2021年全国各地中考数学试卷分类汇编：直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理

一、挑选题

1.（2021贵州安顺，6,3分）如图所示，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米,

两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）

A.8米B.10米C.12米D.14米

【答案解析】：B.

【试题解答】如图所示，设大树高为AB=10m,小树高为CD=4m,过C点作CE_LAB

于E,则EBDC是矩形，连接AC,

EB=4m,EC=8m,AE=AB—EB=10—4=6m,

【方法指导】本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关

键.根据“两点之间线段最短“可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最

短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出.

2.[2021山东荷泽，7,3分]如图所示，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两

个小正方形的面积分别为Si、S2,则S1+S2的值为（）

A.16B.17C.18D.19

【答案解析】B.

【试题解答】根据等腰直角三角形、勾股定理先求出面积分别为Si的边唱是大正方形对

角线的错误!未找到引用源。，S2正方形的边长组成直角三角形斜边长是大正方形对角

线的一半.

满分解答：边长为6的大正方形中，对角线长为错误!未找到引用源。.

，面积为Si小正方边长为错误!未找到引用源。，面积SI=(2V2)2=8；小正方S2=错误!

，

未找到引用源。，,.SI+S2=8+9=17.故选B.

【方法指导】本题主要考查正方形性质.熟悉正方形有关性质是解题的关键.

3.(2021四川泸州，12,2分)如图所示，在等腰直角A48C中，ZACB=9Q°,O

是斜边A8的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且NOOE=90°,DE交

0c于点P.则下列结论：

(1)图形中全等的三角形只有两对；

(2)AABC的面积等于四边形C0OE面积的2倍；

(3)CD+CE-\f2OA；

(4)AE)2+5E2=2op.oc.其中正确的结论有()

第12题图

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案解析】C

【试题解答】结论（1）错误，结论（2）（3）（4）正确.

【方法指导】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和

勾股定理等重要几何知识点.难点在于结论（4）的判断，其中对于“OPOC”线段乘

积的形式，可以寻求相似三角形解决问题.

4.（2021年佛山市，7,3分）如图所示，若NA=60°,AC=20m,则BC大约是（结果

精确到0.1m）（）

A.34.64mB.34.6mC.28.3mD.17.3m

分析：首先计算出NB的度数，再根据直角三角形的性质可得AB=40m,再利用勾股定第7题图

理计算出BC长即可

解：；/人=60°,NC=90°,.*.ZB=30°,；.AB=2AC,；AC=20m,AAB^Om,

，BC=JAB2_AC气1600_400=业200=20仔34.6（m）,故选：B.

点评：此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形

中，30。角所正确的直角边等于斜边的一半.在任何一个直角三角形中，两条直角边长

的平方之和一定等于斜边长的平方

5.（2021贵州安顺，6,3分）如图所示，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两

树相距8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）

堂

A.8米B.10米C.12米D.14米

考点分析：勾股定理的应用.

专题分析：应用题.

分析：根据"两点之间线段最短"可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路

程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出.

解答：解：如图所示，设大树高为AB=10m,

小树高为CD=4m,

过C点作CE±AB于E,则EBDC是矩形，

连接AC,

EB=4m,EC=8m,AE=AB-EB=10-4=6m,

在RtAAEC中，AC={AE2+EC'10m,

点评：本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

6.(2021江苏南京，3,2分)设边长为3的正方形的对角线长为a,下列关于a

的四种说法:①。是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3<a<4；④

。是18的算术平方根。其中，所有正确说法的序号是

(A)①④(B)②③(C)①②④(D)①③④

答案:C

解析：由勾股定理，得：。，所以，③错误，其它都正确。

二、填空题

1.（2021江苏扬州，17,3分）矩形的两邻边长的差为2,对角线长为4,则矩形

的面积为.

【答案解析】6.

【试题解答】分析：设矩形一条边长为x,则另一条边长为x-2,然后根据勾股定理列出

方程式求出x的值，继而可求出矩形的面积.

解：设矩形一条边长为x,则另一条边长为无一2.

由勾股定理得，^+（x-2）M2.

整理得，/一2工一6=0.

