2022-2023学年北京北师大某中学九年级上学期数学期末考试模拟（三）含详解

北师大实验中学2022-2023九上数学期末模拟（三）

一、选择题（共16分，每题2分）.

1.古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容,一窗一景致.下列窗户图案中，轴对称

而非中心对称图形的是（）

2.二次函数y=3（x—2）?+1的图像的顶点坐标是（）

A.（-2,1）B,（2,1）C.（-3,1）D.（3,1）

3.关于x的一元二次方程f+如+4=0有一个根为1,则方程另一根为）

A.-1B.0C.4D.-5

4.如图，点A、B、C在上，△。钻为等边三角形，则NACB的度数是（）

C.400D.30°

5.将一元二次方程炉一8x+10=0通过配方转化为（x+a）2=b形式，下列结果中正确的是（）

2222

A.（X-4）=6B.（X-8）=6C.（X-4）=-6D.（X-8）=54

6.生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响.据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约

为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨.如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能

力的年平均增长率为x,那么根据题意可以列方程为（）

A.2.5（l+x）=3.2B,2.5（l+2x）=3.2

C.2.5（1+%）2=3.2D.2.5（1-%）2=3.2

7.某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O.A,3是舞台边缘上两个固定位置，由线段A8及优弧

AB围成的区域是表演区.若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示.若在B处再

安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示

若将灯光装置改放在如图3所示的点M,N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（）

①在M处放置2台该型号的灯光装置

②在M,N处各放置1台该型号的灯光装置

③在P处放置2台该型号的灯光装置

A.①B.①②C.②③D.©©③

8.已知二次函数y=ax?+法（。/0）,经过点P（〃,4）.当y<-2时，x的取值范围为-4-1.则如下

四个值中有可能为〃的是（）

A-1B.-2C.1D.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.在平面直角坐标系xOy中，点（2,-5）关于原点对称点坐标为

10.写出一个开口向下，且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式：.

11.做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：

抛掷次数m5001000150020002500300040005000

“正面向上'’的次数，726551279310341306155820832598

“正面向上''的频率一0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.5200.521

m

可以估计“正面向上”概率是（结果精确到0.001）

12.抛物线+c经过点（-1,0）,且对称轴是直线x=l,该抛物线的解析式是.该抛物线

经过平移得到抛物线y=-（犬+2）2—3,请描述平移过程.

13.在Rt△ACB中，斜边A3=13cm,直角边AC=5cm,以直线A8为轴旋转1周形成纺锤形，则这个纺锤形

的表面积为.

14.如图四边形ABC。内接于OO,OC=4,AC=40,点O到AC距离为,NADC的度数为

C

A

B

15.二次函数丁=公2+汝+4。/0）的部分图象如图所示，图象过点（—1,0）,对称轴为直线x=2,下列结论：

（l）4a+b=0；（2）9a+c>36（3）8a+7h+2c>0；（4）若点A（—3,y）、点小一；,％）、点呜,%）在该

函数图象上，则弘<%<%；（5）若方程。（％+1）（%—5）=-3的两根为4和*2，且西<%2，则不<一1<5<々-

其中正确的结论是.

16.如图，在直角坐标系中，。4的半径为3,圆心坐标为（4,0）,y轴上有点8（0,3）,点C是OA上的动点，点

「是8c的中点，则。尸的范围是.

三、解答题

17.解方程：

（1）x2-2x-2=0.

（2）5（X+1）=（X+1）2

18.尺规作图：过圆外一点作圆的切线按照下面描述，完成尺规作图：

（1）连接OP,交圆。于点A,以。为圆心，0尸长为半径画圆；

（2）过点A作OP的垂线，交以O为圆心OP为半径的圆。于点8,连接。8,交以。为圆心Q4为半径的圆。于

点心

（3）连接PM，即为所求.

可证，则/PMO=N______.则PM为圆0的切线，依据是.

0

19.已知二次函数y=f-4%+3.

