2022-2023学年江苏省南京市某中学高一年级上册数学期末复习卷

期末复习卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.函数/。）=-212110+”的定义域是（）

A.{xGR\xB.不一台

C.{xeR\x^kn+l，k&Z}D.{xe町％芋竽+"kwZ}

2.如果点P（sin0,cos。）位于第四象限，那么角。所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若函数f（x）=|log2x|的定义域为口句，值域为[0,2],则b—a的最小值为（）

33C23

A.4-2-

4.设a=b=lg2,C=COS垓TT,则（）

A.a<c<bB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

5.已知函数f（x）=xcosx,则其大致图象为（）

6.一次速算表演中，主持人出题：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，下面我报出这

个31位数，请说出它的64次方根，这个31位数是......未等主持人报出第一位数字，速算专家

已经写出了这个整数的64次方根.原理很简单，因为只有一个整数，它的64次方是一个31

位整数.可是，在事先不知道题目的情况下，速算专家是怎么快速得出这个结论的呢？速算

专家的秘诀是记住了下面的表.

X2345

Igx(近似值)0.3010.4770.6020.699

根据上表，这个31位整数的64次方根是()

A.2B.3C.4D.5

7.已知函数/(%)=必，若存在xeR,使得不等式/(cosx)+/(m-3)>0成立，则实数m

的取值范围为()

A.[4,+oo)B.[2,+oo)C.(4,+8)D.(2,+oo)

8.已知函数=+L一°,g(x)=/—2x,设a为实数，若存在实数m,

使f(m)-2g(a)=0,则实数a的取值范围为()

A.[—2,4-oo)B.(—oo,-2]U[4,4-oo)

C.(—8,4]D.[—2,4]

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.以下四个命题，其中是真命题的有()

A.命题6R,sinx>一1”的否定是'勺％6R,sinx<一1"

B.若aVbvO,则一工>—：

ab

C.函数f(%)=loga(x-1)+l(a>0且Q丰1)的图象过定点(2,1)

D.若某扇形的周长为6c?n,面积为2czn2,圆心角为a(0<QVTT),则a=1

10.已知函数f(x)=%+：,g(x)=2lM,则下列选项中正确的有.()

A.f(x)为奇函数B.g(x)为偶函数

(2./(%)的值域为[2,+8)D.g(x)有最小值0

11.函数f(x)=3sin(2x+9)的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有()

A./(%)的最小正周期为兀B./•得)是f(x)的最小值

C./(x)在区间图上的值域为[一|,|]

D.把函数y=/(x)的图象上所有点向右平移工个单位长度，可得到函数y=3SE2X的图象

12.下列说法中正确的是()

A.若a是第二象限角，则点P(cos(-a),tan(?r+a))在第三象限

B.圆心角为Irad,半径为2的扇形面积为2

C.利用二分法求方程1。82尤=4一万的近似解，可以取的一个区间是(2,3)

D.若aG(兀,与)，S.sina+cosa=一(，则sina—cosa=—1

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知匕门。=3，则sE'+ssa=___.

tansin«-cos«

14.设曙函数f(x)同时具有以下两个性质：

①函数f(x)在第二象限内有图象；

②对于任意两个不同的正数a,b,都有竿产＜0恒成立.

请写出符合上述条件的一个恭函数.

15.摩天轮的主架示意图如图所示，其中。为轮轴的中心，距地面42nl(即0M长)，摩天轮的

半径长为40m,摩天轮逆时针旋转且每12分钟转一圈.摩天轮上悬挂吊舱，点M为吊舱的初

始位置，经过10分钟，吊舱运动到点P处，此时有AM=BP=2m,贝IJP距离地面的高度h

16.已知a,b为正实数，且ab+a+3b=9,则a+3b的最小值为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

psin(7r+a)cos(7T-a)tan(20227r+a)

(1)化间：sin(^-a)tan(-a)；

2

(2)求值：eM2+0,125-3+log糖中

18.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=asin(3X+9+b(3>0),f(x)图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离

冷.