解得：41+错误!未找到引用源。或x=l一错误!未找到引用源。（不合题意，舍去）.

另一边为：错误!未找到引用源。-1.则矩形的面积为：（1+V7）（错误!未找到引用

源。-1）=6.所以应填6.

【方法指导】本题考查了勾股定理及矩形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据勾

股定理列出等式求处矩形的边长，要求同学们掌握矩形面积的求法.

【易错警示】解题时，用勾股定理可能出错，解一元二次方程可能出错.

2.（2021山东滨州，14,4分）在aABC中，ZC=90°,AB=7,BC=5,则边AC的

长为.

【答案解析】：x=错误!未找到引用源。.

【试题解答】利用勾股定理，可得错误!未找到引用源.

【方法指导】本题主要考查了勾股定理的运用，按照题设画出图形，确定斜边和直角边

再计算即可.

3.（2021湖北荆门，15,3分）如图所示，在RtAABC中，ZACB=90°,。是AB的中

点，过。点作A8的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=|,则。E=

（第15题）

【答案解析】错误!未找到引用源。.

【试题解答】错误!未找到引用源。=10,；.AC=J10-6?=8.VD是A8的中

点，错误!未找到引用源。AB=5.•；NAOE=NC=90。，=A

ACB....错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.，华=错误!未找到引用源。.即

O

OE=错误!未找到引用源。.

【方法指导】本题另一解法是利用勾股定理，即连结BE,则BE=AE.在Rt^BCE中用

勾股定理求出BE的长，然后在Rt^BDE中用勾股定理求出OE的长.

4.（2021山东德州，17,4分）如图所示，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角

形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF②NAEB=75°③BE+DF

=EF④S正方形ABCD=2+错误!未找到引用源。，其中正确的序号是。（把你认

为正确的都填上）

【答案解析】①②④

【试题解答】..•在正方形ABCD与等边三角形AEF中，.*.AB=BC=CD=DA,AE=EF=AF,

AAABE^AADF,DF=BE,有DC-DF=BC-BE,即CE=CF,①正确；；CE=CF,Z

C=90°,AZFEC=45°,而NAEF=60°,ZAEB=180°-60°-45°=75°,②正确;

根据分析BE+DFHEF,③不正确：在等腰直角三角形CEF中，CE=CF=EF-sin450=错误!

未找到引用源。.在Rt^ADF中，设AD=x,则DF=x-错误!未找到引用源。，根据勾股

定理可得，错误!未找到引用源。，解得，x尸注久？，

2

错误!未找到引用源。(舍去).所以正方形ABCD面积为错误!未找到引用源。=2+错误!

未找到引用源。，④正确.

【方法指导】本题考查正方形与等边三角形.本题涉及正方形、等边三角形相关知识，同

时应用勾股定理、全等三角形等解题.具有一定的综合性.解题的关键是对所给命题运

用相关知识逐一验证.

5.(2021四川凉山州，26,5分)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形Q钻C的顶

点错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。的坐标分别为(10.0),(0,4),点

错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的中点，点错误!未找到引用源。在BC上运

动，当错误!未找到引用源。是腰长为5的等腰三角形时，点错误!未找到引用源。的坐

标为_________________________________________

【解】由题意，矩形错误!未找到引用源。的顶点错误!未找到引用源。、

误!未找到引用源。的坐标分别为(10,0),(0,4),点。是错误!

未找到引用源。的中点，点P在错误!未找到引用源。上运动，•••点错误!未找到引用源。

的坐标为(5,0).

故设点错误!未找到引用源。的坐标为(x,4),

由题意得OD=5,0P=Jf+42,PD错误!未找到引用源。.

当错误!未找到引用源。是腰长为5的等腰三角形时，可在分以下两种情况:

①当0P=5时，即错误!未找到引用源。=5,解得x=3或x=-3（舍去）；

②当PD=5时，即+4]=5时，解得x=2或x=8。

所以点错误!未找到引用源。的坐标为（3,4）或（2,4）或（8,4）。

【方法指导】加入一个三角形是等腰三角形时，要三种情况考虑，但是本题说明了腰为

长5,所以只分两种情况即可。

6.（2021广东省，14,4分）在Rt^ABC中，错误!未找到引用源。，AB=3,BC=4,

则sinA=.