(1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标：

(2)画出此函数的图象(不需要列表)；

(3)若点A(O，M)和3(机%)都在此函数的图象上，且,<%，结合函数图象，直接写出机的取值范围.

20.将矩形ABC。绕点A顺时针旋转a(0°<a<360°),得到矩形AEFG.当点E在8。上时，求证：

FD=AE.

21.已知关于x的一元二次方程f-(Z+4)x+3+左=0.

(1)求证：此方程总有两个实数根；

(2)若此方程恰有一个根小于0,求火的取值范围.

22.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“阳”、“过”、“阳”、“康”的四个小球，除汉字不同之外，小球

没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.

(1)从中任取一个球，球上的汉字刚好是“康”的概率为；

(2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用列表或画树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字一

个是“阳”一个是“康”的概率片；

(3)乙从中一次取两个球，记乙取出两个球上的汉字一个是“阳”一个是“过”的概率为鸟，则RP2

(填“>”、或“=").

23.如图，RfZVlBC中，NACB=90°,点。在8C边上，以C£>为直径的。。与直线AB相切于点E,且E是AB

中点，连接OA

A

B

(1)求证：OA=OB；

(2)连接AO,若AO=J7,求。。的半径.

24.如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度O"为1.5m.灌溉车喷出水的上、下边缘可以分别看作

是抛物线的一部分，而绿化带可以看作为矩形ABCQ,其水平宽度A6=3m,竖直高度BC=0.5m.记喷出的

水与喷水口的水平距离为Q，上边缘距地面的高度为Xm,下边缘距地面的高度为％m.测量得到如下数据:

X00.511.523456

1.51.721.881.9721.881.50.880

力1.51.220.880.470

NAaM

(1)在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点(x,y),并画出上边缘函数的图像;

(2)结合表中数据或所画图象，直接写出喷出水的最大射程为m,并求上边缘抛物线的函数解析式；

(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，结合函数图像，估计灌溉车到绿化带的距离Q4的取值范

围为.

25.如图，A2为。。的直径，弦CDL4?于E，连接AC,过A作AE_LAC,交。。于点F，连接OF,过8

作8G_LD尸，交。尸的延长线于点G.

(1)求证：BG是。。的切线；

(2)若ZDE4=30。，DF=4,求FG的长.

c

B

DG

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=of2+法+。一4(。N0)的对称轴是直线x=l.

(1)求抛物线)=依2+法+〃一4(4/0)的顶点坐标;

(2)当—2WxW3时，y的最大值是5,求。的值;

(3)在(2)的条件下，当l时，y的最大值是孙最小值是〃，且“一〃=3,求/的值.

27.如图1,在AABC中，ZACB=90°,C4=C6,点£>,E分别在边C4,CB上,CD=CE,连接OE,

AE，BD.点尸在线段3。上，连接Cb交AE于点

(1)①比较/C4E与/C8O的大小，并证明;

②若CF_LAE,求证：AE=2CF；

(2)将图1中的△(?£>£绕点。逆时针旋转a(0°<a<90。)，如图2.若尸是8。的中点，判断AE=2C产是否

仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.

28.在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1,点A在上，点P在。。内，给出如下定义：连接AP并延长

交0。于点8,若=则称点P是点A关于。。的左倍特征点.

(1)点A的坐标为(1,0).

①若点P的坐标为则点P是点A关于的一倍特征点;

②在G（0,；）,Cd1,0

这三个点中，点.是点A关于。。的3倍特征点;

③直线/经过点A,与V轴交于点。，ND4O=60°.点E在直线/上，且点E是点A关于。。的g倍特征点，求

点E的坐标；

(2)若当出取某个值时，对于函数y=-x+K°<x<D的图像上任意一点“，在0°上都存在点N,使得点M

是点N关于OO的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值.

北师大实验中学2022-2023九上数学期末模拟（三）

一、选择题（共16分，每题2分）.

1.古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致.下列窗户图案中，轴对称

而非中心对称图形的是（）

AB.°感颠D.

