2021-2022学年上海杨浦某中学高三最后一卷数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知M是函数.f(x)=lnx图象上的一点，过M作圆f+y2-2)，=0的两条切线，切点分别为则凉.砺

的最小值为()

A.272-3B.-1C.0D.*-3

2

2.设大x)是定义在K上的偶函数，且在(0,+8)单调递减，则()

3443

A./(log30.3)>/(2^)>/(2^)B./(log30.3)>/(2^)>/(2^)

C./”)>/(2-°-4)>/(log,0.3)D.C2")>f(2<3)>/(log.().3)

3.直线+,用_0经过椭圆一_；的左焦点-，交椭圆于--两点，交-轴于一点，若

■-十、--广自+言=『(二》二〉0)---

三=【三，则该椭圆的离心率是()

D・、J

4.已知函数〃x)=—g+2018tanx+x2(加若/(1)=3,则/(—l)等于()

A.-3B.-1C.3D.0

5.已知椭圆「:£•+E=1(4>匕>0)的左、右焦点分别为Fy,F2,上顶点为点A,延长A居交椭圆〃于点3,若AABFI

ab-

为等腰三角形，则椭圆厂的离心率e=

A.1B.且

33

C.-D.—

22

6.记单调递增的等比数列｛4｝的前〃项和为S,,,若4+。4=10，%%%=64,贝!!()

n+H

A.Sn+l-S„=2'B.勺=2"C.S“=2"—lD.5„=2-'-l

7.在AABC中，BD=^DC,则器=（）

1一3一2一1___

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

4433

1—2—1——2—

C.-AB+-ACD.-AB——AC

3333

8.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲：我的成绩比乙高.

乙：丙的成绩比我和甲的都高.

丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

9.已知A,B,C,。是球。的球面上四个不同的点，若4?=AC=DB=£）C=BC=2,且平面平面ABC,

则球。的表面积为（）

10.直线1过抛物线），2=4x的焦点且与抛物线交于A,B两点，则4|4用+|BF|的最小值是

A.10B.9C.8D.7

11.已知2"=3〃=6,则。，b不可能满足的关系是。

A.a+b=abB.〃+。>4C.（6r-l）2+（/?-1）"<2D.ci2+b2>8

12.下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角

形ABC的斜边8C、直角边AB、AC,已知以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为,，记NABC=e,则

4

cos2a+sin2a=（）

8

D.-

5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图所示，在△ABC中，AB=AC=2,AD=DC，DE=2EB，AE的延长线交5c边于点尸，若A广8。=-1,

则衣•/=____•

14.在AA3C中，内角A,6,C所对的边分别是。,"c.若人sinA=asinC,c=\,则/?=_,△钻C面积的最大值

为一

15.已知/(x)=x|x|,则满足了(2x-l)+/(x)20的x的取值范围为.

16.已知复数z=(a+2i)(l+i),其中i为虚数单位，若复数z为纯虚数，则实数。的值是一.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/.(x)=e\

(1)求曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程;

(2)若对任意的meR,当x＞()时，都有〃,恒成立,求最大的整数%.

(参考数据：e久1.78)

18.(12分)已知数列｛%｝满足，4=1,%=4,且4+2-4〃“+]+3。"=0(〃eN).

(1)求证：数列｛。,+「可｝为等比数列，并求出数列｛4｝的通项公式;

(2)设2=2〃•%,求数列也｝的前〃项和S“.

22

19.(12分)如图，设椭圆C：二+2=1(.＞。＞0),长轴的右端点与抛物线C2：尸=8彳的焦点尸重合，且椭

ab

圆G的离心率是

V

(I)求椭圆G的标准方程;

(U)过尸作直线/交抛物线g于A,B两点,过尸且与直线/垂直的直线交椭圆G于另一点。，求AABC面积的

最小值，以及取到最小值时直线/的方程.

20.(12分)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单

x=-l+fcosa

位.已知曲线C的极坐标方程为夕=2cos〃，直线/的参数方程为《6为参数，a为直线的倾斜角).

y=rsina

(1)写出直线I的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

⑵若直线/与曲线C有唯一的公共点，求角a的大小.