【答案解析】错误!未找到引用源。.

【试题解答】画图，如答案图所示：

（第14题答案图）

入△ABC中，错误!未找到引用源。，AB=3,BC=4,由勾股定理得AB=5,所以$1叫=错

误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.

【方法指导】关于三角函数的问题，通常都需要图形，加入没有图形，要自己画图.

7.（2021湖南张家界，16,3分）如图所示，OP=1,过P作PPiLOP,得OPi=J^；

再过Pl作PlP2,OPl且PlP2=l,得OP2=J5；又过P2作P2P3,OP2且P2P3=1,得OP3=2;...

p

考点勾股定理.

分析：

专题规律型.

分析：

分析：首先根据勾股定理求出0P4,再由OPl,0P2,0P3的长度找到规律进而求出

OP2021的长.

解答：解：由勾股定理得：OP4=^22+1=V5,

VOPI=V2：得0P2=如;

依此类推可得OPn=y石，

AOP2021=72013.

故答案为：V2013-

点评：本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律.

8.（2021•潍坊，9,3分）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛

A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向

向海岛C靠近.同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救

援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）

北

A.10J5■海里〃卜时B.30海里/小时

C.错误!未找到引用源。海里〃J、时D.错误!未找到引用源。海里/小时

答案:D

考点分析：方向角，直角三角形的判定和勾股定理.

点评;理解方向角的含义，证明出三角形ABC是直角三角形是解决本题的关键.

9.(2021•新疆5分)如图所示，Rt^ABC中，NACB=90°,NABC=60。，BC=2cm,D

为BC的中点，若动点E以lcm/s的速度从A点出发，沿着A玲B玲A的方向运动，设

E点的运动时间为t秒(04t<6),连接DE,当4BDE是直角三角形时，t的值为

()

c匕

C力0

A.2B.2.5或3.5C.3.5或4.5D,2或3.5或4.5

【答案解析】D.

【试题解答】VRtAABC中，ZACB=90°,ZABC=60°,BC=2cm,

AB=2BC=4(cm),

VBC=2cm,D为BC的中点，动点E以lcm/s的速度从A点出发，

.\BD=BC=1(cm),BE=AB-AE=4-t(cm),

若NDBE=90。，

当A玲B时，VZABC=60°,

ZBDE=30",

BE=BD=(cm),

t=3.5,

当B玲A时，t=4+0.5=4.5.

若NEDB=90°时，

当A玲B时，ZABC=60°,

.,.ZBED=30°,

；.BE=2BD=2（cm）,

.•.t=4-2=2,

当B玲A时，t=4+2=6（舍去）.

综上可得：t的值为2或3.5或4.5.

【方法指导】此题考查了含30。角的直角三角形的性质.此题属于动点问题，难度适中,

注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用

10.（2021•衢州）将一个有45。角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边

沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的

直线成30。角，如图所示，则三角板的最大边的长为（）

A.3cmB.6cmC.3\[2cmD.6V^cm

【答案解析】D.

【试题解答】过点C作CD1AD,；.CD=3,

在直角三角形ADC中,

ZCAD=30°,

；.AC=2CD=2x3=6,

又三角板是有45。角的三角板,

AB=AC=6,

BC2=AB2+AC2=62+62=72,

，BC=6退,

【方法指导】此题考查的知识点是含30。角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键

是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边

11.（2021四川巴中，9,3分）如图所示，菱形ABCD的两条对角线相交于O,若

AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是（）

D

A.24B.16C.4^/13D.2M

考点菱形的性质；勾股定理.

分析：

分析：由菱形ABCD的两条对角线相交于O,AC=6,BD=4,即可得AC_LBD,求得

OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案.

解答：解：；四边形ABCD是菱形，AC=6,BD=4,

AC±BD,OA=AC=3,OB=BD=2,AB=BC=CD=AD,

在RSAOB中，

AB=^OA2+OB2=V13,

二菱形的周长是：4AB=4万.

故选C.

点评：此题考查了菱形的性质与勾股定理.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应

用.