【答案】B

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；

C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了中心对称及轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中

心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

2.二次函数y=3（x—21+1的图像的顶点坐标是（）

A.（-2,1）B.（2,1）C.（-3,1）D.（3,1）

【答案】B

【分析】根据二次函数表达式为y=3（x—2^+1,是顶点式，直接根据二次函数图像与性质得到二次函数

y=3（x—2）2+1的图像的顶点坐标是（2,1）,从而得到答案.

【详解】解：・••二次函数解析式的顶点式为丁=3（%一27+1,

，二次函数y=3（x—2了+1图像的顶点坐标是（2,1）,

故选：B.

【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟记由二次函数顶点式得到函数图像顶点坐标是解决问题的关键.

3.关于x的一元二次方程/+尔+4=0有一个根为1,则方程另一根为（）

A.-1B.0C.4D.-5

【答案】C

【分析】设一元二次方程+4=0的另一个根为々，由根与系数关系得到4尤2=4,即可求得答案.

【详解】解：设一元二次方程/+3+4=0的另一个根为巧,

:有一个根为1,

4

由根与系数关系得到4々=一=4,

.•./=4,即方程的另一个根为4,

故选：C

【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的根与关系是解题的关键.

4.如图，点A、B、C在。。上，AQ43为等边三角形，则NAC3的度数是()

A.60°B,50°C.40°D.30°

【答案】D

【分析】由Aaw为等边三角形，得：ZAOB=60°,再根据圆周角定理，即可求解.

【详解】为等边三角形，

AZAOB=60°,

AZACB=-ZAOB=-x60°=30°.

22

故选D.

【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键.

5.将一元二次方程了2一8%+10=0通过配方转化为+的形式，下列结果中正确的是()

222

A.(X-4)=6B.(X-8)2=6C.(X-4)=-6D.(X-8)=54

【答案】A

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可.

【详解】解：♦.•/一8彳+10=0，

.,•X2-8X=-10.

Ax2-8^+16=-10+16.即(x—4尸=6，

故选A.

【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分

解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

6.生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响.据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约

为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨.如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能

力的年平均增长率为x,那么根据题意可以列方程为()

A.2.5(l+x)=3.2B.2.5(1+2x)=3.2

C.2.5(1+%)2=3.2D.2.5(1-%)2=3.2

【答案】C

【分析】设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x,根据等量关系，列出方程即可.

【详解】解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为X,

由题意得：2.5(1+=3.2,

故选C.

【点睛】本题主要考查一元二次方程实际应用，掌握增长率模型a(l±x)2=。，是解题的关键.

7.某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O.A,8是舞台边缘上两个固定位置，由线段4B及优弧

4B围成的区域是表演区.若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示.若在8处再

安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示

若将灯光装置改放在如图3所示的点M,N或尸处，能使表演区完全照亮的方案可能是()

①在M处放置2台该型号的灯光装置

②在M,N处各放置1台该型号的灯光装置

③在P处放置2台该型号的灯光装置

A.①B.①②C.②③D.@@③

【答案】B

【分析】根据圆周角和三角形内角和的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案.

【详解】在M处放置2台该型号的灯光装置，如下图

：在A、B两处安装各一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，

ZCAB+ZCBA=优弧所对圆周角

如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为且r=

，ZAMB为优弧AB所对圆周角

ZAMB=ZCAB+NCBA,即①方案成立；

在M,N处各放置1台该型号的灯光装置，分别连接A"、BM、AN、BN、CM、CN,如下图,

MN

VZANC=ZABC,/BMC=NBAC,

②方案成立；

在P处放置2台该型号的灯光装置，如下图，EF和OO相切于点P

如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为总NEPF=180°

根据题意，ZC4B+ZCBA<180°,即两台灯光照亮角度总和<180°

，③方案不成立；

故选：B.

【点睛】本题考查了圆、三角形内角和知识；解题的关键是熟练掌握圆周角的性质，从而完成求解.

