2023-2024学年福建省莆田市城厢区砺成中学九年级（下）月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省莆田市城厢区砺成中学九年级（下）月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.−2的倒数是(

)A.2 B.−2 C.0 D.−2.据初步统计，2016年高青县实现地区生产总值(GDP)约为205.48亿元．其中205.48亿元用科学记数法表示为(

)A.205.48×107元 B.20.548×109元 C.2.0548×103.下列运算正确的是(

)A.a2⋅a3=a6 B.4.不等式x+1≤3的解集在数轴上表示正确的是(

)A. B.

C. D.5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，DC=13AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于(

)A.4 B.3 C.2 D.16.若两个相似三角形的周长比为1：3，则它们的面积比为(

)A.1：2 B.1：3 C.1：6 D.1：97.将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边AB/​/DF，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A=45°，则∠1的度数是(

)A.30° B.45° C.60° D.75°8.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”设绳索的长为x尺，下列方程正确的是(

)A.102+x2=(x+5)2 B.9.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠OAC=30°，OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，当DE=OD时，∠OCE的大小不可能为(

)A.20°

B.40°

C.70°

D.80°10.已知抛物线y=ax2+bx+4(a,b是常数，a≠0)，过点A(−3m,0)，B(m,0)，C(n,4)，若−4<n<−2，则m的取值范围是A.−2<m<−1 B.1<m<2 C.m<1或m>2 D.m<−2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.已知正比例函数y=kx(k≠0)，且y随x的增大而增大，请写出符合上述条件的k的一个值：______．12.正六边形的每个内角等于______°.13.已知关于x的不等式(a+2)x<1的解集为x>1a+2，则a的取值范围为______．14.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则方程a(x+315.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin(α+β)=______．

16.直线y=k1x(k1>0)与双曲线y=k2x交于点A和点C，点B在x轴的正半轴上，作点B关于AC的对称点D，现有结论：①BD一定垂直平分AC；②S△ABC=S△ADC=12三、计算题：本大题共1小题，共9分。17.先化简，再求值：(1−1a−1)÷a2四、解答题：本题共8小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题9分)

(−1)2020+(π+119.(本小题9分)

如图，在△ABC中，AB=AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D=∠CAE．

(1)求证：△ABD∽△ECA；

(2)若AC=6，CE=4，求BD的长度．20.(本小题9分)

下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种完成证明．等腰三角形判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D

证明：如图，作BC边上高线交BC于点D

21.(本小题9分)

嘉嘉和琪琪周末约好参观展览馆，如图是该展览馆出入口示意图.嘉嘉和琪琪分别从两入口进入参观．

(1)参观结束后，嘉嘉从C出口走出的概率是______．

(2)参观结束后，通过画树状图或列表求嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率．22.(本小题9分)

某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资建设了日废水处理为a吨的废水处理车间，对该厂工业化废水进行无害化处理，但随着工厂生产规模扩大，该厂需将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理，已知该车间处理废水，每天需固定成本20元，并且每处理一吨废水还需要其他费用7元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付11元，根据记录，某日该工厂产生废水30吨，共花费废水处理费270元，求该车间的日废水处理量．23.(本小题9分)

在学习《圆》这章时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题.在图形旋转的综合问题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：

已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D是△ABC内一点，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，连接CE，DE，AD，并延长AD交直线CE于点F.请解答下列问题：

(1)当点D在如图所示的位置时，

①求∠DFC的度数；

②利用题干中的结论，证明：B，D，F，E四点共圆；

(2)连接FB，点D在△ABC内部运动的过程中，若FD=3，FE=1，直接写出线段FB的长．24.(本小题11分)

问题提出

(1)如图①，在△ABC中，BC=6，D为BC上一点，AD=4，则△ABC面积的最大值是______．

问题探究

(2)如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．

问题解决

(3)如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB=40米，BC=30米，AC=50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘.已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC=60°，你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．

25.(本小题12分)