12.如图所示，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3,m）,且OP

与x轴正半轴的夹角a的正切值是，则错误!未找到引用源。的值

错误!未找到引用源。

是【】

♦zyR3,m）

A.—B.C.—D.

5错误!未找到引用源。5错误!未找到引用源。

【答案】&

【考点】点的坐标，锐角三角函数定义,勾股定理.

IyR3,m）

【分析】如图，过点？作？H_Lx输于点则

.OH-3.

又丁。？与x轴正半轴的夹角cx的正切值是"BPtana-,\Aa!

0H30r』一

・m4一）

••—•—nm・q・

33

根据勾股定理，*0?-5.

.-PH4如.。

••sina■————・HA13Ow

OP5

13.（2021贵州省黔西南州,54分）一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边

的长为（）

A.5B.WC.V5D.5或W

考点勾股定理.

分析：

专题分类讨论.

分析:

分析：本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析.

解答：解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5,

（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为行，

故选D.

点评：题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析.

14.（2021湖北省鄂州市，4,3分）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起,

则Na的度数是（）

A.165°B.120°C.150°D.135°

考点三角形的外角性质.

分析：

分析：利用直角三角形的性质求得Z2=60°；则由三角形外角的性质知N2=N1+45。=60。,

所以易求N1=15。；然后由邻补角的性质来求Na的度数.

解答：解：如图所示,•.・N2=90°-30°=60°,

/.Z1=Z2-45°=15°,

Za=180°-Z1=165°.

故选A.

点评：本题考查了三角形的外角性质.解题时，注意利用题干中隐含的已知条件：

Zl+a=180".

15.(2021湖北省鄂州市，10,3分)如图所示，已知直线allb,且a与b之间的距离

为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的距离为3,AB=2A/30.试在直线a

上找一点M,在直线b上找一点N,满足MN_La且AM+MN+NB的长度和最短，则

此时AM+NB=()

A

A.6B.8C.10D.12

考点勾股定理的应用；线段的性质：两点之间线段最短；平行线之间的距离.

分析：

分析：MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可,

作点A关于直线a的对称点A；连接"B交直线b与点N,过点N作NMJ_直线

a,连接AM,则可判断四边形AA，NM是平行四边形，得到AM=A，N,由两点之

间线段最短，可得此时AM+NB的值最小.过点B作BEJLAA1交AA，于点E,在

RtAABE中求出BE,在RtAA，BE中求出A，B即可得到AM+NB.

解答：解：作点A关于直线a的对称点A；连接A-B交直线b与点N,过点N作NM±

直线a,连接AM,

A到直线a的距离为2,a与b之间的距离为4,

AA'=MN=4,

四边形AA，NM是平行四边形，

AM+NB=A'N+NB=A'B,

过点B作BEJLAA，，交AA吁点E,

易得AE=2+4+3=9,AB=2j否，A'E=2+3=5,

在RtAAEB中，BE1AB2-

在RSA，EB中，A，B=[A，E2+BE±8.

点评：本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、

点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短.

三、解答题

1.(2021山东德州，23,10分)

(1)如图1,已知△ABC,以AB、AC为边向aABC外做等边4ABD和等边AACE,

连接BE,CD。请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）

第23题图1第23题图2第23题图3

（2）如图2,已知AABC,以AB、AC为边向外做正方形ABFD和正方形ACGE。连

接BE,CD。BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3,要测量池塘两岸相正确的两点B,E的距离，已经测得NABC=45°,Z

CAE=90°,AB=BC=100米，AC=AE。求BE的长。

【思路分析】（1）根据题目要求进行尺规作图，并加以证明其它结论：（2）用三角形全

等分析BE与CD相等关系；（3）构件建几何模型解（添加辅助线、运用勾股定理）决实

际问题.