8.己知二次函数y=+法(QNO),经过点P(〃,4).当y<一2时，x的取值范围为一左一l〈x4左一1.则如下

四个值中有可能为”的是()

A.-1B.-2C.1D.y

【答案】D

【分析】由y4-2时，x的取值范围为一左一14%〈左一1,可得％=上一1和元=一左一1是方程办2+版+2=()的

两个根，则有。=2。，再由y=a(x+l)2—。，可得一。4一2,即将a22,将点P(〃,4)代入函数解析式可得

4

a=-——，利用。的取值范围确定”的取值范围即可求解.

n+2/2

【详解】解：当><—2时，ax2+Z?x<-2，

•*ax~+bx+240,

・・•由y4一2时，x的取值范围为一左一—1,

Ax=k-l和x=-l—左是方程依2+力％+2=0的两个根，

b

k—\—\—k=—2=—,

a

b=2a,

y=ax1+bx=ax2+2ax=a(x+l)--a,

，x=-1是y=ax?+bx(aw0)的对称轴，

又・・・y〈一2时，x的取值范围为一左一—L

—a4—2,

：.a>2,

•.•函数经过点尸(〃,4),

an2+2cm=4,

4

n2+2n

0<H2+2/i<2»

，川+2〃—2<0，

•*--1-V3<n<-2或。<〃<-1+6，

•••"的可能取值为

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象

及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.在平面直角坐标系xOy中，点（2,-5）关于原点的对称点坐标为.

【答案】（-2,5）

【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数即可求解.

【详解】解：点（2,-5）关于原点的对称点坐标为（一2,5）,

故答案为：（一2,5）

【点睛】此题考查了关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数是解题的关键.

10.写出一个开口向下，且对称轴在N轴左侧的抛物线的表达式：.

【答案】）=-x2-2x+l

【分析】根据二次函数的性质写出一个符合的即可.

【详解】解：抛物线的解析式为产-N-2X+1,

故答案为：y=-x2-2x+\.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案

不唯一.

11.做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：

抛掷次数m5001000150020002500300040005000

“正面向上''的次数”26551279310341306155820832598

n

“正面向上”的频率一0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.5200.521

m

可以估计“正面向上''的概率是（结果精确到0.001）

【答案】0.520

【分析】根据题意可得随着试验次数的增加，“正面向上''的频率总在（）.52（）附近摆动，显示出一定的稳定性，即可

求解.

【详解】解：随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.52（）附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正

面向上”的概率大约是0.520.

故答案为：0.520

【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的

幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件

的概率.

12.抛物线丁=-/+桁+。经过点(-1,0),且对称轴是直线x=l,该抛物线的解析式是.该抛物线

经过平移得到抛物线y=-(X+2)2-3,请描述平移过程.

【答案】①.y=-/+2x+3②.将抛物线y=-/+2x+3向左平移3个单位长度、向下平移5个单位长度

即可得到抛物线y=—(X+2)2—3

【分析】①根据抛物线、=一/+必+。对称轴是直线x=l,得到5=1,解得人=2,再由抛物线y=—f+2x+c

经过点(-1,0)，得到0=-1-2+c,解得c=3,从而得到该抛物线的解析式为y=-/+2x+3；②将y=-/+2》+3

配方化为顶点式y=—(x—l『+2,对比平移后的抛物线y=—(x+2『—3可知x-l+3=x+2,2-5=-3,从

而根据函数图像平移法则：左加右减、上加下减得到平移过程：将抛物线y=-f+2x+3向左平移3个单位长度、

向下平移5个单位长度即可得到抛物线y=—(X+2)2-3.

【详解】解：①•••抛物线了=一/+辰+。对称轴是直线％=1,

b

••—=1,解得b=2,

2

••・抛物线y=—f+2x+c经过点(一1,0),

0二—1—2+。，解得。=3,

•••该抛物线的解析式为y=-x2+2x4-3,

故答案为：y——x2+2x4-3；

②将y=_/+2x+3配方化为顶点式y=—(X—1丫+2,

对比平移后的抛物线y=—(x+2)2—3,可知x—l+3=x+2,2-5=-3,

••・将抛物线y=-d+2x+3向左平移3个单位长度、向下平移5个单位长度即可得到抛物线y=—(x+2)2—3,

故答案为：将抛物线卜=-^+2丫+3向左平移3个单位长度、向下平移5个单位长度即可得到抛物线

y=-(％+2)—-3.

