2024新教材高中数学第一章预备知识3不等式3.1不等式的性质素养作业北师大版必修第一册

PAGEPAGE1第一章§33.1A组·素养自测一、选择题1．若某高速马路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，则用不等式表示为(B)A．v≤120km/h或d≥10m B．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(v≤120km/h，,d≥10m))C．v≤120km/h D．d≥10m[解析]考虑实际意义，知v≤120km/h，且d≥10m．2．已知0＜a＜1，0＜b＜1，记M＝a·b，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是(C)A．M＜N B．M＝NC．M＞N D．不确定[解析]∵0＜a＜1，0＜b＜1，M＝a·b，N＝a＋b－1，∴M－N＝a·b－a－b＋1＝(a－1)(b－1)＞0，∴M＞N．3．已知a＋b＜0，且a＞0，则(A)A．a2＜－ab＜b2 B．b2＜－ab＜a2C．a2＜b2＜－ab D．－ab＜b2＜a2[解析]方法一：令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，从而a2＜－ab＜b2，而B、C、D都不成立，∴选A．方法二：由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b．因为a2－(－ab)＝a(a＋b)＜0，所以0＜a2＜－ab，又0＜a＜－b，所以0＜－ab＜(－b)2，所以0＜a2＜－ab＜b2，选A．4．已知a＋b＞0，b＜0，则a，b，－a，－b的大小关系是(C)A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－b＞－a＞bC．a＞－b＞b＞－a D．a＞b＞－a＞－b[解析]因为a＋b＞0，b＜0，所以a＞－b＝|b|＞0，所以必有a＞－b＞b＞－a．5．若不等式a＞b与eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)同时成立，则必有(C)A．a＞b＞0 B．0＞eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．a＞0＞b D．eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)＞0[解析]若a＞b＞0，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，同理0＞a＞b时，eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，所以只有当a＞0＞b时，满意eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)．6．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是(C)A．xy＞yz B．xz＞yzC．xy＞xz D．x|y|＞z|y|[解析]因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以3x＞x＋y＋z＝0，3z＜x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0．所以由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞z，))可得xy＞xz．二、填空题7．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y；②a＋x＞b＋y；③ax＞by；④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的不等式的序号是__②④__．8．已知2b＜a＜－b，则eq\f(a,b)的取值范围为__(－1，2)__．[解析]∵2b＜a＜－b，∴2b＜－b．∴b＜0．∴eq\f(－b,b)＜eq\f(a,b)＜eq\f(2b,b)，即－1＜eq\f(a,b)＜2．三、解答题9．已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc．[证明]∵a＞b，c＞0，∴ac＞bc．∴－ac＜－bc．又e＞f，即f＜e，∴f－ac＜e－bc．10．已知a＞b＞0，c＜d＜0，比较eq\f(b,a－c)与eq\f(a,b－d)的大小．[解析]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．又a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴eq\f(1,b－d)＞eq\f(1,a－c)＞0，又a＞b＞0，∴eq\f(a,b－d)＞eq\f(b,a－c)．B组·素养提升一、选择题1．若－1＜α＜β＜1，则下列不等式恒成立的是(A)A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜1[解析]∵－1＜β＜1，∴－1＜－β＜1，－2＜α－β＜2，又∵α＜β，∴α－β＜0，－2＜α－β＜0．2．(多选题)设0＜b＜a＜1，则下列不等式不成立的是(ABD)A．ab＜b2＜1 B．eq\r(a)＜eq\r(b)＜1C．1＜eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) D．a2＜ab＜1[解析]取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)验证可得A，B，D不正确．3．若p＝eq\r(a＋6)－eq\r(a＋4)，q＝eq\r(a＋5)－eq\r(a＋3)，其中a≥0，则p，q的大小关系是(A)A．p＜q B．p＝qC．p＞q D．由a的值确定[解析]由题意知p－q＝eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋3)－(eq\r(a＋4)＋eq\r(a＋5))，∵(eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋3))2－(eq\r(a＋4)＋eq\r(a＋5))2＝2eq\r((a＋3)(a＋6))－2eq\r((a＋4)(a＋5))，且(a＋3)(a＋6)－(a＋4)(a＋5)＝－2＜0，a≥0，∴2eq\r((a＋3)(a＋6))－2eq\r((a＋4)(a＋5))＜0，即(eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋3))2－(eq\r(a＋4)＋eq\r(a＋5))2＜0，∴p－q＝eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋3)－(eq\r(a＋4)＋eq\r(a＋5))＜0，故p＜q．4．(多选题)下列说法中正确的是(AC)A．若a＞b，则eq\f(a,c2＋1)＞eq\f(b,c2＋1)B．若－2＜a＜3，1＜b＜2，则－3＜a－b＜1C．若a＞b＞0，m＞0，则eq\f(m,a)＜eq\f(m,b)D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd[解析]对于A，∵c2＋1＞0，∴eq\f(1,c2＋1)＞0，∵a＞b，∴eq\f(a,c2＋1)＞eq\f(b,c2＋1)，故A正确；对于B，因为1＜b＜2，所以－2＜－b＜－1，同向不等式相加得－4＜a－b＜2，故B中说法错误；对于C，因为a＞b＞0，所以eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，又因为m＞0，所以eq\f(m,a)＜eq\f(m,b)，故C中说法正确；对于D，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时，才有ac＞bd，故D中说法错误，故选AC．二、填空题5．给出下列命题：①若a＜b，c＜0，则eq\f(c,a)＜eq\f(c,b)；②若ac－3＞bc－3，则a＞b；③若a＞b且k∈N＋，则ak＞bk；④若c＞a＞b＞0，则eq\f(a,c－a)＞eq\f(b,c－b)．其中正确命题的序号是__④__．[解析]①当ab＜0时，eq\f(c,a)＜eq\f(c,b)不成立，故①不正确；②当c＜0时，a＜b，故②不正确；③当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故③不正确；④a＞b＞0⇒－a＜－b＜0⇒0＜c－a＜c－b，两边同乘以eq\f(1,(c－a)(c－b))，得0＜eq\f(1,c－b)＜eq\f(1,c－a)，又a＞b＞0，∴eq\f(a,c－a)＞eq\f(b,c－b)，故④正确．6．实数a，b，c，d满意下列三个条件：①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c．则将a，b，c，d按从小到大的依次排列起来是__a＜c＜d＜b__．[解析]由a－d＝c－b，a＋d＜b＋c相加得a＜c；又b－d＝c－a＞0，得b＞d，又d＞c，故a＜c＜d＜b．三、解答题7．甲、乙两车从A地沿同一路途到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若a≠b，试推断哪辆车先到达B地．[解析]设A，B两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为t1，t2，则t1＝eq\f(2s,a＋b)，t2＝eq\f(s,2a)＋eq\f(s,2b)．因为t1－t2＝eq\f(2s,a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(s,2a)＋\f(s,2b)))＝eq\f(s[4ab－(a＋b)2],2ab(a＋b))＝－eq\f(s(a－b)2,2ab(a＋b))＜0，所以t1＜t2，所以甲先到达B地．8．已知函数f(x)＝ax2－c，－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．[解析]因为f(x)＝ax2－c，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(1)＝a－c，,f(2)＝4a－c，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－c＝f(1)，,4a－c＝f(2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)[f(2)－f(1)]，,c＝\f(1,3)f(2)－\f(4,3)f(1)，))所以f(