抛物线y=ax2−3ax−4ac(a<0)与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C．

(1)如图1，∠ACB=90°，求出抛物线的解析式；

(2)在(1)的条件下，点D(x1,y1)(x1<0)是抛物线上y=ax2−3ax−4ac的动点，直线DO与抛物线的另一个交点为E；

①若D、E关于点O对称，求D点坐标；

②若点P(0,m)是y轴上一点，直线参考答案1.D

2.C

3.D

4.A

5.C

6.D

7.C

8.B

9.C

10.B

11.y=2x(答案不唯一)

12.120

13.a<−2

14.−3或−2

15.216.②③

17.解：(1−1a−1)÷a2−4a+4a2−a

=a−1−1a−1÷18.解：(−1)2020+(π+1)0−4cos30°+9

=1+1−4×19.(1)证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠D=∠CAE．

∴△ABD∽△ECA；

(2)解：∵AB=AC，AC=6，

∴AB=AC=6，

∵△ABD∽△ECA，

∴BDCA=ABEC，

∴20.解：方法一：

证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D．

∴∠BAD=∠CAD，

在△ABD和△ACD中，

∠B=∠C∠BAD=∠CADAD=AD，

∴△ABD≌△ACD(AAS)，

∴AB=AC；

方法二：

证明：如图，作BC边上高线交BC于点D，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

在△ABD和△ACD中，

∠ADB=∠ADC∠B=∠CAD=AD，

∴△ABD≌△ACD(AAS)，21.(1)13．

CDEC(C,C)(C,D)(C,E)D(D,C)

(D,D)(D,E)E(E,C)(E,D)

(E,E)共有9种等可能的结果，其中嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的结果有3种，

∴嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率为39=22.解：若a≥30，则30吨废水应全部在本厂处理，

∴总费用20+30×7=230≠270，则说明a<30，

由题意，20+7a+11(30−a)=270，

解得：a=20，

∴该车间日废水处理量为20吨．

23.(1)①解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°

∴AB=BC，∠ABD+∠DBC=90°

∵线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，

∴BD=BE，∠EBC+∠DBC=90°，

∴∠ABD=∠EBC

∵△ABD≌△CBE(SAS)，

∴∠BAD=∠BCE，

∵∠BAD+∠DAC+∠ACB=90°，

∴∠BCE+∠DAC+∠ACB=90°，

∴∠DFC=90°；

②证明：∵∠DFC=90°，

∴∠DFE=90°，

∴∠DFE+∠DBE=180°，

∴B，D，F，E四点共圆；

(2)解：如图，连接BF，过点D作DH⊥BF于点H，

∵FD=3，FE=1，

∴DE=DF2+EF2=32+12=10，

∵BD=BE，∠DBE=90°，

∴∠BED=45°，BD=22DE=22×10=524.(1)12．

(2)∵矩形的周长为12，

∴邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6−m，

∴S=m(6−m)=−(m−3)2+9，

∵−1<0，

∴m=3时，S有最大值，最大值为9．

(3)葛叔叔的想法能实现，求解如下：

如图③中，

∵AB=40米，BC=30米，AC=50米，

∴AC2=AB2+BC2，

∴∠ABC=90°，

作△AOC，使得∠AOC=120°，OA=OC，以O为圆心，OA长为半径画⊙O，

∵∠ADC=60°，

∴点D在优弧ADC上运动，

当点D是优弧ADC的中点时，四边形ABCD面积取得最大值，

∵AD=CD，

∴△ADC是等边三角形，

∴AD=CD=AC=50，

设D′是优弧ADC上任意一点，连接AD′，CD′，延长CD′到F，使得D′F=D′A，连接AF，则∠AFC=30°=12∠ADC，

∴点F在D为圆心DA为半径的圆上，

∴DF=DA，

∵DF+DC≥CF，

∴DA+DC≥D′A+D′C，

∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，

25.解：(1)∵抛物线y=ax2−3ax−4ac，

∴对称轴为直线x=−−3a2a=32，

∵抛物线y=ax2−3ax−4ac(a<0)与x轴交于点A(−1,0)，

∴a+3a−4ac=0，即4a=4ac，

解得：c=1；

∵抛物线y=ax2−3ax−4a与x轴交于点A(−1,0)和点B，且对称轴为直线x=32，

∴B(4,0)，

∴OA=1，OB=4，

∴AB=5，

∵抛物线y=ax2−3ax−4a与y轴交于点