【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像的平移，熟练掌握二

次函数图像与性质是解决问题的关键.

13.在RtaACB中，斜边A3=13cm,直角边AC=5cm,以直线A8为轴旋转1周形成纺锤形，则这个纺锤形

的表面积为.

A

10W

【答案】cm2

13

【分析】根据勾股定理求出8c的长，利用等积法求出斜边A8上的高，即圆锥底面圆的半径，进而根据纺锤形的

表面积是两个圆锥的侧面积之和求出答案即可.

【详解】解：：中，斜边A6=13cm,直角边AC=5cm,

BC=JAB?-AC?=V132-52=12（cm），

Rtz^ACB斜边A8上的高为MF=^(cm),

以直线为轴旋转1周形成纺锤形是由两个同底的圆锥组成的几何体，底面圆周长为2万x^=*?r（cm）,

.,._-,1120/_,_\1020兀/,、

二纺锤形的表4rf面积为=耳x-jy71x(5+12)=—百一(cnr),

4•，依1020TI,

故答案为：------cm-

3

【点睛】此题考查了圆锥侧面积，勾股定理等知识，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键.

14.如图四边形ABC。内接于O。，OC=4,AC=4后，点。到AC距离为,NAZX7的度数为

【答案】①.2夜②.135°

【分析】（1）连接Q4,作O"J_AC于从根据勾股定理的逆定理，得到/AOC=90°,根据等腰直角三角形

的性质解答；

（2）根据圆周角定理求出N5,根据圆内接四边形的性质计算，得到答案.

【详解】解：（1）连接Q4,作OH_LAC于”，

c

VOA2=OC2=42=16.AC:2=(4阴=32,

；•O^+OC2=AC2,

•••MC为等腰直角三角形，^AOC=90°,

：.0H=；AC=2O,即点。到AC的距离为2近；

(2)-ZAOC=90°,

ZB=-ZAOC=45°,

2

•.•四边形ABC。内接于O。，

ZADC=180°-ZS=135°.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圆内接四边形对角互补是解

本题的关键.

15.二次函数丁=以2+区的部分图象如图所示，图象过点(一1,0),对称轴为直线x=2,下列结论：

(l)4a+b=0；(2)9a+c>3b；(3)8a+7b+2c>0；(4)若点4(—3,y)、点、点吗,%)在该

函数图象上，则(5)若方程a(x+l)(x—5)=—3的两根为玉和々，且西<々，则当<一1<5<4

其中正确的结论是.

【答案】(1)(3)(5)

【分析】(1)正确.根据对称轴公式计算即可.

(2)错误，利用x=-3时，y<0,即可判断.

(3)正确.由图象可知抛物线经过(-1,0)和(5,0),列出方程组求出小〃即可判断.

(4)错误.利用函数图象即可判断.

(5)正确.利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题.

b

【详解】(1)正确・・・・--二2,

2a

4a+b=0.故正确.

(2)错误.・・・元=-3时，yVO,

9a~3b+c<Of

：.9a+c<3b,故(2)错误.

(3)正确.由图象可知抛物线经过(-1,0)和(5,0),

.ja-O+c=O

25。+5b+c=0

b=-4a

解得

c=-5Q

:.8a+7b+2c=8。一284T0a=-30a,

Va<0,

・・・8〃+7h+2c>0,故(3)正确.

7

(4)错误，；点A(-3,%)、点8,”)、点C(—,a),

.--2--,2-)=一,

2222

35

—

22

.•.点C离对称轴的距离近，

Va<0,-3<-^-<2,

•*.yi<y2

/.yi<y2<y3,故(4)错误.

(5)正确.Va<0,

(x+1)(尸5)=-3/a>0,

即(x+1)(x-5)>0,

故x<T或x>5,故(5)正确.

