2023-2024学年云南省大理州高二下学期期末普通高中教学质量监测数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年云南省大理州高二下学期期末普通高中教学质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设z=2+4i1−3i，则z的虚部是(

)A.1 B.−1 C.−i D.i2.已知集合A={x|x2−2x≥0}，B={x|lnx>0}A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(1,2)3.在平面直角坐标系中，已知两点A(0,1)，B(0,−1)，点M为动点，且直线AM与BM的斜率之积为12，则点M的轨迹方程为(

)A.x2+2y2=2(x≠0) B.2x4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=11，A.34 B.39 C.42 D.455.若sinα⋅tanα=154A.78 B.−78 C.156.已知向量a，b满足|a|=1，b=(1,2)，|a−b|=A.(110,210) B.(−7.已知菱形ABCD，∠ADC=π3，AB=23，将△DAC沿AC对折至△PAC，使PB= 33A.12π B.27π C.28π D.48π8.已知函数f(x)的导数为f′(x)，若方程f(x)−f′(x)=0有解，则称函数f(x)是“T函数”，则下列函数中，不能称为“T函数”的是(

)A.f(x)=2x B.f(x)=lnx C.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.小华到大理旅游，对于是否选择崇圣寺三塔与蝴蝶泉这两个景点，下列各事件关系中正确的是(

)A.事件“至少选择其中一个景点”与事件“至多选择其中一个景点”为互斥事件

B.事件“两个景点均未选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件

C.事件“只选择其中一个景点”与事件“两个景点均选择”为互斥事件

D.事件“两个景点均选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件10.已知函数f(x)=cos23x(3sin2A.g(x)=cos(43x+2π3) B.g(x)的图象关于x=π4对称

C.11.已知O为坐标原点，曲线C:x2+y2=1+ |x|y图象酷似一颗“红心”(如图).对于曲线CA.曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)

B.曲线C上存在一点P使得|OP|=2

C.曲线C上存在一点P使得|OP|=2

D.曲线C三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某年级有男生490人，女生510人，为了解学生身高，按性别进行分层，并通过分层随机抽样的方法得到样本容量为100的样本数据，若抽样时在各层中按比例分配样本，并得到样本中男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm，在这种情况下，可估计该年级全体学生的平均身高为

cm．13.设F1，F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆E于P14.对函数f(x)=3x做如下操作：先在x轴找初始点P1(x1,0)，然后作f(x)在点Q1(x1,f(x1))处切线，切线与x轴交于点P2(x2,0)，再作f(x)在点Q2(x2,f(四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，5cos(Ⅰ)求cosC的值(Ⅱ)若c=3，△ABC的面积为62，求△ABC16.(本小题12分)已知Sn，Tn，分别是数列{an}和{bn}(Ⅰ)求数列{an}和(Ⅱ)若cn=an⋅bn，求数列17.(本小题12分)如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=2，BC=22，M，N(Ⅰ)证明：AM⊥PN;(Ⅱ)若平面PMN与平面ABC的夹角的余弦值为66，试求a18.(本小题12分)已知函数f(x)=lnx+1−xax，(1)求实数a的值，并求出f(x)的极值;(2)若x∈[12,2]时，关于x的方程f(x)=m有两个不相等实数根x(Ⅰ)求实数m的范围;(Ⅱ)求证x1x19.(本小题12分)已知定点F(0,12)，直线l:y=−12，动圆过点F(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)若a为正数，圆x2+(y−a)2=a(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下所得到半径最大的圆记为圆M，点P(x0,y0)是曲线C上一点，且y0>2，过P作圆M的两条切线，分别交x轴于答案解析1.A

【解析】解：依题意，z=(2+4i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=−10+10i10=−1+i，