21.(12分)已知数列｛4｝是等差数列，前〃项和为S“，且$5=3%,4+4=8.

(1)求.

(2)设“=2"q,求数列也｝的前〃项和

22.(10分)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bcosA-&asinB=I.

(1)求A；

(2)已知a=2百，B=y,求△ABC的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

先画出函数图像和圆，可知若设=贝“两卜|砺|=1)，所以

MA-MB^MA^cos2^=2sin20+—^--3,而要求必.砺的最小值，只要sin。取得最大值，若设圆

sin6

尤2+/-2y=0的圆心为C,贝代皿。=启，所以只要|MC|取得最小值，若设M(x,lnx),则

|MC|2=f+(inx—1)2,然后构造函数g(x)=x2+(]nx—l)2,利用导数求其最小值即可.

【详解】

记圆/+9一2y=0的圆心为C,设NAMC=6,贝!!|必卜何用=“^与11。=而，设

M(x,lnx),|MC|2=x2+(lnx-l)2(记g(无)=1+(lnx-l)2,贝!j

i2

gf(x)=2x+2(lnx-1)•—=—(x2+Inx-1),令〃(x)=x2+lnx-l,

xx

因为僦幻=/+111%_1在(0,+0))上单调递增，且力⑴=0,所以当0<x<l时，/7(x)</l)=0,g'(x)<0；当x>l

时，Mx)>MD=0,/(x)>0,则g(x)在(0,1)上单调递减，在。,”)上单调递增,所以g(x)mm=g6=2,即

交，所以祝•砺=|初12cos26=241?。+一一一3>0(当sin。=立时等号成立).

|MC|®/2,0<sin6>

2sin-62

此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.

【解析】

利用“X)是偶函数化简"log30.3),结合/(X)在区间(0,+。)上的单调性，比较出三者的大小关系.

【详解】

・••f(x)是偶函数，/(10g30.3)=/(-log3—)=/(log3—),

4

而log3—>1>243>2-°->0,因为/(X)在(0,+8)上递减，

034

.­./(log3y)</(2-')</(2-0-),

即/(log3().3)</(2/3)</(25).

故选:D

【点睛】

本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.

3.A

【解析】

由直线二一、1二+=0过椭圆的左焦点二，得到左焦点为二(一、弓,。)，且二：一二二二y

再由三代入椭圆的方程'求得一如,进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解・

L—A

【详解】

由题意，直线二_e+、疗=作过椭圆的左焦点二，令二=0,解得二=w，

所以二=、?即椭圆的左焦点为二(_、g°；,且二；一二；=3①

直线交二轴于二(0」y所以，|二二|=、尽|二二|=/,|二二|=2，

因为二二二，二二,所以|二二|=所以(？.、，

又由点-在椭圆上，得..②

-盘+当号

由二二，可得4二：一24二：+9=0，解得一，”?+/

0=——

所以:«__、，，

>不=由="2、―/)，

所以椭圆的离心率为二=J

故选A.

【点睛】

本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出--，代入

公式_②只需要根据一个条件得到关于二二二的齐次式，转化为二二的齐次式，然后转化为关于二的方程，即可

_——

得二的值(范围).

4.D

【解析】

分析：因为题设中给出了/。)的值，要求/(—1)的值，故应考虑了(x),/(-X)两者之间满足的关系.

x

rn-1

详解：由题设有f(-x｝=-----2018tanx+x2=-------2018tanx+x2,

m~x+1mx+1

故有〃x)+/(-X)=l+2f,所以/(1)+/(—1)=3,

从而/(一1)=0,故选D.

点睛：本题考查函数的表示方法，解题时注意根据问题的条件和求解的结论之间的关系去寻找函数的解析式要满

足的关系.