【解】（1）完成作图，字母标注正确。

证明：•••△ABD和4ACE都是等边三角形。

；.AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°»

NBAD+NBAC=NCAE+NBAC

即NCAD=NEAB

AACAD^AEAB

ABE=CD

（2）BE=CD

理由同（1）:

•.,四边形ABFD和ACGE均为正方形，

，AD=AB,AC=AE,NBAD=NCAE=90°

ZCAD=ZEAB

AACAD^AEAB

BE=CD

（3）由（1）（2）的解题经验可知，过A作等腰直角三角形ABD,NBAD=90°,则

AD=AB=1000,ZABD=45°,

.-.BD=100V2

连接CD,则由⑵可得BE=CD。

VZABC=45°,

/DBC=90°,

在RtaDBC中，BC=100,BD=100错误!未找到引用源。

...CD=错误!未找到引用源。=100错误!未找到引用源。

；.BE的长为100招米

【方法指导】本题考查了与等边三角形、正方形的全等应用实践操作、探究题.图形与

几何的实践、探究题，是新中考比较热点的命题方向.

2.（2021四川凉山州，24,8分）小亮和小红在公园放风筝，不小心让风筝挂在树梢

上，风筝固定在错误!未找到引用源。处（如图），为测量此时风筝的高度，他俩按如

下步骤操作：

第一步：小亮在测点错误!未找到引用源。处用测角仪测得仰角=

第二步：小红量得测点错误!未找到引用源。处到树底部错误!未找到引用源。的水

平距离错误!未找到引用源。。

第三步：量出测角仪的高度8=匕。

之后，他俩又将每个步骤都测量了三次，把三次测得的数据绘制成如下的条形

统计图和折线统计图。

请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题。

（1）把统计图中的相关数据填入相应的表格中:

错误!未找到b错误!未找到

引用源。引用源。

第一次

第二次

第三次

平均值

(2)根据表中得到的样本平均值计算出风筝的高度错误!未找到引用源。(参考

数据：1.732,错误!未找到引用源。，结果保留3个有效数字)。

【思路分析】(1)要根据题中所给的条形统计图和折线统计图很容易完成下列表格；

(2)利用解直角三角形的知识即可求出风筝的高度。

【解】(1)

错误!未找到错误!未找到

引用源。引用源。

第一次15.711.3129.5°

第二次15.831.3330.8°

第三次15.891.3229.7°

平均值15.811.3230°

(2)由题意得：四边形BDCE为矩形，，EC=BD=15。8,BE=CD=1。32,Z

AEC=90°,

在RtZ\AEC中，ZAEC=90°,/错误!未找到引用源。=30°,

•••错误!未找到引用源。.；.AE=EC错误!未找到引用源。

，AB=AE+BE=9.128+1.32=10.4(m).

，风筝的高度AB约为10.4m.

【方法指导】本题考查统计图及解直角三角形.在解直角三角形时，加入有直角三

角形直接利用边角关系直接求出，加入没有直角三角形可以构造直角三角形再利用边角关

系去解.

3.(2021四川南充，21,8分)如图所示，公路A8为东西走向，在点A北偏东36.5。

方向上，距离5千米处是村庄M；在点A北偏东53.5。方向上，距离10千米处是村

庄N(参考数据：sin36.5°=0.6,cos36.5°=0.8,tan36.5°=0.75).

(1)求M,N两村之间的距离；

(2)要在公路AB旁修建一个土特产收购站P,使得何，N两村到站P的距离之和最

短，求这个最短距离.

【答案解析】：解：(1)如图所示，过点M作C力〃4B,NELAB.

在RtZ\ACM中，ZCAM=36.5°,AM=5,

，sin36.5。=错误!未找到引用源。=0.6,

：.CM=3,4c=4.

在RtZXANE中，ZAME=90°-53.5°=36.5°,AN=10,

/.sin36.5。=错误!未找到引用源。=0.6,

:・NE=6,AE=8.

在RtZXMNC中，MO=5,ND=2,

：.MN=A/52+22=V29(km).

(2)作点N关于AB的对称点G,连接MG交AB于点P.

点户即为站点.

PM+PN=PM+PG=MG.

在RtaMOG中，MG=错误!未找到引用源。(km).

•••最短距离为错误!未找到引用源。km.

【试题解答】(1)过点M作CD〃A8,NE±AB,在心AACM中求出CM,AC,在Rt

△4VE中求出NE,AE,继而得到例DND的长度，在Rt/SMND中利用勾股定理

可得到MN的长度.

(2)作点N关于AB的对称点G,连接MG交AB于点P,点P即为站点，求出MG

的长度即可.

