2024-2025学年度北师版八上数学7.4平行线的性质【课外培优课件】

第七章平行线的证明4平行线的性质

1.

如图，已知直线

a

⊥

c

，

b

⊥

c

，∠1＝140°，则∠2的度数是

（

A

）A.40°B.50°C.60°D.140°（第1题图）A2.

将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度

数为（

B

）A.70°B.75°C.80°D.85°（第2题图）B3.

某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段.若

AB

∥

CD

，∠

EAB

＝40°，则∠

FDC

的度数是（

B

）A.30°B.40°C.50°D.75°（第3题图）B4.

如图，已知直线

l

∥

m

∥

n

，等边三角形

ABC

的顶点

B

，

C

分

别在直线

n

和

m

上，边

BC

与直线

n

的夹角为20°，则∠α的度数

为

.

（第4题图）40°

5.

将三角尺按如图所示放置在一张长方形纸片

ABCD

上.若∠

EGF

＝90°，∠

FEG

＝30°，∠1＝130°，则∠

BFG

的度数

为

⁠.（第5题图）110°

6.

山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均互相平行（

AM

∥

CN

），且每两个支撑架之间的索道均是直的.若∠

MAB

＝60°，∠

NCB

＝40°，则∠

ABC

＝

⁠.

（第6题图）100°

7.

如图，已知

BC

⊥

AE

，

DE

⊥

AE

，∠2＋∠3＝180°.（1）试判断∠1与∠

ABD

的数量关系，并说明理由；（2）若∠1＝70°，

BC

平分∠

ABD

，试求∠

ACF

的度数.解：（1）∠1＝∠

ABD

.

理由如下：∵

BC

⊥

AE

，

DE

⊥

AE

，∴

BC

∥

DE

.

∴∠3＋∠

CBD

＝180°.又∵∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝∠

CBD

.

∴

CF

∥

DB

.

∴∠1＝∠

ABD

.

8.

如图，在△

ABC

中，已知点

D

在

AC

上，点

F

，

G

分别在

AC

，

BC

的延长线上，

CE

平分∠

ACB

，分别交

AB

，

BD

于点

E

，

O

，且∠

EOD

＋∠

OBF

＝180°，∠

F

＝∠

G

.

求证：

DG

∥

CE

.

证明：∵∠

EOD

＝∠

BOC

，∠

EOD

＋∠

OBF

＝180°，∴∠

BOC

＋∠

OBF

＝180°.∴

EC

∥

BF

.

∴∠

ECD

＝∠

F

.

又∵

CE

平分∠

ACB

，∴∠

ECD

＝∠

ECB

＝∠

F

.

又∵∠

F

＝∠

G

，∴∠

G

＝∠

ECB

.

∴

DG

∥

CE

.

9.

如图，∠

AOB

的两边

OA

，

OB

均为平面反光镜，且∠

AOB

＝35°.若在

OB

上有一点

E

，从点

E

射出一束光线经

OA

上的点

D

反射后，反射光线

DC

恰好与

OB

平行，则∠

DEB

的度数

是

⁠.（第9题图）70°

【解析】如图，过点

D

作

DF

⊥

AO

交

OB

于点

F

.

∵入射角等于反射角，∴∠1＝∠3.∵

CD

∥

OB

，∴∠1＝

∠2.∴∠2＝∠3.在Rt△

DOF

中，∠

ODF

＝90°，∠

AOB

＝

35°，∴∠2＝55°.∴在△

DEF

中，∠

DEB

＝180°－∠2－

∠3＝180°－2∠2＝180°－2×55°＝70°.故答案为70°.10.

如图，已知

CD

平分∠

ACB

，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠

A

，∠4＝35°，则∠

CED

的度数是

.

（第10题图）110°

【解析】∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠

BDC

＝180°，∴∠2＝

∠

BDC

.

∴

EF

∥

AB

.

∴∠3＝∠

BDE

.

∵∠3＝∠

A

，∴∠

A

＝

∠

BDE

.

∴

AC

∥

DE

.