⑴若a=1,b=0.

①求函数/'(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标；

②求函数f(x)在［0,兀］上的单调增区间.

(2)若/(%)在R上的最大值为5,最小值为-1,求实数a,b的值.

19.(本小题12.0分)

已知函数/(久)=x2-2ax—3.

(1)若a=l,求不等式/(x)20的解集；

(2)若/(x)在［3,+8)上单调递增，求a的取值范围；

(3)求f(x)在［-1,2］上的最小值.

20.(本小题12.0分)

已知a>0,b>0,函数/'(x)=，落.

(1)当a=b=1时，求不等式/(x)>1的解集；

(2)若/(2)=1,求/+*的最小值，并求此时a,b的值.

21.(本小题12.0分)

设3>0,函数=2sin3x-看)+1在由焉上单调递减.

⑴求3;

(2)若函数g(x)=/(x)+k在区间[-缶颖上有且只有一个零点，求实数k的取值范围.

22.(本小题12.0分)

已知函数/。)=，。%(/+1),ga)=x2-ax+6.

(1)若关于x的不等式g(x)<0的解集为{x[2<x<3},当x>l时，求警的最小值；

(2)若对任意的与C[1,+8)、x2e[-2,4],不等式/(由)4g(xz)恒成立，求实数a的取值范

围.

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了正切函数的图象与性质，属于基础题.

由正切函数得2x+£wk7r+MkeZ,解出即可.

【解答】

解：函数f(x)=-2tan(2x+»,

则2x+岸/OT+J,keZ,即x口"+/「€z,

所以函数/(“)=-2tan(2x+6的定义域是{x|x力与+加€Z}.

故选D.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数值的符号，是基础题.

直接由点P(sbi0,cos。)位于第四象限求出sin。和cos。的符号，则答案可求.

【解答】

解：：点P(sin0,cos0)位于第四象限，

.(sin。>0

IcosO<0'

.•・角。所在的象限是第二象限.

故选B.

3.【答案】A

【解析】解:函数/(X)=|10g2X|的定义域为口句，值域为

[0,2],

由/⑴=0,/(4)=后)=2,

3

-

可得a=*,b=l时，/?一。取得最小值1一(4-

故选：A.

计算可得f(1)=0,f(4)=/(；)=2,结合f(x)的图象，即可得到所求最小值.

本题考查对数函数的图象和性质，注意运用数形结合思想方法，考查运算能力，属于基础

题.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了指数函数，对数函数的应用，涉及到三角函数的诱导公式的应用，属于基础

题.

利用指数函数，对数函数的性质以及余弦函数的诱导公式即可判断求解.

【解答】

解：因为a=(；)-02=e02>e°=l,

0<b=lg2<IglO=1,c-cosy-——cos看<0,

则a,b,c的大小关系为c<b<a,

故选：D.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本

题的关键，是基础题.

判断函数的奇偶性和对称性，利用当0<x<却寸，/(X)<x进行判断即可.

【解答】

解：f(-x)=-xcos(-x)=—xcosx=-/(%),则f(x)是奇函数，排除D,

当OVxV5时，/W=xcosx<%,排除C,

故选：A.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查对数求值，属于基础题.

由对数估值可得304lgx<31,求出范围，对照对数表可得结果.

【解答】

解：设此数为％，贝U304lgx<3L

11

电好4=—lgX>

而0.4688《粤<04844,观察已知数据，

64

1

X64=3'

故选：B.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查函数单调性与奇偶性的综合应用，属于中档题.

利用f(x)的奇偶性与单调性将不等式转化为cosx>3-m成立，求出cos%的最大值即可求

得m的取值范围.

【解答】

解：因为函数为奇函数，且在R上单调递增，

所以不等式/(cosx)+f(m-3)>0成立等价于/1(cosx)>-/(m-3)=/(3-m)成立，

所以cosx>3—7n成立，

即(cosx)max>3—M,即1>3—Hl,解得m>2,

即实数Tn的取值范围是(2,+8).