.•.正确的有三个，

故答案为：(1)(3)(5)

【点睛】本题考查二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问题的关键，学会利用图象信息解决问

题，属于中考常考题型.

16.如图，在直角坐标系中，的半径为3,圆心坐标为(4,0),y轴上有点8(0,3),点C是OA上的动点，点

产是8C的中点，则0P的范围是.

【答案】1WOPW4

【分析】如图，在y轴上取一点8'（0,—3）,连接B'A,B'C，由勾股定理求出B'A=5,由三角形中位线定理求

B'C=2OP,当C在线段B'A上时，B'C的长度最小值5—3=2,当C在线段B'A延长线上时，B'C的长度最

大值5+3=8,即可求解.

【详解】如图，在y轴上取一点8'（0,—3）,连接8'A，B'C，

•.•£（0,-3）,A（4,0）,

：.OB=OB=3,04=4,

B'A=yj0B'2+0Ar=V32+42=5，

•.•点P是6c的中点，

BP=PC，

•：OB=OB，BP=PC,

，OP是△BB'C的中位线，

，?C=2OP,

当C在线段B'A上时，B'C的长度最小值为：5-3=2,

当C在线段B'A延长线上时，B'C的长度最大值为：5+3=8,

：.1<OP<4,

故答案为：1WOPW4.

【点睛】本题考查的是圆外一点到圆上点距离的最值，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线

是解答本题的关键.

三、解答题

17.解方程：

⑴X2-2X-2=0.

（2）5（x+l）=（x+l『

【答案】(1)A,=1+731z=l—G；

(2)玉=-1,X2-4

【分析】(1)利用公式法解方程即可；

(2)利用因式分解法解方程即可.

【小问1详解】

解：X2-2X-2=0

由题意得，a—\,h--2,c——2,

则A=人2—4ac=(—2/-4xlx(-2)=12,

._—b+J/??-4ac_2±yf\2_1+

•,x-2a-~2~—一'

即玉=1+6，0=1-6

【小问2详解】

5(x+l)=(x+l)-

可变为，(x+l)(x-4)=0

则x+l=O或x-4=0

解得玉=-1,x2=4

【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.

18.尺规作图：过圆外一点作圆的切线按照下面描述，完成尺规作图：

(1)连接0P,交圆。于点A,以0圆心，0P长为半径画圆；

(2)过点A作0P的垂线，交以。为圆心。尸为半径的圆。于点8,连接。8,交以。为圆心。4为半径的圆。于

点M

(3)连接即为所求.

可证△PA/ga_____,则NPMO=N______.则PM为圆。的切线，依据是.

【答案】BAO,BAO,过半径的外端且垂直于该半径的直线为圆的切线

【分析】按照作图要求作出图形即可；利用SAS证明△PMgARAO,推出ZPMO=N84O=90°,即可证明

为圆。的切线.

【详解】解：如图，为圆。的切线，

VOM^OA,ZPOM=ZBOA,OP=OB,

△PMgaBAO（SAS）,

ZPMO=ZBAO=90°,

又...。”是。。的半径，

PM就是。。的切线（过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线）.

故答案为：BAO,BAO,过半径的外端且垂直于该半径的直线为圆的切线.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性

质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解

成基本作图，逐步操作.也考查了全等三角形的判定和性质和切线的判定.

19.已知二次函数y=f-4%+3.

（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标：

（2）画出此函数的图象（不需要列表）；

（3）若点A（O,yJ和8（〃?,%）都在此函数的图象上，且M<%，结合函数图象，直接写出，〃的取值范围.

【答案】（D对称轴为直线x=2,顶点坐标为（2,-1）；

（2）见解析（3）加<0或m>4

【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可；

（2）根据画图象的步骤作图即可：

（3）由函数图像过点（0,3）和（4,3）,根据函数图像求解即可.

