高考数学 热点题型和提分秘籍 专题19 两角和与差的三角函数 理（含解析）

专题十九两角和与差的三角函数【高频考点解读】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．【热点题型】题型一化简求值例1、求下列各式的值：(1)(eq\f(1,cos280°)－eq\f(3,cos210°))eq\f(1,cos20°)；(2)eq\f(cos20°,sin20°)·cos10°＋eq\r(3)sin10°tan70°－2cos40°.【提分秘籍】在三角函数的化简、求值、证明中，常常对条件和结论进行合理变换、转化，特别是角的变化、名称的变化、切化弦、常数代换、幂的代换、结构变化都是常用的技巧和方法．【举一反三】求值：eq\f(cos15°sin9°＋sin6°,sin15°sin9°－cos6°).【热点题型】题型二条件求值问题例2、已知α∈(0，eq\f(π,2))，tanα＝eq\f(1,2)，求tan2α和sin(2α＋eq\f(π,3))的值．【提分秘籍】(1)在三角函数式的求值过程中，要始终做好“角”的文章；特殊角与特殊值的转化；角的合并；角的分解．(2)已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：①先化简所求式子或所给条件；②观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；③将已知条件代入所求式子，化简求值．【举一反三】已知α，β∈(0，π)，tanα＝－eq\f(1,3)，tan(α＋β)＝1.(1)求tanβ及cosβ的值；(2)求eq\f(1＋\r(2)cos2β－\f(π,4),sin\f(π,2)－β)的值．【热点题型】题型三给值求角例3、若sinA＝eq\f(\r(5),5)，sinB＝eq\f(\r(10),10)，且A，B均为钝角，求A＋B的值．【解析】∵A、B均为钝角且sinA＝eq\f(\r(5),5)，sinB＝eq\f(\r(10),10)，∴cosA＝－eq\r(1－sin2A)＝－eq\f(2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosB＝－eq\r(1－sin2B)＝－eq\f(3,\r(10))＝－eq\f(3\r(10),10)，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－eq\f(2\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)①又∵eq\f(π,2)<A<π，eq\f(π,2)<B<π，∴π<A＋B<2π.由①②知A＋B＝eq\f(7π,4).【提分秘籍】(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好．【举一反三】已知0<α<eq\f(π,2)<β<π，taneq\f(α,2)＝eq\f(1,2)，cos(β－α)＝eq\f(\r(2),10).(1)求sinα的值；(2)求β的值．由eq\f(π,2)<β<π得β＝eq\f(3,4)π.(或求cosβ＝－eq\f(\r(2),2)，得β＝eq\f(3,4)π)．【高考风向标】1．（·新课标全国卷Ⅱ]函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．【答案】1【解析】函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ＝sinx，故其最大值为1.2．（·安徽卷）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；(2)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))的值．3．（·广东卷）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定【答案】D【解析】本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．4．（·湖北卷）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－eq\r(3)coseq\f(π,12)t－sineq\f(π,12)t，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？【解析】(1)因为f(t)＝10－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos\f(π,12)t＋\f(1,2)sin\f(π,12)t))＝10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，又0≤t<24，所以eq\f(π,3)≤eq\f(π,12)t＋eq\f(π,3)<eq\f(7π,3)，－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))≤1.当t＝2时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝1；当t＝14时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.5．（·辽宁卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2，cosB＝eq\f(1,3)，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．(2)在△ABC中，sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2))＝eq\f(2\r(2),3).由正弦定理，得sinC＝eq\f(c,b)sinB＝eq\f(2,3)·eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(4\r(2),9).因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cosC＝eq\r(1－sin2C)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2),9)))\s\up12(2))＝eq\f(7,9).所以cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝eq\f(1,3)×eq\f(7,9)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(4\r(2),9)＝eq\f(23,27).6．（·全国卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acosC＝2ccosA，tanA＝eq\f(1,3)，求B.7．（·新课标全国卷Ⅰ]设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，则()A．3α－β＝eq\f(π,2)B．3α＋β＝eq\f(π,2)C．2α－β＝eq\f(π,2)D．2α＋β＝eq\f(π,2)8．（·四川卷）如图1­3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)9．（·四川卷）已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4))).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,3)))＝eq\f(4,5)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))cos2α，求cosα－sinα的值．此时，cosα－sinα＝－eq\r(2).当sinα＋cosα≠0时，(cosα－sinα)2＝eq\f(5,4).由α是第二象限角，得cosα－sinα<0，此时cosα－sinα＝－eq\f(\r(5),2).综上所述，cosα－sinα＝－eq\r(2)或－eq\f(\r(5),2).10．（·天津卷）已知函数f(x)＝cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),4)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．11．（·重庆卷）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋eq\f(1,2)，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是()A．bc(b＋c)>8B．