故选：D.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了函数零点与方程根的关系，考查学生转化能力，属于中档题.

把问题转化为函数y=/(x)与y=2g(a)图象有交点，再解不等式—1<a2-2a<8,最后

计算得结论.

【解答】

解：因为存在实数m,使/'(m)-2g(a)=0成立，

所以关于m的方程/(m)-2g(a)=0有解，

即函数y=/0)与丫=2g(a)图象有交点.

当一174x40时，/(x)=|x+1|e[0,16],

当e-24x&e时，/(x)=InxG[—2,1],

故函数/(x)的值域为[-2,16],

存在实数m,使/(小)-2g(a)=0,

故一2<2g(a)<16,

又因为g(x)—x2-2x,

所以—lSa2-2aS8,

解得一2<a<4,

即实数a的取值范围是[—2,4].

故选。.

9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查了全称量词命题的否定、不等式性质、对数函数的性质及扇形的弧长与面积公

式，属于基础题.

根据全称量词命题的否定判断4取例判断B,根据对数函数性质判断C,求出r,I判断D.

【解答】

解：4命题“VxGR,sinx>-1"的否定是'TxGR,sinx<-1",故正确；

比取a=-2,b=-1,满足a<b<0,但不满足一工>一:，故错误；

ah

函数。且丰的图象过定点故正确;

C./(x)=loga(x-1)+l(a>a1)(2,1),

。.因为扇形的周长为6cm,面积为2cm2,

所以rJU解得:忆:或忆点

所以a=1或a=4,

又因为0<a<兀，

所以a=l,故正确；

故选：ACD.

10.【答案】AB

【解析】

【分析】

本题考查函数的值域、最值及函数的奇偶性，属于基础题.

由奇偶性定义可判断AB;利用基本不等式求得f(x)的值域，即可判断C；利用单调性可判断

D.

【解答】

解：对于A,因为/(-x)=-x-1=-(x+1)=-/(%),所以f(x)为奇函数，故A

正确；

对于B,因为所以g(-%)=21r।=2田=g(x),所以g(%)为偶函数，故8正确；

对于C,当无>0时，/(%)=%+>2,当且仅当％=%即x=1时等号成立；

当％<0时，/(%)=-[(-%)+(—；)]<-2,当且仅当一%=-p即％=-1时等号成立，

即f(%)的值域为[2,+8)u(-oo,-2],故C错误;

对于0,当％NO时，g(x)=2%是单调递增函数，所以g(x)21;

当％<0时，g(x)=2r=(今"是单调递减函数，g(x)>1,

所以g(x)有最小值为1,故。错误.

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，需

要学生熟练掌握公式，属于中档题.

根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，即可得到结论.

【解答】

解：：/(%)=3sin(2x+尹)，

■-T=—==7T,故A正确；

M2

.•心+工=型，

623

・•・可得f的是/(X)的最小值，故B正确；

,••/I.)=3sin(2x看+0)=3,

・•・sin(1+(p)=1,

=7o+2kn,kEZ,

:'/(%)=3sin(2x+74-2/CTT)=3sin(2x+7),

66

xe[0,1],2x+1eY]>

.1•/(%)=3sin(2x+.)6[一|,3],故C错误，

将f(x)的图象向右平移合个单位得到的图象为

/(X-=3sin[2(尤-刍+*=3sin2x,故£>正确.

故选：ABD.

12.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数诱导公式、扇形面积公式及利用二分法求函数的零点，属于基础题.

根据任意角的定义、扇形面积的计算公式、二分法以及sina+cosa,sina-cosa之间的关

系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【解答】

解：对A若。是第二象限角，则cos(—a)=cosa<0,tan(7r+a)=tana<0,故点P在第

三象限，则A正确；

对B.根据题意，扇形面积S="x1x2?=2,故8正确；

对C.对log2%=4—%,当x=2时log?2=1<4—2=2,当x=3时，log23>4—3=1,

故可以取的一个区间是(2,3),则C正确；

对D.a£(加,当,Basina+cosa=—(,则1+2sinacosa=黑解得sinacosa=

则sina—cosa=±V1-2sinacosa—±1>故。错误.