5.B

【解析】

设则|»；上2。一,\AB\=a+t,

因为|Af；|=a,所以若[4用=|8"，贝!|“=为―，所以a=f,

所以|AEI+|%RAB|=2a,不符合题意，所以|5甲=|AB|,则以-r=a+t,

所以a=2r,所以|B£|=|AB|=3r,|AFt|=2t,设NBA[=2，，贝!]e=sin。，

在中，易得cos26=g,所以l-2sin2e=；,解得sin8=@(负值舍去)，

所以椭圆厂的离心率e=上.故选B.

3

6.C

【解析】

先利用等比数列的性质得到的的值，再根据/，4的方程组可得与，4的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通

项和前"项和，根据后两个公式可得正确的选项.

【详解】

因为｛4｝为等比数列，所以雨=々4,故嬉=64即。3=4,

+ciA—10Q,--2Q,--8—2

由'可得■。或-C，因为｛4｝为递增数列，故'。符合.

%。4=16[a4=8[%=2[a4=8

此时才=4,所以4=2或q=-2（舍，因为｛《,｝为递增数列）.

故%=/广3=4*2"3=2K，§J"。—？")=2"_卜

"1-2

故选C.

【点睛】

一般地，如果｛《,｝为等比数列，S”为其前”项和，则有性质:

(1)若机,”,p,qwN*,加+〃=〃+4,则aman=apaq;

(2)公比时，则有S“=A+8q",其中A6为常数且A+3=0；

（3）Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,-为等比数列（S“H0）且公比为二.

7.B

【解析】

在上分别取点区凡使得南=22反击而，

可知AEOE为平行四边形，从而可得到45=4笈+4户=二/^+二46，即可得到答案.

33

【详解】

如下图，BD=^-DC,在A8,AC上分别取点从厂,使得南=2而，赤=j定,

22

________9__।___

则AEDF为平行四边形，故A方=A笈+而=—A月+-AC，故答案为B.

33

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题.

8.A

【解析】

利用逐一验证的方法进行求解.

【详解】

若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙

预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙

比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A.

【点睛】

本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力.题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查.

9.A

【解析】

由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案.

【详解】

如图，

取BC中点G,连接AG,DG,则AG_LBC,DG_LBC,

分别取AABC与ADBC的外心E,F,分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O,

则O为四面体A—BCD的球心，

由AB=AC=DB=DC=BC=2,得正方形OEGF的边长为也，则OG=Y5,

33

四面体A-BCD的外接球的半径R=7OG2+BG2

•••球O的表面积为4兀x(J|)2=竿.

故选A.

【点睛】

本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.

10.B

【解析】

112

根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得为+时=}=1；再由基本不等式可求得4|AF|+|M|的最小值.

【详解】

由抛物线标准方程可知p=2

因为直线1过抛物线），2=4x的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知

112

--------1--------=—

\AF\\BF\p

所以耳+忸目

=(4|AF|+|BF|)-

U11

(Ml忸川

…端嘴)

因为a目、忸同为线段长度，都大于o,由基本不等式可知

3+附|BF|4|AF

4+1+【网\BF\]>5+2k*两

>5+2x2

>9,此时忸q=2|A目

所以选B

【点睛】

本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题.

11.C

【解析】

根据2"=3〃=6即可得出。=1+1〃23,b=l+log32,根据啕3」呜2=1,log32+log32>2,即可判断出结

果.

【详解】

•••2"=3〃=6;

a=log26=1+log23,b=log36=1+log32；

Aa+Z?=2+log23+log32>4,ab=2+log23+log32>4,故A,3正确;

22

(a—1)2+(人-1)2=(log23)+(log32)>21og23-log32=2,故C错误；

2222

Va+b=2+2(log23+log32)+(log23)+(log32)

>2+4^/log23-log32+2log23-log32=8,故D正确

故C.

【点睛】

本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a+622必和不等式222ab的应用，

属于中档题

12.D

【解析】

Ar।

根据以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比求得——=-,即tana的值，由此求得sine和cosa的值，进而求

AB2

得所求表达式的值.

