2020-2021学年高中数学-综合检测课时作业（含解析）新人教A版选修4-5

PAGE综合检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a，b，c，d∈R，且ab>0，－eq\f(c,a)<－eq\f(d,b)，则下列各式恒成立的是()A．bc<ad B．bc>adC.eq\f(a,c)>eq\f(b,d) D．eq\f(a,c)<eq\f(b,d)解析：－eq\f(c,a)<－eq\f(d,b)，ab>0两边同乘以ab，－bc<－ad，∴bc>ad，选B.答案：B2．不等式|3x－2|>4的解集是()A．{x|x>2} B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(2,3)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(2,3)或x>2)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(2,3)<x<2))解析：由|3x－2|>4，得3x－2>4或3x－2<－4.即x>2或x<－eq\f(2,3).答案：C3．某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，设住第n层楼，上下楼造成的不满意度为n；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n层楼时，环境不满意程度为eq\f(9,n)，则此人应选()A．1楼 B．2楼C．3楼 D．4楼解析：设第n层总的不满意程度为f(n)，则f(n)＝n＋eq\f(9,n)≥2eq\r(9)＝2×3＝6，当且仅当n＝eq\f(9,n)，即n＝3时取等号．答案：C4．设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1，S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，那么()A．S1>S2 B．S1<S2C．S1≥S2 D．S1≤S2解析：由排序不等式，得顺序和≥反序和，即S1≤S2，选D.答案：D5．若x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝30，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是()A．(－∞，3] B．(－∞，10]C．[3，＋∞) D．[10，＋∞)解析：∵x＋y＋z≥3eq\r(3,xyz)，即xyz≤103，∴lg(xyz)≤lg103＝3，即lgx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)≤3，当且仅当x＝y＝z＝10时取等号．故选A.答案：A6．不等式|x＋1|＋|2x－4|>6的解集为()A．(－∞，－1]∪(3，＋∞)B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：原不等式可化为以下几种：①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1,－x－1－2x＋4>6))⇒x<－1；②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤2,x＋1－2x＋4>6))⇒∅；③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2,x＋1＋2x－4>6))⇒x>3.故选B.答案：B7．对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|>k恒成立，则k的取值范围是()A．k<3 B．k<－3C．k≤3 D．k≤－3解析：令f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3，x<－1，,2x－1，－1≤x＜2，,3，x≥2，))则f(x)min＝－3，∴k<－3.答案：B8．函数y＝eq\r(2x－3)＋eq\r(8－4x)的最大值为()A.eq\r(3) B．eq\f(5,3)C.eq\r(5) D．eq\r(2)解析：由已知得函数定义域为[eq\f(3,2)，2]，y＝eq\r(2x－3)＋eq\r(2)×eq\r(4－2x)≤eq\r([12＋\r(2)2][\r(2x－3)2＋\r(4－2x)2])＝eq\r(3)，当且仅当eq\f(\r(2x－3),1)＝eq\f(\r(4－2x),\r(2))，即x＝eq\f(5,3)时取等号．∴ymax＝eq\r(3).答案：A9．设A＝eq\f(t＋s,7＋s＋t)，B＝eq\f(s,7＋s)＋eq\f(t,7＋t)，则A与B的关系为()A．A>B B．A<BC．A＝B D．不确定解析：B＝eq\f(s,7＋s)＋eq\f(t,7＋t)>eq\f(s,7＋s＋t)＋eq\f(t,7＋t＋s)＝eq\f(s＋t,7＋s＋t)＝A.答案：B10．若0<α<β<γ<eq\f(π,2)，则F＝sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγ·cosα－eq\f(1,2)(sin2α＋sin2β＋sin2γ)的符号为()A．F>0 B．F<0C．F≥0 D．F≤0解析：∵0<α<β<γ<eq\f(π,2)，且y＝sinx在(0，eq\f(π,2))上为增函数，y＝cosx在(0，eq\f(π,2))上为减函数．∴0<sinα<sinβ<sinγ，cosα>cosβ>cosγ>0.根据排序不等式：乱序和≥反序和，则sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>sinαcosα＋sinβcosβ＋sinγcosγ＝eq\f(1,2)(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．答案：A11．已知a2＋b2＋c2＝9，x2＋y2＋z2＝16，则eq\r(x＋a2＋y＋b2＋z＋c2)的最大值为()A．5eq\r(2) B．7C．9 D．5eq\r(3)解析：eq\r(x＋a2＋y＋b2＋z＋c2)＝eq\r(x2＋y2＋z2＋a2＋b2＋c2＋2ax＋by＋cz)＝eq\r(25＋2ax＋by＋cz)，∵ax＋by＋cz＝eq\r(ax＋by＋cz2)≤eq\r(x2＋y2＋z2a2＋b2＋c2)＝eq\r(9×16)＝12，∴原式≤eq\r(25＋2×12)＝eq\r(49)＝7，故最大值为7，选B.答案：B12．记满足下列条件的函数f(x)的集合为M，当|x1|≤1，|x2|≤1时，|f(x1)－f(x2)|≤4|x1－x2|，又令g(x)＝x2＋2x－1，由g(x)与M的关系是()A．g(x)M B．g(x)∈MC．g(x)∉M D．不能确定解析：g(x1)－g(x2)＝xeq\o\al(2,1)＋2x1－xeq\o\al(2,2)－2x2＝(x1－x2)·(x1＋x2＋2)，|g(x1)－g(x2)|＝|x1－x2|·|x1＋x2＋2|≤|x1－x2|(|x1|＋|x2|＋2)≤4|x1－x2|，所以g(x)∈M.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．设x，y∈R，且xy≠0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,y2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋4y2))的最小值为________．