故选ABC.

13.【答案】2

【解析】

【分析】

本题主要考查了同角三角函数的基本关系，考查转化计算能力.

将原式分子分母同时除以cosa,化为关于tana的三角式求解.

【解答】

解：将原式分子分母同时除以cosa,得警！空吧=警号=2,

sma-cosatana-1

故答案为：2.

14.【答案】志(答案不唯一)

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是塞函数的图象的性质，单调性的定义，熟练掌握函数的图象和性质，

理解函数性质的定义是解答本题的关键，属于基础题.

根据幕函数在第二象限内有图象，及/(%)在(0,+8)上是减函数，即可写出满足条件的一个

函数解析式.

【解答】

解：由塞函数/'(为二都在第二象限内有图象，所以％<0,y>0;

对于任意两个不同的正数a,b,都有空二倍<0恒成立,则f(x)在(0,+8)上是减函数,

所以事函数的解析式可以是/(x)=妥，

其图象如图，满足条件①②，

15.【答案】20

【解析】

【分析】

本题考查函数y=4s讥3%+@)+K解析式的确定，属于中档题.

依题意，可设y=Zsin(3%+0)+匕易求4,3,k,仍代入％=10即可获得答案.

【解答】

解：设点8的方程为y=/sin(3%+3)+k,

依题意得｛"葭空，

解得4=40,k=42,

又因为7=12=4，

0)

所以3=*,

O

此时y=40sin(^x+0)+42,

又当久=0时，y=2,

所以40sin(p4-42=2,

sm(p=-1,cp=

所以y=40sin(^t—1)+42=-40cos1x+42,

所以当x=10时，y=-40cos偿X10)+42=22m,

所以P距离地面的高度h=22-2=20m.

故答案为20.

16.【答案】6

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用基本不等式求解最值.

由已知得，a+3b=9—ab=9—X3b-a)29—gxd^)2,解不等式即可求解.

【解答】

解：因为Q,b为正实数，且ab+a+3b=9,

所以a+3b=9—ab=9—：(3b-a)

寸一寸(丁)2,

当且仅当a=3b时取等号，

整理得(a+3b尸+12(a+3b)-108>0,

解得a+3b>6或a+3b<-18(舍)，

则a+3b的最小值为6.

故答案为：6.

sin(7r+a)cos(7r-a)tan(20227r+a)_(-sina)(-cosa)tana_.

17.【答案】解：(1)sin(^-a)tan(-a)cosa(-tana)

2

(2)eln2+0.125*+log69=2+4+4=10.

【解析】本题考查利用诱导公式化简求值，考查指数、对数的运算性质，属于基础题.

(1)直接根据诱导公式化简即可求得；

(2)根据指数、对数运算性质计算即可.

18.【答案】解：(1)若a=l,b=0.

•••f(x)图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离为今

2n今

•*-0)=­=2,

•••f(x)=sin(2x+),

①令2x+g=]+卜">k&Z,

赃W+殍

所以f(x)图象的对称轴方程为“"+春，k&Z.

令2X+J=/OT,kez,则％=_]+”,

5oL

所以f(x)图象的对称中心的坐标为(4+:,0),k&Z.

②令2/OT—三2%+三2"+其卜62),则卜兀—瑞—wk兀+"(keZ),

当k=0时，一号WxW刍当k=l时，%

(L乙XI〃X

函数/(x)在[0,扪时的单调增区间为[0,各厝，用.

(2)•:x£R,

.­.sin(2%+^)G[-1,1],且由已知可得QR0.