∴∠

ACB

＋∠

CED

＝180°.∵

CD

平分

∠

ACB

，∠4＝35°，∴∠

ACB

＝2∠4＝70°.∴∠

CED

＝

180°－∠

ACB

＝110°.故答案为110°.11.

如图，已知

BC

∥

GE

，

AF

∥

DE

，∠1＝45°.（1）求∠

AFG

的度数；（2）若

AQ

平分∠

FAC

，交

BC

于点

Q

，且∠

Q

＝20°，求∠

ACB

的度数.解：（1）∵

BC

∥

EG

，∴∠

E

＝∠1＝45°.∵

AF

∥

DE

，∴∠

AFG

＝∠

E

＝45°.（2）如图，过点

A

作

AM

∥

BC

.

∵

BC

∥

EG

，∴

AM

∥

EG

.

∴∠

FAM

＝∠

AFG

＝45°.∵

AM

∥

BC

，∴∠

QAM

＝∠

Q

＝20°.∴∠

FAQ

＝∠

FAM

＋∠

QAM

＝65°.∵

AQ

平分∠

FAC

，∴∠

QAC

＝∠

FAQ

＝65°.∴∠

MAC

＝∠

QAC

＋∠

QAM

＝85°.∵

AM

∥

BC

，∴∠

ACB

＝∠

MAC

＝85°.12.

如图，已知

AD

平分∠

BAC

交

BC

于点

D

，点

F

在

BA

的延长

线上，点

E

在线段

CD

上，

EF

与

AC

相交于点

G

，且∠

BDA

＋∠

CEG

＝180°.（1）

AD

与

EF

平行吗？请说明理由.（2）若点

H

在

EF

的延长线上，且∠

EDH

＝∠

C

，则∠

F

与∠

H

相等吗？请说明理由.解：（1）

AD

∥

EF

.

理由如下.∵∠

BDA

＋∠

CEG

＝180°，∠

BDA

＋∠

ADE

＝180°，∴∠

CEG

＝∠

ADE

.

∴

AD

∥

EF

.

（2）∠

F

＝∠

H

.

理由如下：∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

BAD

＝∠

CAD

.

∵∠

EDH

＝∠

C

，∴

HD

∥

AC

.

∴∠

H

＝∠

CGH

.

∵

AD

∥

EF

，∴∠

BAD

＝∠

F

，∠

CAD

＝∠

CGH

.

∴∠

F

＝∠

H

.

13.

（选做）如图，已知直线

AB

∥

CD

，点

M

，

N

分别是直线

AB

，

CD

上的点.（1）如图1，判断∠

BME

，∠

MEN

和∠

DNE

之间的数量关

系，并证明你的结论；（2）如图2，请你直接写出∠

BME

，∠

MEN

和∠

DNE

之间的

数量关系（不需要证明）；（3）如图3，若

MB

平分∠

EMF

，

NE

平分∠

DNF

，且∠

F

＋

2∠

E

＝180°，求∠

FME

的度数.图1

图3

图2

（1）解：∠

BME

＋∠

DNE

＝∠

MEN

.

证明如下：如图1，过点

E

作直线

EF

∥

AB

.

∵

EF

∥

AB

，∴∠

BME

＝∠

MEF

.

又∵

AB

∥

CD

，∴

EF

∥

CD

.

∴∠

FEN

＝∠

DNE

.

∴∠

MEN

＝∠

MEF

＋∠

FEN

＝∠

BME

＋∠

DNE

.

图1

图1

图2（2）∠

MEN

＝∠

BME

－∠

DNE

.

图2【解析】如图2，过点

E

作直线

EF

∥

AB

.

∵

EF

∥

AB

，∴∠

BME

＝∠

MEF

.

又∵

AB

∥

CD

，∴

EF

∥

CD

.

∴∠

FEN

＝∠

DNE

.

∴∠

MEN

＝∠

MEF

－∠

FEN

＝∠

BME

－∠

DNE

.

（3）解：∵

MB

平分∠

EMF

，∴∠

BMF

＝∠

BME

.

由

NE

平分∠

DNF

，设∠

DNF

＝2∠

DNE

＝2∠α.由（1），得∠

E

＝∠

BM