【方法指导】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利

用三角函数值求解相关线段的长度，难度较大.

4.(2021•鞍山，16,2分)如图所示，D是△ABC内一点，BD±CD,AD=6,BD

=4,CD=3,E、F、G、H分别为AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH

的周长是

A

考点分析：三角形中位线定理；勾股定理.

分析：利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于

第三边的一半求出EH=FG=AD,EF=GH=BC,然后代入数据进行计算即可得解.

解答：解:••,BDJLCD,BD=4,CD=3,

BC=VBD2+CD2=A/42+32=5,

•••E、F、G、H分别为AB、AC、CD、BD的中点，

EH=FG=AD,EF=GH=BC,

四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC,

又,.•AD=6,r.四边形EFGH的周长=6+5=11.故答案为：11.

点评：本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行

于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键.

5.（2021•泰安，23,3分）如图所示，在RfAABC中，ZACB=90°,AB的垂直平

分线OE交AC于E,交2c的延长线于F,若NF=30。，DE=\,则BE的长

是

B

/\

AF

考点分析：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质.

分析：根据同角的余角相等、等腰AABE的性质推知NDBE=30。，则在直角AOBE中

由“30度角所正确的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度.

解答：解：：ZACB=90°,FDA.AB,ZZACB=NFOB=90°,

ZF=30°,NA=N尸=30。（同角的余角相等）.

又48的垂直平分线OE交AC1于E,：.ZEBA=Z4=30。，

直角△DBE中，BE=2DE=2.

点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形.解题的难点是推

知NEBA=30°.

6.（2021四川巴中，19,3分）若直角三角形的两直角边长为a、b,且满足

7a2-6a+9+|b-4|=0＞则该直角三角形的斜边长为5.

考点勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根.

分析：

分析：根据非负数的性质求得a、b的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的

斜边长.

解答：解:丫7a2-6a+9+|b-41=0，

a2-6a+9=0,b-4=0,

解得a=3,b=4,

V直角三角形的两直角边长为a、b,

・••该直角三角形的斜边长二^^^石弓不^.

故答案是：5.

点评：本题考查了勾股定理，非负数的性质-绝对值、算术平方根.任意一个数的绝对

值（二次根式）都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的

每一项都必须等于0.

7.（2021河南省，10,3分）将一副直角三角板错误!未找到引用源。和。石户如图放

置（其中错误!未找到引用源。），使点错误!未找到引用源。落在错误!未找到引用源。

边上，且££>〃BC,则错误!未找到引用源。的度数为

【试题解答】由图形可知：错误!未找到引用源。。因为ED//BC.

所以错误!未找到引用源。，•••错误!未找到引用源。

【答案解析】15

8.（2021黑龙江省哈尔滨市，19）在△ABC中，AB=错误!未找到引用源。，

BC=1,ZABC=45°,以AB为一边作等腰直角三角形ABD,使NABD=90°,连接CD,

则线段CD的长为

考点分析：解直角三角形，钝角三角形的高

分析：双解问题，画等腰直角三角形ABD,使/ABD=90°,分两种情况，点D与C在

AB同侧，D与C在AB异侧，考虑要全面；

解答：当点D与C在AB同侧，BD=AB=2&，作CE±BD于E,CD=BD=错误味找到引

用源。，

ED=错误!未找到引用源。，由勾股定理CD=错误!未找到引用源。当点D与C在AB异

侧，BD=AB=2后，NBDC=135°,作DEJ_BC于E,BE=ED=2,EC=3,由勾股定理

CD=错误!未找到引用源。

故填错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。

9.（2021湖北省鄂州市，15,3分）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学

家、发明家.他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略

不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒

中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来.若AB=20cm,则画出的圆

考点直角三角形斜边上的中线.

分析:

分析：连接OP,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得0P的长，画出的

圆的半径就是0P长.

解答:解：连接0P,

△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点,

OP=AB,

AB=20cm,

0P=1Ocm,

关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半.

10.（2021湖北省鄂州市，16,3分）如图所示，AAOB中，NAOB=90。，AO=3,

BO=6,△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A，OB，处，此时线段A，B，与BO的交点E为BO

的中点，则线段B，E的长度为2近.

