2023年中考数学三角形必背知识点（公式、定理、结论图表）

2023年中考数学三角形必背知识点（公式、定理、结论图表）

知识必备06三角形（公式、定理、结论图表）

一对应角相等

性质

［对应边相等

全等三角形一—ki]

［、知识梳理

考点一、三角形的边角关系

三角形任意两边之和大于第三边.

三角形任意两边的之差小于第三边.

三角形的内角和为180°.

典例1:（2022•毕节市）如果一个三角形的两边长分别为3,7,则第三边的长可以是（）

A.3B.4C.7D.10

1分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断.

【解答】解：设第三边为X，则4<x<10,

斫以符合条件的整数为7，

故选：C.

t点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，

中考常考题型.

典例2：（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.

已知：如图，△asc,求证：NT1+NANC=180。.

方法一方法二

证明：如图，过点.d作证明：如图，过点C作CO”.13.

【分析】方法一：由平行线的性质得：/B=NB.ID，NC=NU1£，再由平角的定义可得NA0N3AC+

NCW£=180。»从而可求解；

方法二：由平行线的性质得：NX=N.4CD，N3+N38=180。，从而可求解.

t解答】证明：方法一：；DE/lBC>

二—AlD，ZC=ZC.4£>

VZ5.4Z>Z5JOZC-i£=180°，

：15+1.5=3,

二此时不能构成三角形，这种情况不存在；

综上所述，腰的长是6，

故答案为：6.

t点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌提三角形任意两边

的和大于第三边.

典例4：（2022•温州）如图，3。是△A3C•的角平分线，DE//BC＞交.45于点E.

（1）求证：^EBD=Z.EDB.

（2）当£3=±7时，清判断CD与瓦?的大小关系，并说明理由.

【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；

（2）利用平行线的性质可得入LDE=NHEZ＞，贝I]AD=HE，从而有CD=BE＞由（1）得，乙EBD=ZEDB，

可知BE=DE，等里代换即可.

t露答】（1〉证明：•••3。是AlSC的角平分线，

:,乙CBD=4EBD，

■:DE"BC,

:.2CBD=LEDB，

：.Z.EBD=Z.EDB.

（2）解：CD=ED、理由如下：

,.•AB=AC＞

AZC=Z.15C，

■:DEitBC,

：.NADE=",NAED=wc,

』ADE=4ED，

•■■.4Z)=.1£>

•••CZ>=5£.

由（1）得，2EBD=4EDB，

:,BE=DE，

■­CD=ED.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练革握

平行与角平分线可推出等腰三角形是露题的关键.

典例5：（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△H3C中，D、E分别为边BC、XC上的点，.切与3E相交

于点尸，岩BD=CEj则A®的周长为_42+18救

7

t分析】根据S.•心证△43D丝ASCE,得出NdP8=120°，在C3上取一点尸使CF=CE=2,则3尸=

BC-CF=4>证A1P5sASFE,根据比例关系设3尸=x，则4P=2x，作延长线于H，利用勾

股定理列方程求解即可得出8尸和X尸的长.

t解答】露：：△ABC是等边三角形，

■•­.4B=BC>々BZ）=NC=60°，

在ZU5D和、（:石中，

'AB=BC

ZABD=ZC

,BD=CE

•••△.血丝A5CE（S4S）»

■,•Z.B.iD="BE，

•\Z-APE=Z.ARP^Z.BAD=445RNC3E=Z.13D=60°，

•••Z.1R8=12O°，

在CB上取一点产使CF=CE=2，则BF=BC-CF=4.

•••ZC=600，

•••ACE尸是等边三角形，

:・/BEE=120。，

即Nd依=/区阳

AABBSWFE，

.APBF_4_、

••—=———上9

BPEF2

设BF=x，则£P=2v，

作3HL4D延长线于H，

■:乙BPD=LAPE=60。，

AZ.PBH=30°，

:.PH=LBH=^-x，

22x

•­.iH=AP^PH=2x+^=-1-v.

在RtAiBH中，Alf+B件=.1，

即（乡）2+（近x）I4，

22

解得,窣或-乎（舍去），

77

.3迎,BP=也

77

△ABP的周长为AB+BBP=6-12^-±Z1=6+18*=42+184，

7777

故答案为：42+1；*.

t点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形

等知识，熟练茎握这些基础知识是解题的关键.

考点三、直角三角形

1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

2性质:

(1)直角三角形中两锐角互余.

(2)直角三角形中，30。锐角所对的直角边等于斜边的一半.

(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30。.

(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.

(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c筋足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形.

(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

3.

(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.

(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.

(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.

典例6:(2022•绍兴)如图，把一块三角板.13C的直角顶点3放在直线M上，ZC=30°.AC//EF>则

t分析】根据平行线的性质，可以得到NCB产的度数，再根据N£8C=90°，可以得到N1的度数.

t解答］解：,:ACREF，NC=30°，

AZC=ZC5F=30°，

VZ.13C=90°，

，Nl=180°-Z.45C-ZC5F=1SO°-90°~30°=60°，

故选：C.

【点评】本题考查直角三角形的性质'平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质

府合・

典例7:(2022•十堰)【阅读材料】如图①，四边形.138中，A3=.10,N*NQ=180°，点£，尸分别

在3C，8上，若NBAD=2NE4F，则时=3月+。尸.

［解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形.西8.已知8=C3=100"”

ZZ>=60°，Z,18C=120°，NBCD=150。，道路3,.£3上分别有景点M，N，且DAf=100””BN

=50(V3-1)m，若在A6N之间修一条直路，则路线ACN的长比路线的长少370w

RtA心田•中，•••//1=30°，

•■-A7f=i£V=75+25V3，AH=MNH=75V3*75.