【小问1详解】

解：•.•抛物线解析式为y=f—4x+3=（x—2）2—l,

二抛物线对称轴为直线x=2,顶点坐标为（2,-1）；

【小问2详解】

解：函数图像如下图所示：

【小问3详解】

A(O,3),

V抛物线的对称轴为直线x=2,

...函数图像过点（0,3）和（4,3）,

【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，图像法求自变量的取值范围，熟练掌握数形结

合思想的应用是解题的关键.

20.将矩形ABCO绕点A顺时针旋转a（0°<a<360°）,得到矩形AEFG.当点E在8。上时，求证:

FD=AE.

【答案】见解析

【分析】由四边形A8Q9是矩形，得到NA6C=/ZM6=90°,BC=AD,由旋转可得AE=AB,

ZAEF=ZABC=ZDAB=90°,EF=BC=AD,则NAEB=NABE，由等角的余角相等可得

/FDA=/DFF,又由DE=宓可证AAEZ注△RPE(SAS),即可得到结论.

【详解】证明：•.•四边形ABCD是矩形，

/•ZABC=Z£)AB=90°.BC=AD,

由旋转可得，AE=AB,ZAEF=ZABC^ZDAB^90°,EF=BC=AD,

；•ZAEB=NABE,

ZAEB+ZDEF=180°-ZAEF=90°,ZABE+ZEDA=9Q°,

；•ZEDA=ZDEF，

DE=ED，

：.AA££)^AFDE(SAS),

FD=AE.

【点睛】此题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，证明AA£Z注△£0£是解答此题的关

键.

21.已知关于x的一元二次方程f-(%+4)x+3+攵=0.

(1)求证：此方程总有两个实数根；

(2)若此方程恰有一个根小于0,求女的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)k<-3

【分析】(1)根据一元二次方程判别式与方程根的情况，只要判定A20即可证得；

(2)利用十字相乘法解一元二次方程*2-(攵+4)x+3+左=0,得到x=l或％=左+3,根据此方程恰有一个根小

于0,列不等式求解即可得到人的取值范围.

【小问1详解】

证明：••・关于X的一元二次方程f一化+4)x+3+左=0,

a=1,/?=—(%+4),c=A+3,

△=[-(%+4)丁-4x1x(k+3)

=&2+8&+16-4J2

-k2+4k+4

=(攵+2羟0,

,此方程总有两个实数根；

【小问2详解】

解：一(攵+4)T+3+左=0,

.1.(x-l)[x-(A：+3)]=0,

解得x=l或％=左+3,

・••此方程恰有一个根小于0,

左+3<0,解得上<-3.

【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式的关系、十字相乘法解一元二次方

程、方程根的情况求参数范围等，熟练掌握一元二次方程的解法及判别式与方程根的情况是解决问题的关键.

22.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“阳”、“过”、“阳”、“康”的四个小球，除汉字不同之外，小球

没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.

(1)从中任取一个球，球上的汉字刚好是“康”的概率为；

(2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用列表或画树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字一

个是“阳”一个是“康”的概率片；

(3)乙从中一次取两个球，记乙取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“过”的概率为鸟，则4P2

(填“>”、或"=").

【答案】(1)一

4

(2)-

3

(3)=

【分析】(1)根据一步概率问题求解方法，直接运用公式求解即可得到答案；

(2)根据列表法，由于是不放回取球，列表表示所有等可能结果，共计12种，其中满足甲取出的两个球上的汉字

一个是“阳”一个是“康”的有4种结果，利用概率公式求解即可得到答案；

(3)由(2)中列表知，表中所有等可能结果，共计12种，其中满足乙从中一次取两个球，记乙取出的两个球上的

汉字一个是“阳”一个是“过”的有4种结果，利用概率公式求解，比较则［、6大小即可得到答案.

