0，1）；③/（》）的图象的一个对称中心是（普，。｝

jrjr

④“X）在上是减函数；

A.0B.1C.2D.3

7.将函数产sin（2x+。）（0«9<万）的图像向左平移1个单位后，得到的函数恰好为偶函数，则9=

O

8.若把函数丫=$皿2》图像上各点向右平移［个单位，再把它们的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标也缩

6

短到原来的一半，则所得的曲线对应的函数解析式为.

已知函数/(x)=Asin(2x+*“A>0，M|<g

9.，将y=f（x）的图象上所有的点向左平行移动J个单位

O

长度，所得图象对应的函数为g（x）,若g（x）的图象过原点，且=则/慌/.

10.函数f（x）=Asin（s+s）（A>0,o>0,网的部分图象如图所示.

（1）求函数/&）的解析式；

）乃I

（2）先将函数,f（x）图象上所有点向右平移五个单位长度，再将横坐标缩短为原来的搭（纵坐标不变）,

71

得到函数g"）的图象，当不£O’,时，求函数g。）的单调递增区间.

9

11.(2020•广东揭东•高一期末)己知函数/0)=Acos(s一夕)，xeR(其中A>(),69>0,

7T

的图象与X轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为万，且函数图象与直线尸3相切.对于任意xeR,

jr

都有

6

(1)求“X)的解析式;

(2)先把函数y=/(x)的图象向左平移？个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的

2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)的递减区间.

12.(2021・广西河池•高一月考)己知函数/(x)=Asin(0x+s)[o>O,O<*<5J的部分图象如图所示.

(1)求“X)的解析式.

10

(2)将函数y=/(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的再将所得函数图象向右平

移2个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，求不等式g(x)>2的解集.

5.6函数y=Asin(3x+4)

11

所以y=cos2x的图象向右平移与个单位长度可得到y=sin12xjj的图象.答案：B

6

【例3】解析：f(司=5加(2》+9)向左平移上个单位长度得8(力=$吊2x+^J+夕=sin(2x+?汽+e

84

若g(x)为偶函数，则(+涔］+碗，令&=0,得9=(.答案B。

【例4】【详解】.将y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标缩短至原来的;得到，=f(x)的图象，故

〃x)=sin2x,将〃力=sin2x的图象向右平移?个单位长度得到

71

g(x)=sin|2x——=sin(2x-1J=-cos2x.故选：B

【针对训练】

1•【解析】由^^m4%-工=sin4尤一g得，只需将y=sin4x的图象向右平移各个单位即可

\3)\12J

故选B.

2.【解析】将函数产sin(2无一皆向左平琛个单位，得产sin2=sin(2x+^)

故选C.

3•【解析】解法』步骤：①把函数产sinx的图象向左平琛个单位长度，可以得到函数y=sin

71

X+—的图象;

②把函数产sinX+271的图象上各点的横坐标缩短到原来的;，纵坐标不变，可以得到函数产sin

6

2x+—的图象;

6；

③把函数y=sin2x+\7t的图象上各点的纵坐标缩短到原来的右横坐标不变，可以得到函数

6

7T

sin(2x+&)的图象;

④再把得到的函数y=1sinl2x+1-l的图象向上平移［个单位长度，就能得到函数y-|sinl2%+^

+1的图象.

解法二：步骤：①把函数)，=sin_r的图象上各点的横坐标缩短到原来的;，而纵坐标不变，得到函数y

=sin2x的图象;

12

②把函数.丫=$曲的图象向左平移各个单位长度，可以得到函数.尸si12x+Wj的图象；

③把函数尸sin（2x+^）的图象上各点的纵坐标缩短到原来的;，而横坐标不变，可以得到函数y=

；sin（2x+^）的图象；

④再把得到的函数y=pinl2x+-l的图象向上平移]个单位长度，就能得到函数尸点in[2x+1

+3的图象.

考点三确定函数解析式

【例5】解：因为工=3%,所以T=6万.又因为7==.所以。=L因为函数的最小值为一2,

2囱3

所以A=2.设函数的解析式/（x）=2sin，x+q,将点（0,1）代入解析式，得sin9=；,所以

9=2版'+看或夕=2版+普信ez）.又因为阚苔，所以8..所以函数的解析式为

〃x）=2sin3+升

【例6】解：方法1（最值点法）：

由函数图象，得4=3,7=第一（—2）="，所以。=牛=2,将点M宿31弋入y=3sin（2x+9）,

得3=3sin（2x5+0）,所以sin（^+0]=l.所以专+°=]+2%乃，因为冏＜会所以从而所求函

数解析式是y=sin[2x+?J.