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,y2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋4y2))＝5＋eq\f(1,x2y2)＋4x2y2≥5＋2eq\r(\f(1,x2y2)·4x2y2)＝9，当且仅当x2y2＝eq\f(1,2)时等号成立．答案：914．关于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集为空集，则实数a的取值范围为________．解析：∵|x－1|＋|x－2|≥|(x－1)－(x－2)|＝1且|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集为空集，∴a2＋a＋1<1，∴a2＋a<0.∴－1<a<0.答案：(－1,0)15．有一长方体的长，宽，高分别为x，y，z，满足eq\f(1,x2)＋eq\f(1,y2)＋eq\f(1,z2)＝9，则长方体的对角线长的最小值为________．解析：∵(x2＋y2＋z2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋\f(1,y2)＋\f(1,z2)))≥(1＋1＋1)2＝9，即x2＋y2＋z2≥1.当且仅当x＝y＝z＝eq\f(\r(3),3)时取等号，∴长方体的对角线长l＝eq\r(x2＋y2＋z2)的最小值为1.答案：116．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c解析：由柯西不等式得(12＋12＋12)(a2＋4b2＋9c2)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12，当a＝2b＝3c＝2时等号成立，所以a2＋4b2＋9c2的最小值为12.答案：12三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)解不等式|2x－1|＋|2－x|<x＋3.解析：(1)当x<－3时，显然无解，(2)当－3≤x≤eq\f(1,2)时，原不等式为1－2x＋2－x<x＋3.即0<x≤eq\f(1,2).(3)当eq\f(1,2)<x≤2时，原不等式为2x－1＋2－x<x＋3，即1<3，显然成立，∴eq\f(1,2)＜x≤2.(4)当x>2时，原不等式为2x－1＋x－2<x＋3，即2<x<3.综合(1)，(2)，(3)，(4)可得原不等式的解集为{x|0<x<3}．18．(12分)若a>2，b>3，求a＋b＋eq\f(1,a－2b－3)的最小值．解析：因为a>2，b>3，所以a－2>0，b－3>0，所以a＋b＋eq\f(1,a－2b－3)＝(a－2)＋(b－3)＋eq\f(1,a－2b－3)＋5≥3eq\r(3,a－2b－3·\f(1,a－2b－3))＋5＝3＋5＝8(当且仅当a＝3，b＝4时，等号成立)．所以所求最小值为8.19．(12分)已知实数x，y，z满足x＋y＋z＝2，求2x2＋3y2＋z2的最小值．解析：由柯西不等式，(x＋y＋z)2≤[(eq\r(2)x)2＋(eq\r(3)y)2＋z2]·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2＋12))，因为x＋y＋z＝2，所以2x2＋3y2＋z2≥eq\f(24,11)，当且仅当eq\f(\r(2)x,\f(1,\r(2)))＝eq\f(\r(3)y,\f(1,\r(3)))＝eq\f(z,1)，即x＝eq\f(6,11)，y＝eq\f(4,11)，z＝eq\f(12,11)时，等号成立，所以2x2＋3y2＋z2的最小值为eq\f(24,11).20．(12分)设a，b，c为正数，求证：2(eq\f(a2,b＋c)＋eq\f(b2,c＋a)＋eq\f(c2,a＋b))≥eq\f(b2＋c2,b＋c)＋eq\f(c2＋a2,c＋a)＋eq\f(a2＋b2,a＋b).证明：由对称性，不妨设a≥b≥c＞0.于是a＋b≥a＋c≥b＋c，a2≥b2≥c2，eq\f(1,b＋c)≥eq\f(1,c＋a)≥eq\f(1,a＋b).由排序原理知：eq\f(a2,b＋c)＋eq\f(b2,c＋a)＋eq\f(c2,a＋b)≥eq\f(c2,b＋c)＋eq\f(a2,c＋a)＋eq\f(b2,a＋b)，eq\f(a2,b＋c)＋eq\f(b2,c＋a)＋eq\f(c2,a＋b)≥eq\f(b2,b＋c)＋eq\f(c2,c＋a)＋eq\f(a2,a＋b)，将上面两个同向不等式相加，得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b＋c)＋\f(b2,c＋a)＋\f(c2,a＋b)))≥eq\f(b2＋c2,b＋c)＋eq\f(c2＋a2,c＋a)＋eq\f(a2＋b2,a＋b).21．(13分)已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋b3＋…＋b10＝100.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)设数列{an}的通项an＝1＋eq\f(1,bn)，记Tn是数列{an}的前n项之积，即Tn＝a1a2a3…an，试证明：Tn>eq\r(bn＋1).解析：(1)设等差数列{bn}的公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝1,10b1＋\f(10×9,2)d＝100))，得d＝2，bn＝2n－1.(2)an＝1＋eq\f(1,bn)＝1＋eq\f(1,2n－1)，Tn＝a1a2a3…an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n－1)))，当n＝1时，T1＝1＋eq\f(1,1)＝2>eq\r(3)，命题得证．假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时命题成立，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2k－1)))>eq\r(2k＋1)成立，当n＝k＋1时，Tn＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2k－1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2k＋1)))>eq\r(2k＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2k＋1)))＝eq\f(2k＋2,\r(2k＋1)).∵eq\r(2k＋1)×eq\r(2k＋3)<eq\f(2k＋1＋2k＋3,2)＝2k＋2，∴eq\f(2k＋2,\r(2k＋1))>eq\r(2k＋3)，∴Tn＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2k－1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2k＋1)))>eq\r(2k＋3).即n＝k＋1时命题成立．综上知，当n∈N＋时，Tn>eq\r(bn＋1).22．(13分)某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC＝80米，塔所在的山高OB＝220米，OA＝200米，图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为α，tanα＝eq\f(1,2)，试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大(不计此人