若Q>0,则/(%)max=Q+b=5,/(X)min=一。+b=-1,

解得｛二；

若Q<0,则f(〈max=一。+匕=5,/Q)min=Q+b=-1,

解得d;

综上得:K:强仁.

【解析】本题主要考查了函数丁=加出(3%+8)的图象与性质，函数的周期性与对称性，

三角函数的最值的应用，属于中档题.

(1)根据已知及函数y=Asin^x+租)的图象与性质，求出函数f(x)图象的对称轴方程和对

称中心的坐标，从而求出函数f(x)在[0,网上的单调增区间；

(2)根据已知及三角函数的最值的计算，求出实数a,b的值.

19.【答案】解：(1)当a=l时，函数/'(x)=M一2%—3,

不等式/(x)>0,即久2-2%-3=(x+1)(%-3)>0,

解得x<-1或%>3,即不等式/'(x)>0的解集为(-8,-1]u[3,+oo)；

(2)由函数/(x)=x2-2ax-3,可得f(x)的图象开口向上,

且对称轴为x=a，要使得/(%)在［3,+8)上单调递增，

则满足aS3,所以a的取值范围为(一8,3］；

(3)由函数f(乃=土一2"-3,可得f的图象开口向上,

且对称轴为x=a,当aW-l时，函数/(x)在上单调递增，

所以f(%)最小值为/(-1)=2a-2；

当-l<a<2时，函数/(%)在［-1,团递减,在阿2］上递增，所以/'(x)最小值为/(a)=

—a2-3；

当a22时，函数f(x)在［-1,2］上单调递减，所以f(x)最小值为/(2)=l-4a,

(2Q—2,aW—1

综上可得，谷为在［-1,2］上的最小值为=-a2-3,-l<a<2.

11—4a,a>2

【解析】本题考查二次函数的性质，考查不等式的解法，属于基础题.

(1)把a=1代入函数解析式，利用因式分解可得二次不等式的解集；

(2)求出二次函数的对称轴方程，结合函数的单调性可得关于a的不等式，求解得答案;

(3)利用二次函数性质求最值.

20.【答案】解：(1)当a=b=1时，f(x)=舄,因为/+1>0

由/(x)>1整理得/+%-6<0,

解得一3<x<2,

所以不等式f(x)>1的解集是(一3,2),

(2)方法一：因为"2)=1,所以2a+b=3,

/+齐家/+》,3+6)=*5+白+号)，

因为3+第区军=4，

2ab72ab

所以;+：23,即;+，的最小值是3.

2ab2ab

当且仅当/=与即b=4a时等号成立，又2a+b=3,

所以a=I，b=2,

方法二：因为八2)=1,所以2a+b=3,圭+2=£+2=导=我事

令t=4—b,因为0VbV3,所以1V£V4,

_1_4_3t_3

则2ab--t2+5t-4.5—(£+》，

因为亡+±22/=4,当且仅当t=2时等号成立，

t~\t

所以43£+；<5,所以0V5—(匕+；)工1,

所以;+，33,即;+：的最小值是3.

2ab2ab

当且仅当t=4—b=2,b=2时等号成立，

所以a=I，b=2.

【解析】本题主要考查了不等式的求解及利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行合

理的变形配凑基本不等式的应用条件，属于中档题.

(1)把a=b=1代入己知函数解析式，然后求不等式的解集；

(2)方法一：由f(2)=l,代入得2a+b=3,然后结合乘1法，利用基本不等式可求；

方法二：由/"(2)=1,得2a+b=3,变形得六+*=分居=岁整，利用换元

法进行变形后，利用基本不等式可求.

21.【答案】解：⑴因为3>0,函数f(x)=2s讥(3X—5)+1在生曾上单调递减，

所以，解得3W2.

20)63

又39一名之5，且—・44解得

J。4DOZ

综上，3=2.

⑵由(1)知/(%)=2s讥(2%—6+1,所以，g(x)=2sin(2x-^)+1+k.

由于函数g(x)在区间［-相，软上有且只有一个零点，

等价于函数y=