ab(a＋b)>16eq\r(2)C．6≤abc≤12D．12≤abc≤24【答案】A【解析】因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，C＝π－(A＋B)，所以由已知等式可得sin2A＋sin(π－2B)＝sin[π－2(A＋B)]＋eq\f(1,2)，即sin2A＋sin2B＝sin2(A＋B)＋eq\f(1,2)，所以sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝sin2(A＋B)＋eq\f(1,2)，12．（·山东卷）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9).(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．13．（·四川卷）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2eq\f(A－B,2)cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－eq\f(3,5).(1)求cosA的值；(2)若a＝4eq\r(2)，b＝5，求向量eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影．14．（·天津卷）已知函数f(x)＝－eq\r(2)sin2x＋eq\f(π,4)＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间0，eq\f(π,2)上的最大值和最小值．15．（·新课标全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．(2)△ABC的面积S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(2),4)ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accoseq\f(π,4).又a2＋c2≥2ac，故ac≤eq\f(4,2－\r(2))，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为eq\r(2)＋1.16．（·新课标全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．17.（·新课标全国卷Ⅱ]设θ为第二象限角，若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，则sinθ＋cosθ＝________．18．（·重庆卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝eq\f(3\r(2),5)，eq\f(cos（α＋A）cos（α＋B）,cos2α)＝eq\f(\r(2),5)，求tanα的值．【解析】(1)因为a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2，所以由余弦定理有cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－\r(2)ab,2ab)＝－eq\f(\r(2),2).故C＝eq\f(3π,4).【随堂巩固】1．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于()A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．1【答案】D【解析】sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin90°＝1.2．eq\f(sin47°－sin17°cos30°,cos17°)＝()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)【答案】C【解析】本题考查了三角函数两角和的正弦公式，体现了转化与化归思想．∵sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝eq\f(sin30°cos17°＋sin17°cos30°－sin17°cos30°,cos17°)＝sin30°＝eq\f(1,2).3．已知sinα＝eq\f(3,5)，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是()A．－7 B．7C．－eq\f(3,4) D.eq\f(3,4)4．已知－eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(\r(5),5)，则sinα＝()A.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(3),3)5．如果α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq\f(4,5)，那么sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.eq\f(4\r(2),5) B．－eq\f(4\r(2),5)C.eq\f(3\r(2),5) D．－eq\f(3\r(2),5)【答案】D【解析】∵sinα＝eq\f(4,5)，eq\f(π,2)<α<π，∴cosα＝－eq\f(3,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝eq\r(2)cosα＝－eq\f(3\r(2),5).6.已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，则sin2α的值为()A.eq\f(31,32) B．－eq\f(31,32)C．－eq\f(7,8) D.eq\f(7,8)7．在直角坐标系xOy中，直线y＝2x－eq\f(2,5)与圆x2＋y2＝1交于A，B两点，记∠xOA＝α(0<α<eq\f(π,2))，∠xOB＝β(π<β<eq\f(3π,2))，则sin(α＋β)的值为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)8．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝eq\f(2,3)eq\r(3)，则tanAtanB的值为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,3)【答案】B【解析】tan(A＋B)＝－tanC＝－tan120°＝eq\r(3)，∴tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝eq\r(3)，即eq\f(\f(2,3)\r(3),1－tanAtanB)＝eq\r(3).解得tanAtanB＝eq\f(1,3)，故选B.9．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是()A．sin(α＋β)>sinα＋sinβB．cos(α＋β)>cosαcosβC．sin(α＋β)>sin(α－β)D．cos(α＋β)>cos(α－β)10．当函数y＝sinx－eq\r(3)cosx(0≤x≤2π)取得最大值时，x＝________.11．若cos(α＋β)＝eq\f(1,5)，cos(α－β)＝eq\f(3,5)，则tanα·tanβ＝________.12．已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，α、β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则β＝________.13．已知sinα＝eq\f(1,2)＋cosα，且α∈(0，eq\f(π,2))，则eq\f(cos2α,sinα－\f(π,4))的值为________．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为eq\f(\r(2),10)、eq\f(2\r(5),5).(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．15．已知tanα＝2.求：(1)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值；(2)eq\f(sin2α＋cos2π－α,1＋cos2α)的值．【解析】(1)∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)，且tanα＝2，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\