【小问1详解】

解：由题意可知，从中任取一个球，球上的汉字刚好是“康”的概率为1，

故答案为：一；

4

【小问2详解】

解：列表如下：

阳1过阳2康

阳1—阳1过阳邛日2阳1康

过过阳1一过阳2过康

阳2阳2阳1阳2过一阳2康

康康阳1康过康阳2—

由表知共有12种等可能的结果，其中甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的有4种结果,

1123

【小问3详解】

解：由(2)知，列表如下：

阳1过阳2康

阳1一阳1过阳1阳2阳1康

过过阳1一过阳2过康

阳2阳2阳1阳2过—阳2康

康康阳1康过康阳2—

由表知共有12种等可能的结果，其中乙从中一次取两个球，记乙取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是

“过”的有4种结果，

Pt=P2,

故答案为：=.

【点睛】本题考查一步概率问题的求解以及两步概率问题的求解，掌握概率公式、两种列举法（列表或画树状图

的方法）解两步概率问题是解题的关键.

23.如图，R/ZVIBC中，NACB=90°,点。在8c边上，以C。为直径的。。与直线A8相切于点E,且E是A8

中点，连接0A

【答案】（1）见解析；（2）I

【分析】（1）根据切线的性质可得OELAB,再依据题中已知条件E是A8中点，根据等腰三角形的判定即可证明

线段相等；

（2）根据等腰三角形的性质及切线长定理可得NQ4E=NQ4C,再由三个角之间的等量关系可得：

ZOAC=30°,设。。的半径为r,则CD=2r,在用△AOC和H/AACO中，两次应用勾股定理，求解方程即

可得出圆的半径.

【详解】解：（1）证明：在O。中，连接0E,

直线A3与。。相切于点E,

，OE1AB.

•/E是A8中点,

OA-OB；

⑵解：'：OA=OB，

：.NOAE=NB.

'：ZACB=90°,

A

：.AE,AC是。。的切线，

NQ4E=NQ4C，（切线长定理）

...ZOAE^ZOAC^ZB,

,/ZOAE+ZOAC+ZB=90°,

NOAC=30°，

设。。的半径为r,则CD=2r,

在心AAOC中，AO=2OC=2r,

AC=ylAO2-OC2=V3r-

在用AACD中，

AC2+CD2=AD2，

AD",

：.（"j+（2/"）2=7,

解得卜=1，

。。的半径为1.

【点睛】题目主要考查切线的性质、等腰三角形的判定和性质、切线长定理、勾股定理等，理解题意，作出辅助

线，综合运用各个性质和定理是解题关键.

24.如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m.灌溉车喷出水的上、下边缘可以分别看作

是抛物线的一部分，而绿化带可以看作为矩形ABCD，其水平宽度A8=3m,竖直高度BC=0.5m.记喷出的

水与喷水口的水平距离为R。，上边缘距地面的高度为凹m,下边缘距地面的高度为%m.测量得到如下数据:

X00.511.523456

X1.51.721.881.9721.881.50.880

>21.51.220.880.470

（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x,y）,并画出上边缘函数的图像;

（2）结合表中数据或所画图象，直接写出喷出水的最大射程为m,并求上边缘抛物线的函数解析式；

（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，结合函数图像，估计灌溉车到绿化带的距离Q4的取值范

围为.

19

【答案】（1）见解析（2）6；y=--（X-2）2+2

8

（3）2<OA<2>/3-l

【分析】（1）描点，连线即可；

（2）直接由函数图像以及表格可得最大值，根据待定系数法求上边缘抛物线解析式即可；

（3）根据3C=0.5m,求出点C的坐标，利用增减性可得最大值和最小值.

【小问1详解】

解：如图即为所作；

【小问2详解】

解：根据题意可得最大射程=6,

由表格可知，当x=l和3时，函数值均为1.88,

...上边缘抛物线的顶点坐标为（2,2）,

设上边缘抛物线的函数解析式为X=“（X-2尸+2,

将点（6,0）代入x=a（x-2>+2中，

得：（）=16。+2,

1

8-

...上边缘抛物线的函数解析式为y=-（x-2）2+2,

8

故答案为：6；

【小问3详解】

,:3c=0.5m,

・••点C的纵坐标为0.5,

解得：X—2±2百，

；.X=2+25

当x>2时，，随x增大而减小，

当0WxW2时，y随x增大