则z的虚部是2.D

【解析】解：∵集合A={x|x(x−2)⩾0}={x|x⩽0或x⩾2}，

B={x|lnx>0}={x|x>1}，

∴∁R3.D

【解析】解：设M(x,y)，

∵A(0,1)，B(0,−1)，

∴kAM=y−1x(x≠0)，kBM=y+1x(x≠0)，

由kAM⋅kBM=124.B

【解析】解：因为数列{an}为等差数列，

所以Sn，S2n−Sn，S3n−S2n也是等差数列．

由题意得S5=11，5.B

【解析】解：由sinα⋅tanα=154，得到sinα⋅sinαcosα=154，即1−6.B

【解析】解：∵|b|=12+22=5，|a−b|=7，所以(7.C

【解析】由题意在边长为23，的菱形

ABCD

中，

∠ADC=π△ACD

和

△ABC

△PAC为等边三角形，如图所示，

取AC中点E，连接PE，BE，则

AE⊥BD

，AC=23

，所以PE=BE=3，由PB= 33，得到EH=32，所以由于△ACD

和

△ABC

，故三棱锥

P−ABC

外接球球心O在平面PBE中PB的高EH上，

△ABC外心为

F

，即OF⊥

平面ABC

，EF=13BE=1，所以OF=则外接球表面积为

S=4πR2故选：C8.C

【解析】

解：对于A，要使f(x)−f′(x)=0有解，则2x+2x2=0有解，

即x+1=0有解，解得x=−1，

所以函数f(x)=2x为“T函数”，故A错误；

对于B，要使f(x)−f′(x)=0有解，

则lnx=1x有解，

由函数f(x)=lnx与y=1x的图象知，它们有交点，因此方程有解，

所以函数f(x)=lnx为“T函数”，故B错误；

对于C，要使f(x)−f′(x)=0有解，则tanx−1cos2x=0有解，

即sinxcosx=1有解，sin2x=2，显然无解，

所以函数f(x)=tanx不为“T函数”，故C正确；

对于D，要使f(x)−f′(x)=0有解，则x+1x−(1−1x2)=0有解，

9.CD

【解析】解：A选项，事件“至少选择其中一个景点”包含选择一个或选择两个，

事件“至多选择其中一个景点”包含选择一个或一个也不选，

所以不是互斥事件，故A错误；

B选项，事件“至多选择其中一个景点”包含选择一个景点或两个景点均未选择，

所以不是互斥事件，故B错误；

C选项，事件“只选择其中一个景点”与事件“两个景点均选择”为互斥事件，故C正确；

D选项，事件“至多选择其中一个景点”包含选择一个景点或两个景点均未选择，

与事件“两个景点均选择”为对立事件，故D正确．

故选CD．10.BC

【解析】解：由题可得f(x)=cos23x(3sin23x−cos23x)+12=sin(43x−π6)，

所以g(x)=sin[43(x+11.ABD

【解析】

解：对于A，将x换成−x，方程不变，所以图形关于y轴对称，

当x=0时，代入方程可得y2=1，所以y=±1，

即曲线经过点(0,−1)，(0,1)，

当x>0时，方程变为y2−xy+x2−1=0，

所以△=x2−4(x2−1)≥0，解得x∈(0,233)，

所以x只能取整数1，当x=1时，y2−y=0，

解得y=0或y=1，即曲线经过点(1,0)，(1,1)，

根据对称性，可得曲线还经过(−1,0)，(−1,1)，

故曲线一共经过6个整点，故A正确;

对于BC，当x>0时，由x2+y2=1+xy，可得x2+y2−1=xy≤x2+y22，当且仅当x=y取等号，

所以x2+y2≤2，所以x2+y2≤2，

故曲线C12.164.9

【解析】解：因为100490+510=110，

所以在抽取的100人中男生49故样本平均数为170×49+160×51100=164.9

，

估计该校全体学生的平均身高是故答案为164.9．13.5【解析】解：设|QF2|=m，则|PF2|=2m，

所以(2a−2m)2+(2m)2=(2c)2,(2a−2m)214.−2【解析】解：设Pn(xn,0)，则Qn(xn,f(xn))，

因为f(x)=3x，所以f′(x)=3xln3，如图，

则Qn(xn,f(xn))处切线为y=3xnln3(x−xn)+3xn15.解：(Ⅰ)因为5cosC(acosB+bcosA)=c，

由正弦定理可得：5cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC，

可得5sinCcosC=sinC，且C∈(0,π)，可知sinC≠0，

可得cosC=15．

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：C∈(0,π)【解析】(Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值；

(Ⅱ)利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．16.解：(Ⅰ)由an+1−an=2(n∈N∗)可知数列{an}是公差为2的等差数列，由S5=25d=2，解得a1=1d=2，

所以an=1+2(n−1)=2n−1.由2Tn=3bn−3(n∈N∗)，

则2Tn+1=3bn+1−3，两式相减并整理得：bn+1【解析】

(Ⅰ)利用等差数列的定义求出an=2n−1，利用递推公式求出bn=3n17.【解答】解：(1)因为AB=AC=2，BC=22，则AB2+AC2=BC2，即AB⊥AC，如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，

则A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，M(0,2,1)，N(1,1,0)，P(a,0,2)，PN=(1−a,1,−2)，

又因为AM=(0,2,1)，可得AM⋅PN=0，所以AM⊥PN．

(Ⅱ)假设存在，易知平面ABC的一个法向量为u=(0,0,1)因为MN=(1,−1,−1)，PN=(1−a,1,−2)，设n=(x,y,x)是平面PMN的一个法向量，则n⋅MN=x−y−z=0n【解析】

(Ⅰ)首先证AB⊥AC，再建立坐标系即可证得；

(Ⅱ)利用空间直角坐标系，求出平面ABC的法向量和平面PMN的法向量，再利用公式即可求出a的值．18.解：(1)由已知：f′(x)=ax−1ax2，

依题意：f′(1)=0，解得a=1，此时f′(x)=x−1x2，

当x∈(0,1)时，则f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

故x=1是函数f(x)唯一的极小值点，

则y极小=f(1)=0，无极大值．

(2)(Ⅰ)由(1)，x∈[12,1)时f(x)单调递减，x∈(1,2]时f(x)单调递增，故f(x)min=f(1)=0．

又f(12)=1−ln2，f(2)=−12+ln2，

则f(12)−f(2)=1−ln2−(−12+ln2)=32−2ln2=ln e3−ln 162，

∵e3>2．73>16，∴f(12)−f(2)>0【解析】(1)求导，依题意：f′(1)=0，解得a=1，f′(x)=x−1x2，再利用导数求解单调性即可求解其极值

(2)(Ⅰ)由(1)，x∈[12,1)时f(x)单调递减，x∈(1,2]时f(x)单调递增，故f(x)min=f(1)=0.再根据题意求出f(12)>f(2)，所以由方程f(x)=m有两解可得，0<m≤−12+ln2

(Ⅱ)19.解：(1)由题意，动圆圆心到点F的距离等于到直线l的距离，

故曲线C是以F(0,12)为焦点，l:y=−12为准线的抛物线，

所以曲线C的方程为x2=2y．

(2)圆方程与曲线C方程联立x2=2yx2+(y−a)2=a2，

得y2+(2−2a)y=0，解得：y1=0，y2=2a−2．

由于两曲线只有一个交点