人教版(新教材)高中物理选择性必修1学案：专题强化3 弹簧-小球模型 滑块-斜(曲)面模型

人教版（新教材）高中物理选择性必修第一册PAGEPAGE1弹簧—小球模型滑块—斜(曲)面模型〖学习目标〗1.进一步理解动量守恒定律、动能定理、能量守恒定律的内容及含义.2.会应用动量观点和能量观点分析这两类模型．一、弹簧—小球模型1．对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统，在相互作用的过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒定律．2．在能量方面，由于弹簧发生形变，具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．若还有其他外力和内力做功，这些力做功之和等于系统机械能的改变量．3．弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．如系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度，此时弹性势能为零．如图1所示，光滑水平面上静止着一质量为m2的刚性小球，小球与水平轻质弹簧相连，另有一质量为m1的刚性小球以速度v0向右运动，并与弹簧发生相互作用，两球半径相同，求：图1(1)弹簧弹性势能的最大值；(2)弹簧第一次恢复原长时，m1、m2两球的速度大小．〖答案〗(1)eq\f(m1m2v02,2m1＋m2)(2)eq\f(m1－m2v0,m1＋m2)eq\f(2m1v0,m1＋m2)〖解析〗(1)两球速度相同时，弹簧弹性势能最大．以v0的方向为正方向，由动量守恒定律得m1v0＝(m1＋m2)v由能量守恒得eq\f(1,2)m1v02＝eq\f(1,2)(m1＋m2)v2＋Epmax解得Epmax＝eq\f(m1m2v02,2m1＋m2)(2)从m1与弹簧接触到弹簧第一次恢复原长，整个过程两球相当于发生弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律得：m1v0＝m1v1′＋m2v2′eq\f(1,2)m1v02＝eq\f(1,2)m1v1′2＋eq\f(1,2)m2v2′2解得v1′＝eq\f(m1－m2v0,m1＋m2)v2′＝eq\f(2m1v0,m1＋m2).如图2所示，用水平轻弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以v＝6m/s的速度在光滑水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物块C静止在前方，B与C碰撞后二者粘在一起运动．在以后的运动中，求：图2(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度多大？(2)弹簧弹性势能的最大值是多大？(3)A的速度有可能向左吗？为什么？〖答案〗(1)3m/s(2)12J(3)见〖解析〗〖解析〗(1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大．由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，以v的方向为正方向，有：(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)vA′解得vA′＝3m/s.(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为v′，则：mBv＝(mB＋mC)v′解得：v′＝2m/s设弹簧的弹性势能最大为Ep，根据能量守恒：Ep＝eq\f(1,2)(mB＋mC)v′2＋eq\f(1,2)mAv2－eq\f(1,2)(mA＋mB＋mC)vA′2解得Ep＝12J.(3)A、B、C组成的系统动量守恒mAv＋mBv＝mAvA＋(mB＋mC)vB设A的速度向左，有vA<0，vB>4m/s则作用后A、B、C动能之和：Ek＝eq\f(1,2)mAvA2＋eq\f(1,2)(mB＋mC)vB2>eq\f(1,2)(mB＋mC)vB2>48J实际上系统的总机械能为：E＝Ep＋eq\f(1,2)(mA＋mB＋mC)vA′2＝12J＋36J＝48J根据能量守恒定律，Ek>E是不可能的，所以A不可能向左运动．二、滑块—斜(曲)面模型对于滑块—斜(曲)面模型，系统所受合力不为零，但常在水平方向上的合力为零，则在水平方向上系统动量守恒，再结合能量守恒列方程，联立求解．如图3所示，有一质量为m的小球，以速度v0滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道．已知圆弧轨道的质量为2m，小球在上升过程中始终未能冲出圆弧，重力加速度为g，求：图3(1)小球在圆弧轨道上能上升的最大高度；(用v0、g表示)(2)小球离开圆弧轨道时的速度大小．