【详解】

1]112

由于直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为一，所以——=-,即tana=—,所以sina=7，cosa=一尸，

4AB22V5<5

.4cl28

所以COS,：a+sin2a=y+2x8

故选：D

【点睛】

本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

11—.4—•1—■—.—A2

过点。做。G||4F,可得EF=—AF,BF=—BC,AE=—AB+—AC由A尸BC=-'可得cos/84C=—,可

6555,3

umuuu54umiumum

得AE・AC=—(—A5+—AC)・AC,代入可得答案.

655

【详解】

解：如图，过点。做。G||A/,

B

易得：里=^=L,EF=>DG,

DGBD33

DGCD1“八61,.一后B1L

---==—，故。G=—A/7,可得：EF——A1tF,

AFAC226

=EBFBE]FGAD\一3n.1八〃

问理：-——,——一，可得BF——BC,

FGED2GCCD15

AF^AB+BF^AB+-BC^AB+-(AC-AB)^-AB+-AC,

5555

由AR.BC=_?,可得(9丽+」正)•(前一通)=，恁2_&通2+2顺亚=_9

5555555

14242

可得：-x4——x4+—x2x2cosABAC-——，可得：cosABAC-—,

55553

AE-AC=-AF-AC=-(-AB+-AC)-AC=-AB-AC+-AC2^-x2x2x-+-x4^—,

6655353369

22

故答案为：

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出DG\\AF是解题的关键.

1

14.1-

2

【解析】

由正弦定理，结合8sinA=asinC,c=\,可求出6；由三角形面积公式以及角A的范围，即可求出面积的最大值.

【详解】

因为力sinA=asinC,所以由正弦定理可得Z?a=ac,所以/?=c=l;

所以历$讥4=gs山当s讥4=1，即A=90°时，三角形面积最大・

故答案为(1).1(2).g

【点睛】

本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.

I、

is.r-,+oo)

3

【解析】

将/(X)写成分段函数形式，分析得/(X)为奇函数且在R上为增函数，利用奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.

【详解】

根据题意，f(x)=x|x|=〈，

-x,x<0

则/(X)为奇函数且在R上为增函数，

则/(2x-1)+f(x)>0=^f(2x-1)>-f(x)=>/'(2x-1)>f(-x)=>2x-1>-x,

解可得应,，即X的取值范围为J,+oo)；

33

故答案为：［§,+8).

【点睛】

本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，注意分析/(X)的奇偶性与单调性.

16.2

【解析】

由题，得z=(a+2i)(l+i)=a—2+(a+2)i,然后根据纯虚数的定义，即可得到本题答案.

【详解】

由题，得z=(a+2i)(l+i)=a—2+(a+2)i,又复数二为纯虚数，

所以。一2=0,解得。=2.

故答案为：2

【点睛】

本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)丁="(2)2

【解析】

(1)先求得切点坐标，利用导数求得切线的斜率，由此求得切线方程.

(2)对，"分成，根=0,加工0两种情况进行分类讨论.当“时，将不等式机24>2辰〃2-1转化为

X

21

2/(%)+1>^—,构造函数〃(X)=2/(X)+L利用导数求得力(x)的最小值(设为的取值范围，由

xmx

a>2屏:T的得am2-2J及加+1〉0在加eR上恒成立，结合一元二次不等式恒成立，判别式小于零列不等式,

解不等式求得攵的取值范围.

【详解】

(1)已知函数/*)=",则(1"⑴)处即为(l,e),

又/'(x)=e*,k=f'(1)=e,

可知函数/*）=/过点（1,八1））的切线为^一6=6（%一1）,即丁=幺.

（2）注意到x>0,

不等式，/>2\/5嬴-1中,

当机=0时，显然成立;

当机H0时，不等式可化为2/（©+1>2叵:一1

xm~

令〃(x)=2/(x"=2靖+L则h'(x)=2ex-二,

XXX

2e3-3®2xl.78-3>0

由于y=2e'在（0,+⑹上递增，了=+在（0,+。）上递减，所以改,是"（x）的唯一零点.