方法2（待定系数法）：

由图象，知A=3,由图象过点M仔,3）%修，-3）,根据五点作图法的原理（MN可视为“五

7171

——m+(p=—,07=2

122

点法”中的第:点和第四点）,有〈解得“乃从而所求函数解析式是y=sin[2x+q

74(p=­

—UJ+(p~—I3

122

【例7】【答案】(I)/(x)=2sinf2x+|j(2)[-1,3]

137rJi3327r137r4

⑴解：由图象得金，五一y/="至，所以@=2,由2、石+8=5+2人所以

13

0=—半+2%乃(攵EZ),*:G<(p<7T,..・夕=。,/./(x)=2sinf2x+y

再将

(2)解：将函数f(x)的图象上每一点横坐标缩短为原来的得到y2sin(4x+yL

y=2sin(4x+]71J向右平移?个单位得至ljy=2sin[41x-7C+71=2sinl4x-^j,最后再向上平移1个单

3

位得至Ijy=2sin(4x-/J+1,艮|1(x)=2sin(4x-j+1

当xe0,g时，所以，所以sin(4x-g]4一1,1],g(x)w[-l,3]

L2J6|_66」ko；

【针对训练】

Q

4.【解析】解法一：由图象知4=3,7=半

=兀,三=1-2,.=y=3sin(2x+3)・

6>

♦.•点卜?o)在函数图象上，目是上升趋势的零点，.•.一/2+e=2/，得夕=：+2E(故Z).

；・y=3sin(2x+—I.

1研<7••夕=],

解法二：待定系数法

河和等,且由图象的上升及下降趋势,

由图象知A=3」.•图象过点o),

neo.

丁十夕=兀，69=2,

/.y=3sinl2x+y1.

可得，解得，71

5m.一

,丁+9=2兀,

解法三：图象变换法由4=3,7=兀，点(一看,。)在图象匕可知函数图象由y=3si必向左平移看

、

个单位长度而得，所以y=3sin21X+工71,即y=3sin|2x+§).

67

5•【解析】台*尹急于是"票即3岑排除A、D.不妨令该函数解析式为

y=Asin(tox+^),由题图知A=1,

于是？金+9=2阮+兀(2£Z),所以e=2E+磬(k£Z),所以力可以是磬，故选C.

考点四函数y=Asin(G7X+尹)的性质的应用

【例8】解：⑴令2》+夕=以+泉y,则片铮十"5令呜考+会方

即9，因为一万v°v0,所以可令人=—1,得夕=—红

44

14

⑵由⑴知〃x)=sin12x点

,--+2k/v<2x--<—+2k7V,kez,

242

得工+版:+攵肛Zwz,所以函数的单调递增区间为-+^,—+^,kGZ,令

888888

—+2k7v<2x-—<—+2k^,kez,得3+2乃4太4也+&肛z.所以函数的单调递减区间为

24288

51、94，］,

——+K7U,—+K7V,k£Z

88

【例9】解：⑴由周期7二%得）=生=生=2.又因为函数“力的图象上的一个最低点为

M（半，一2）,所以A=2,且有2sin[与+夕）=一2,即sin（普+夕[=一1,所以9+0=2左万一多Zwz.

故8=2人千，又因为济（0,。所以。嗑所以函数〃x）的解析式为y=2sin[2x+5|

⑵因为XE0,,所以2x+&py.又因为正弦函数尸sinx在0,^上单调递增,

|,1I0%,所以当2x+^=,,即％=0时,函数“力取得最小值1;当+即1=看

时，函数”力取得最大值G.

【例10]【答案】C

【详解】由题意可得=（-底ing+4cosg]cosg=-=+1a=3,解得〃=3,则

V6JV66；6442

f(x)=\/3sinxcosx+3cos2x=——sin2x+—cos2x+—,从而/（x）的最小正周期

222

T=—=TT.故A错误;

因为/（X+.）+]=Gsin（2x+M）+],所以/[x+g]不是偶函数:

故B错

当％=1时,

1因为不，兀=-TT^—TT-,所以“X）在K、）上.单调递增，故C正确;

将“X）图象上各点的横坐标压缩为原来的;，得到y=Ksin（4x+g）+|,则

g（x）=6sin4（x+\[+q+；=而抗（4%+4]+；,故D错误.

【例11】【答案】（1）/；（2）卜1,&]；（3）存在.