〖答案〗(1)eq\f(v02,3g)(2)eq\f(v0,3)〖解析〗(1)小球在圆弧轨道上上升到最高时两物体速度相同，系统在水平方向上动量守恒，规定v0的方向为正方向，有：mv0＝3mv，得v＝eq\f(v0,3)根据机械能守恒定律得：eq\f(1,2)mv02＝eq\f(1,2)×3mv2＋mgh解得：h＝eq\f(v02,3g)(2)小球离开圆弧轨道时，根据动量守恒定律，则有：mv0＝mv1＋2mv2根据机械能守恒定律，则有：eq\f(1,2)mv02＝eq\f(1,2)mv12＋eq\f(1,2)×2mv22联立以上两式可得：v1＝－eq\f(1,3)v0，则小球离开圆弧轨道时的速度大小为eq\f(v0,3).如图4，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上．某时刻小孩将冰块以相对冰面3m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3m(h小于斜面体的高度)．已知小孩与滑板的总质量为m1＝30kg，冰块的质量为m2＝10kg，小孩与滑板始终无相对运动．取重力加速度的大小g＝10m/s2.图4(1)求斜面体的质量；(2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？〖答案〗(1)20kg(2)不能〖解析〗(1)选向左为正方向．冰块在斜面体上运动到最大高度时两者达到共同速度，设此共同速度为v，斜面体的质量为m3.由水平方向动量守恒定律和机械能守恒定律得m2v0＝(m2＋m3)veq\f(1,2)m2v02＝eq\f(1,2)(m2＋m3)v2＋m2gh式中v0＝3m/s为冰块推出时的速度．联立两式并代入题给数据得m3＝20kg.(2)选向右为正方向，设小孩推出冰块后小孩的速度为v1，由动量守恒定律有m1v1－m2v0＝0，代入数据得v1＝1m/s设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3，由动量守恒定律和机械能守恒定律有－m2v0＝m2v2＋m3v3.eq\f(1,2)m2v02＝eq\f(1,2)m2v22＋eq\f(1,2)m3v32联立两式并代入数据得v2＝1m/s由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且处在后方，故冰块不能追上小孩.1.(滑块—斜(曲)面模型)如图5所示，在光滑的水平地面上停放着质量为m的装有eq\f(1,4)弧形槽的小车．现有一质量也为m的小球以v0的水平速度沿与切线水平的槽口向小车滑去，不计一切摩擦，则()图5A．在相互作用的过程中，小车和小球组成的系统总动量守恒B．小球从右侧离开车后，对地将向右做平抛运动C．小球从右侧离开车后，对地将做自由落体运动D．小球从右侧离开车后，小车的速度有可能大于v0〖答案〗C〖解析〗整个过程中系统水平方向动量守恒，竖直方向动量不守恒，故A错误；设小球离开小车时，小球的速度为v1，小车的速度为v2，整个过程中水平方向动量守恒：mv0＝mv1＋mv2，由机械能守恒定律得：eq\f(1,2)mv02＝eq\f(1,2)mv12＋eq\f(1,2)mv22，联立解得v1＝0，v2＝v0，即小球与小车分离时二者交换速度，所以小球从小车右侧离开后对地将做自由落体运动，故B、D错误，C正确．2．(弹簧—小球模型)如图6，在光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C.B的左侧固定一水平轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)．设A以速度v0向B运动，压缩弹簧；当A、B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动．假设B和C碰撞过程时间极短，求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中，图6(1)整个系统损失的机械能；(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能．〖答案〗(1)eq\f(1,16)mv02(2)eq\f(13,48)mv02〖解析〗A、B相互作用过程动量守恒、机械能也守恒，而B、C相碰粘接在一起时，动量守恒，机械能不守恒，系统产生的内能则为B、C相碰过程中损失的机械能．当A、B、C速度相等时，弹性势能最大．(1)从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v1时，对A、B与弹簧组成的系统，以v0的方向为正方向，由动量守恒定律得mv0＝2mv1①此时B与C发生完全非弹性碰撞，设碰撞后瞬间的速度为v2，损失的机械能为ΔE.对B、C组成的系统，由动量守恒定律和能量守恒定律得mv1＝2mv2②eq\f(1,2)mv12＝ΔE＋eq\f(1,