且在区间（0,不）上"（x）<0,〃⑶递减，在区间（知心）上"（x）>°，〃（%）递增，

即/7(无)的最小值为%(*0)=2e*+—-—+—,令一=tG(-73,2),

%x。%/

则-l+’*=〃+/e（3+G,6）,将〃（x）的最小值设为“，则aw（3+6,6）,

/与

因此原式需满足a>2叵"1,即anr-2而m+T〉O在mwR上恒成立,

nr

又a>(),可知判别式A=8左一4a<0即可，即％<■!■,且“旺(3+6,6)

攵可以取到的最大整数为2.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于

难题.

18.(1)证明见解析；氏=2二1(2)s=(2"T)x3叫3一"("+1)

"2"42

【解析】

(1)根据题目所给递推关系式得到见+2-。,用=3(。,向-%),由此证得数列｛4+「可｝为等比数列，并求得其通项公

式.然后利用累加法求得数列｛4｝的通项公式.

(2)利用错位相减求和法求得数列抄“｝的前”项和S“

【详解】

⑴己知4+2-4。用+3牝=0,

则见+2-4川=3(4向—风)，

且生一4=3,贝！I｛4,「4｝为以3为首相，3为公比的等比数列，

w3〃-1

所以见+i=3",an=(«„-)+(a„_1-an_2)+....+(a2-«,)+«,=?•

n

(2)由(1)得：hn=n-3-n,

7；,=1X3'+2X32+……+〃x3",①

37；,=1X32+2X33+……+(〃-I)x3"+〃x3'"l②

①一②可得-2T„=3'+32+……+3”-〃x3,,+1=3~3—〃x3,,_),

制T3,,+'-3nx3n+t(2n-l)x3n+,+3

424

即Sr(2〃1)x3"+、3〃(〃+1)

“-42-'

【点睛】

本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查累加法求数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.

19.（I）—+/=1；（II）AABC面积的最小值为9,x=±—y+2.

42

【解析】

（I）由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的“，再由离心率可求得c,从而得。值，得标准方程；

（H）设直线/方程为了=〃少+2,设4和弘）,8（＞2，%），把直线方程代入抛物线方程，化为）'的一元二次方程，由

韦达定理得M+%，X＞2,由弦长公式得|A6|，同理求得C点的横坐标，于是可得|EC将面积表示为参数的函数,

利用导数可求得最大值.

【详解】

（I）•••椭圆G：7+F=1（。〉。＞0）,

长轴的右端点与抛物线。2：y2=8光的焦点尸重合,

1・a=2,

又•・,椭圆G的离心率是苴，・・・c=G，b=l,

2

2

椭圆G的标准方程为?+V=1.

（II）过点尸（2,0）的直线/的方程设为％=冲+2,设A（X，x）,B（x2,y2）,

x=my+2c

联立2、得,_8/ny-16=0,

y=Sx

・•・,+%=8加，%必=-16,

二|=Jl+＞］（必+%）2-4），|必=8（l+m2）.

过F且与直线l垂直的直线设为y=-m（x-2）,

y=

联立《7得（1+4］卜2-16m2x+16m2-4=0,

X21

—+y=1

4

16m2_2（W-1）

xc+2=队

1+4m24/n2+1

|CF|=Jl+M\xc-xF——y----J1+一2

4m+1

AABC面积S=-|AB|.|CF|=.Ji+/.

211114m2+1

,_____i以3,、16⑷J9产)

令Jl+M=t，则S=/(f)=五=，/{)=(4产_3)2'

og

令/'(。=0,则r=一，即1+机2=一时，AABC面积最小，

44

即当加=±正时，AABC面积的最小值为9,

2

此时直线/的方程为x=±且y+2.

2.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，抛物线中弦长的求解，涉及三角形面积范围问题，利用导数求函数的最值问题，属综合困

难题.

TTTT

20.(1)当a=—时，直线/方程为工=-1；当aw—时，直线/方程为

22

7?、冗

j=(x+l)tana；xz+y2=2x(2)一或一.

66

【解析】

(1)对直线，的倾斜角分类讨论，消去参数:即可求出其普通方程；由22=/+/,Pcos6=x,即可求出曲线C的

直角坐标方程；

(2)将直线/的参数方程代入曲线C