由勾股定理得：JA-7NH2+IH2=V（75+25V3）2+（2573+25）2=50（F+D，

­■..UAAV-.l£\-=lOO+KXh/3+l50+5073-50（V3^1）=2001（Xh/S«370（m）.

答：路线W-N的长比路线ICH-N的长少37面.

解法二：如图，延长DC，H3交于点G，连接CN,CM，则NG=90°，

,:CD=DV»ND=60°，

•'•△8CA/是等边三角形，

AZZ）CA?=60°，

由解法一可知：CG=5OV3，GN=B8BN=50+50（V3-1）=5CV3，

•••△CG.V是等腰直角三角形，

•••ZGCA7-45°，

•••Z5CA'=45°-30°=15°，

•••ZJ/CA-150°-60。-15°=75°=—Z-BCD>

2

由［阅读材料］的结论得：山W=ZU什3N=10Q70（F-l）=5CV3+5O>

AAfi-.4N-MN=100+100V3^-150+50V3-50（V3+1）=200*100V3^370（m）.

答：路线的长比路线JCXfN的长少370M.

故答案为：370.

【点评】此题重点考查了含30°的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识与方法，

解题的关键是作出斫需要的辅助线，构造含30。的直角三角形，再利用线段的和与差进行计算即可.

典例8：（2022•杭州）如图，在RtAdCS中，ZJC3=90°>点〃为边$3的中点，点£在线段.LW上，

时于点尸，连接CW，CE.已知N.d=50°，NHCE=30°.

（1）求证：CE=CAf.

（2）若£3=4,求线段尸C的长.

【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC=」l，4=-UB，根据外角的性质可得N%EC=N.4+N.4Cff，

NEMC=N6NA笛3,根据等角对等边即可得证；

（2）根据CE=CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出尸C的长.

【解答】（1）证明：••-4C3=90°，点M为边AB的中点，

•,.A/C=A£4=J/B»

二乙1心=〃N；IO=N3，

VZ.4=50°，

AZjyC4=50°，NAfCE=NB=40°，

AZ£.\JC=ZA/C3+Z5=80°，

VZAC£=30°，

ZJ£0C=Z.4+Z.4CX=80°，

•••N-UBC=NEJ/C，

.••C5=CW

（2）解―=4，

■,-C£=C3/=-1.-J5=2»

\•昉JLHC，NHCE=30°，

.•.尸C=CE”os30°=V3.

【点评】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练茎振并灵活运

用直角三角形的性质是解题的关键.

考击四、全等三角形基本被念

1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

2.全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等；

1.条件充足时直接应用睚定理

要立诠暮：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情

况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条

件即可证明两个三角形全等.

2.条件不足，会熔加条件用判费理

要直诠舞：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三

角形全等的条件.解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论

成立的条件，从而得出答案.

3.条件比较建蔽时，可通过添加辅助线用判送理

要点窗：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或

角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等.

常见的几种辅助会加：

①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；

②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变

换中的“旋转”；

⑤遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的

“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；

④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移"或''翻转

折叠”；

⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之

与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、

分之类的题目.

典例10：(2022•黄石)如图，在A13C,和ALDE中，A8=."?，3=”，ZBAC=ZD.1E=90°>且点。

在线段3c上，连CE.

(1)求证：A{Bg-CE；

(2)若NE4C=60。，求NCED的度数.

【分析】(1)可利用S4S证明结论；

(2)由全等三角形的性质可得NXC£=N.㈤)，利用等腰直角三角形的性质可求得44CE=2ABD=Z

一回=45°，再根据三角形的内角和定理可求解N.4EC的度额，进而可求可求解

【解答】(1)证明：•.•N3HC=NmZ=90。，

•••NBHC-4cAD=Za-tE-ZC4D，即N5XD=ZC.-LE>

在△W8D和△■{(?£中，

AB=AC

■ZBAD=ZCAE>

AD=AE

.■.△.12DSA4C5(S4S)；

(2)解：,:AiBD^—CE，

'­Z.ACE=ZABD，

VAzLBC和△££>£都是等腰直角三角形，

AZ.ACE=Z.ABD=Z_4£D=45°，

•」NE4C=60°，

•,•N.®=180°-Z.ACE-Z-EAC=180°-45°-60°=75°，

：.ZCED=ZAEC-ZAED75°-45*=30°.

【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等膝直角三角形的性质，三角形的内角和定理，茎提

全等三角形的判定条件是解题的关键.

典例11:(2022•百色)校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地刎里，并记录数据，根据造型

画如图的四边形.13CD，其中.15=CD=2米，3=3C=3米，N8=30°.

(1)求证：A-LBCSACZJ.4；

(2)求草坪造型的面积.

角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

要点诠羟：

用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE_LAD于点E，PF_LBD于点F,PE=PF，则PD平分NADB

典例12：已知，如图，CE_LAB,BD_LM,NB=NC,BF=CF.求证：AF为NB肥的平分线.

【答案与解析】

证明：；CE_LAB,BD_LAC（已知）

ZCDF=NBEF=90°

•••NDFC=NBFE（对顶角相等）

BF=CF（已知）

•••ADFCSAEFB（AAS）

•••DF=EF（全等三角形对应边相等）

VFE±AB.FD1AC（已知）

二点F在NBA：的平分线上（到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）

即AF为NB比的平分线

1酒升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗局了说明没有认识到“