新教材2024年秋高中数学第5章三角函数5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念第2课时三角函数值的符号及公式一教师用书含答案新人教A版必修第一册

第2课时三角函数值的符号及公式一1．能利用三角函数的定义，推断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号．(逻辑推理)2．通过随意角的三角函数的定义，理解终边相同的角的同一三角函数值相等．(数学运算)从定义与实例都可以看出，随意角的正弦、余弦与正切，都既有可能是正数，也有可能是负数，还可能为0．它们的符号与什么有关？试总结出随意角的正弦、余弦与正切符号的规律．学问点1正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．学问点2诱导公式一1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0． ()(2)若sinα>0，则α是第一或其次象限角． ()[答案](1)√(2)×2．求值：(1)sin390°＝________；(2)cos(－330°)＝________；(3)tan750°＝________．(1)12(2)32(3)33[(1)sin390°＝sin(360°＋30°)＝sin30°(2)cos(－330°)＝cos(－360°＋30°)＝cos30°＝32(3)tan750°＝tan(720°＋30°)＝tan30°＝33．类型1推断三角函数值的符号【例1】(源自人教B版教材)确定下列各值的符号．(1)cos260°；(2)sin-π3；(3)tan(－672°20′)；(4)tan[解](1)因为260°是第三象限角，所以cos260°<0．(2)因为－π3是第四象限角，所以sin-π(3)由－672°20′＝47°40′＋(－2)×360°，可知－672°20′是第一象限角，所以tan(－672°20′)>0．(4)由10π3＝4π3＋2π，可知推断三角函数值符号的两个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来推断．[跟进训练]1．推断下列各式的符号：(1)sin145°cos(－210°)；(2)sin3·cos4·tan5．[解](1)∵145°是其次象限角，∴sin145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是其次象限角，∴cos(－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0．(2)∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，∴sin3·cos4·tan5＞0．类型2三角函数值符号的应用【例2】(源自湘教版教材)设sinθ<0且tanθ>0，试确定θ是第几象限角．[解]因为sinθ<0，所以θ的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上；又因为tanθ>0，所以θ的终边在第一、三象限．因此满意sinθ<0且tanθ>0的θ是第三象限角．由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中全部三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求．[跟进训练]2．(1)已知点P(tanα，cosα)在第四象限，则角α终边在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限(2)已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________．(1)C(2)－2＜a≤3[(1)因为点P在第四象限，所以有tanα>0，cos(2)因为cosα≤0，sinα＞0，所以角α的终边在其次象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋2)，所以3a-9≤0，a+2类型3诱导公式一的应用【例3】求值：(1)tan405°－sin450°＋cos750°；(2)sin7π3cos-23π6＋[解](1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32(2)原式＝sin2π+π3cos-4＝sinπ3cosπ6＋tanπ4cosπ3＝32×3利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的随意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z．(2)转化：依据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．(3)求值：若角为特别角，可干脆求出该角的三角函数值．[跟进训练]3．化简下列各式：(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1080°)；(2)sin-11π6＋cos125[解](1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2．(2)sin-116π＋cos12＝sin-2π+π6＋＝sinπ6＋0＝11．已知sinα＞0，cosα＜0，则角α是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角B[由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是其次象限角．故选B．]2．sin(－315°)的值是()A．－22B．－12C．22C[sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin45°＝22．故选C．3．(多选)下列选项中，符号为负的是()A．sin(－100°) B．cos(－220°)C．tan10 D．cosπABD[－100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在其次象限，故cos(－220°)<0；10∈3π，7π2在第三象限，故tan10>0；4．计算：sin25π6＋cos-17π3＋2[原式＝sin4π+π6＋cos-6π+π3＋tan2π+π4＝sinπ6回顾本节学问，自主完成以下问题：1．三角函数值的符号有何规律？[提示]“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．2．诱导公式一的实质、结构特征及作用是什么？[提示](1)公式一的实质是终边相同的角的同一三角函数的值相等．(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋2kπ，右边的角为α．(3)公式一的作用：把求随意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．三角函数在单位圆中的几何表示及应用设角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图(1)，过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直y轴于点N，则点P的坐标为(cosα，sinα)，其中cosα＝OM，sinα＝ON，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．以