15

(1)/(x)=2cos2x-cos+yj-l=cos2x-cos^2x+^j=cos2x+sin2x=忘sin(2x+?),

所以函数/(X)的最小正周期T=寻=万；

(2)由(1)知/(x)=&sin(2x+f],由0<x<g,得0<2%<万，所以£<2*+£<学，

<4J2444

所以—曰<sin(2x+?)41,所以-l<&sin(2x+?)40,即函数〃x)在(0,反)上的值域为(-1,夜];

(3)易知g(x)=>/^sin(2x-?+?)=0sin2x,所以/z(x)=g(x)-Inx=&sin2x-lnx,(x>0),

因为力(l)="V5sin2—0=>/^sin2>0,^='\/2sin^'—In—=—In—<0,〃⑴♦/?(])<(),

所以Mx)在(吟)上存在零点.

课后作业

1.【答案】D【详解】由题意得：g(x)=sin(x-J),当X=TC时，g(2=sin^=:，故(私0)不是对称中

662

心，故A选项错误；7=年=2兀，B选项错误；当》=崇时，g(*=0,故你0)是g(x)的对称中心，

故C选项错误；当当时，》一卜[0,勺，此时y=sinx单调递增，故函数g(x)在区间邑约上单

636263

调递增，D选项正确

2兀2兀

2.【答案】C【详解】A：y=4cos(tox+9)+3的最小正周期为福，.；”)的最小正周期丁=7,A正

确；

B：)=2cos[3x(—)--^-]=o,所以(一看，0)是危)的中心对称，B正确；

TTTT

C：穴1)=0，所以,/(X)关于(W，0)中心对称，c错误；

D：将y=2cos3x图像上的所有点向右平移,万变为y=2cos3(x—与)=2cos(3x—?),D止:确.

3.【答案】A【详解】将函数〃x)=sin(2x-；)的图象向左平移;个单位长度后，得到的图象的解析式

为(+?)=sin(2x+j,再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)=sin(x+力，

4.【答案】C【详解】由函数〃X)=ACOS(0X+*)(A>O,0>O,F</<O)的部分图象，可得4=2.

由"0)=1,｛芝|=-2,可得0=2,<p=~：.

16

故可将函数尸〃x)的图象向右平移专个单位长度得到y=2sin2x的图象.

JT7JT

5.【答案】B【详解】由函数图象可知：A=l,函数过(§,0),(E，-1)两点，设,f(x)=Asin(5+0)的

最小正周期为T,因为。>0,所以有7=红，而。=9=7因此。=2,

(041234

即/(x)=sin(2x+e),因为=所以〃x)=sin(等+夕)=0=>与+Q="(左eZ),因为

H<y.

所以4=1,即9=三因此〃x)=sin(2x+g]=sin[2(x+g)],

而g(%)=—Acosa)x=-cos2x=sin(2%--)=sin[2(x--)],

jfu/(x)=sinf2x+^=sin[2(x+^|-^)],因此该函数向右平移葛个单-位长度得到函数g(x)的图象，

6.【答案】C【详解】由最小正周期为左，得0=2；山》=与为对称轴，得与+]+版■(keZ),

故山取1,9=9，所以f(x)=2sinbx+[].

26k6；

①/(x)的图象向右平移夕个单位长度后，得y=2sin(2xq),错误；

②/1(0)=2sing=l,正确；③=2simr=0,正确；④2x+ge三涔，错误；

o\127o\_5o_

7.【答案】【详解】由题意，y=sin[2(x+1)+例是一个偶函数，.•.弓+e=J+E，(AeZ),则

6632

e=》+E,(keZ),又3<彳，；.S=n

O26

8.【详解】由题意，函数>=sin2x图像上各点向右平移3个单位后，函数解析式为

O

7T71

y=sin2(x--)=sin(2x--),函数的横坐标在缩短到原来的一半，纵坐标也缩短到原来的一半后，函数

63

解析式为y=gsin(4x-5).

9.【答案】2

【详解】由题意可得g(x)=Asin2(x+^\+<p=Asin(2x+R+?),

17

因为函数g(x)的图象过原点，则夕+?=%乃(&ez),可得夕=k》q(ZeZ),

因为一则夕=-£，则g(x)=Asin2x,所以，g[§]=Asing=gA=6,可得A=2,所

224\oy32

以，/(x)=2sin(2x-?),因此，/^=2sin^=2.

10.【答案】⑴〃x)=sin(2x+：)(2)0年和冷

T3兀(兀、71

(1)由函数图象知4=1,彳=丁一一三=力，「.7=兀，/.3=