一5一

R'

考点旋转的性质.

分析：

分析：利用勾股定理列式求出AB,根据旋转的性质可得AO=A-O,A，B，=AB,再求出

0E,从而得到OE=A，O,过点O作OF_LAB于F,利用三角形的面积求出OF,

利用勾股定理列式求出EF,再根据等腰三角形三线合一的性质可得A，E=2EF,然

后根据B，E=A，B，-AT代入数据计算即可得解.

解答：解:ZAOB=90",A0=3,B0=6,

AB=yAO2+B032+6诋

•••△AOB绕顶点0逆时针旋转到△A，OB，处，

AO=A（O=3,AB=AB=3泥，

■.・点E为BO的中点，

OE=BO=x6=3,

OE=A,O,

过点0作OF_LA，B，于F,

SAA，OB=X3泥・OF=X3X6,

解得OF=.,

5

在RSEOF中，EF^OE2_OF2=^32_（誓）

5'

,/OE=A/O,OFXA'B；

A，E=2EF=2x?近=£近（等腰三角形三线合一），

55

B'E=A'B'-A'E=3泥-色后=区反.

55

故答案为：也

5

点评：本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及

三角形面积，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解

题的关键.

11.（2021上海市，23,12分）如图8,在/XABC中，ZABC=90°,

ZB>ZA,点。为边AB的中点，交AC于点E,

C广〃A8交。E的延长线于点尸.

（1）求证：DE=EF；

（2）联结CD,过点。作。。的垂线交的

延长线于点G,求证：ZB^ZA+ZDGC.

图8

【答塞】史明,《1）•・•在AA3c中.ZAC3-^.与D为近3的中点.

.,.□C-DA（五曲三角外科2Lt卬援寿干斜边的TM・

•・・H〃BG/.Ar-CZ（平行蛉等分线餐的性质），ZA-ZFCH（平行线的内箱角招等）.

XVZAED-ZCET/.△AED»ACBF（A$A>.

/.DE-EF（金等三角形对应边相等）.

（2）如图.•・•在AABC中,ZAC3-9.点D为ftA3的中点.

/.□C-D3(直角三角形斜边上中或等于新边的一半).,G

AZ3»Z4(等边对等角八

又丁工〃%.・・・/2-N3，ZB-ZADE.

VDGXDC.AZ2+Z3-90:.即NI+ND-好.

VZACB-9Ci：./.ZA-FZ>903.AZ2-ZA.

B

VCF/7AB.AZDGC-ZL

AZ3-ZADE-Z2+Z1-ZA+^DGC.

【考点】直龟三角形斜边上中线性脑，平行线的性脑，全等三角形的判定和性规，等腰三角形的性脑，直角三角形

两锐角的关系，转换思想的应用.

【分析】（D通过由ASA证明△AEDsZkCEF得出结论.

（2）如图，经过转换，将NB转换成NADE,从而通过证明NDGON1和N〉NA得出结论.

12.（2021上海市，24,12分）如图9,在平面直角坐标系xoy中，顶点为M

的抛物线>=0?+法3>0）经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=OB=2,

ZACB=120°.

（1）求这条抛物线的表达式：

（2）联结。M,求ZAOM的大小；

（3）加入点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标.

【答案】解，（t）如网.过点AfTAD<Ly*F点d'

VAO-OB-2,AB（2.0）.‘一°/

VZAOB-1203.AZAOD-303.0D-6・___\_______/_

-----

AA<-i.6）・

13.（2021四川巴中，29,10分）如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作

AE±BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点，且NAFE=ZB

(1)求证:△ADF~△DEC；

(2)若AB=8,AD=6«,AF=4«,求AE的长.

AD

考点相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质.

分析：

分析：(1)利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF"△DEC；

(2)利用AADFs△DEC,可以求出线段DE的长度；然后在在RQADE中,

利用勾股定理求出线段AE的长度.

解答：(1)证明:,•,0ABCD,ABHCD,ADIIBC,

ZC+ZB=180°,ZADF=ZDEC.

ZAFD+ZAFE=180\ZAFE=ZB,