第20讲 相似三角形的性质-2024年新九年级数学暑假提升讲义（北师大版 学习新知）

第20讲相似三角形的性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系；2．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；3．掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用。一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3.相似三角形周长的比等于相似比.∽，则由比例性质可得：4.相似三角形面积的比等于相似比的平方.∽，则分别作出与的高和，则要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.考点一：利用相似三角形对应角相等求角例1．（2023九年级上·广东茂名·竞赛）若，，，则．【答案】/30度【分析】此题主要考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理等知识，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据相似三角形的性质求出答案即可．【详解】解：在中，，，∴，∵，∴，故答案为：【变式1-1】（23-24九年级上·贵州毕节·期末）两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是、，那么另一个三角形的最大内角是度．【答案】【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题的关键是熟记相似三角形的对应角相等．利用三角形的内角和求出另外一个内角，再根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：一个三角形的两个内角是、，另一个内角为：，两个三角形相似，另一个三角形的最大角是，故答案为：．【变式1-2】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知，相似比为，若△ABC中的最大角是，则中的最大角为°．【答案】110【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等确定答案即可．【详解】解：∵，相似比为，中的最大角是，∴中的最大角为，故答案为：110．【变式1-3】（2024·重庆大渡口·一模）如图，，若，，则的大小为．【答案】/40度【分析】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形的性质，由三角形内角和定理得到，由相似三角形的性质即可得到，掌握相似三角形的性质是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案为：．考点二：利用相似三角形对应边成比例求边例2.（2023·甘肃天水·模拟预测）已知，，若，则．【答案】【分析】此题主要考查相似三角形的性质，直接根据相似三角形的对应边成比例即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，．故答案为：．【变式2-1】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，，且，，则．【答案】【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，证明，得，从而即可得解．【详解】解：∵，∴，∴，∵，，∴解得，故答案为：．【变式2-2】（23-24九年级上·江苏连云港·期末）已知的三条边分别为、、，若的最短边为3，则最长边为．【答案】5【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例即可求解．【详解】解：设最长边为x，的三条边分别为、、，最短边为3，，解得，即最长边为5，故答案为：5．【变式2-3】（23-24九年级上·四川达州·期中）已知中，，点D是线段的中点，点E在线段上且，则.【答案】【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应边的比相等．根据相似三角形对应边的比相等列式即可求解．【详解】解：∵点D是线段的中点，∴∵∴，即，解得．故答案为．考点三：利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例例3.（2024九年级·全国·竞赛）如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应中线的比为．【答案】【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．据此求解即可．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，∴这两个三角形对应中线的比为．故答案为：．【变式3-1】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知，和是它们的对应高线．若，，则与的相似比是．【答案】/【分析】本题考查相似三角形的性质，直接根据相似三角形对应高的比等于相似比即可解答，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．【详解】∵，，∴,∵，和是它们的对应高线，∴与的相似比是，故答案为：．【变式3-2】（23-24九年级上·山东菏泽·期中）已知两个相似三角形对应角平分线的比为，那么这两个三角形对应高的比是．【答案】【分析】本题考查了相似三角形的性质，两个相似三角形对应角平分线的比等于相似比，两个相似三角形对应高的比也等于相似比，据此即可求解．【详解】解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为，∴相似比为故这两个三角形对应高的比是，故答案为：【变式3-3】（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，已知点分别是边上的点，且，相似比为交于点，则．【答案】/【分析】本题主要查了相似三角形的性质．根据，可得，从而得到，进而得到，再由相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵相似比为，∴，故答案为：考点四：利用相似三角形对应周长的比成比例例4.（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为．【答案】/【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键．【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为，∴它们的周长的比为，故答案为：．【变式4-1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，且与的相似比为，则与周长的比为．【答案】【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长之比等于相似比”是解本题的关键．【详解】解：∵，相似比为，∴与△的周长比等于相似比．故答案为：．【变式4-2】（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）已知两个相似三角形的相似比是，如果较小的三角形的周长为9，那么较大的三角形的周长为．【答案】15【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解．【详解】解：设较大的三角形的周长为x，由题意得：，解得，∴较大的三角形的周长为15；故答案为：15．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．【变式4-3】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的周长比为．【答案】/【分析】根据相似三角形周长的比、两个相似三角形对应边上的高的比等于相似比解答即可．【详解】解：两个相似三角形对应边上的高的比为，这两个三角形的相似比为，两个相似三角形的周长比为；故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．考点五：利用相似三角形对应面积的比成比例例5.（2024九年级下·江苏·专题练习）若两个相似三角形的相似比为，则面积比为；若两个相似多边形的面积比为，则相似比为．【答案】//【分析】本题考查的是相似三角形的性质，相似多边形的性质，直接利用相似多边形的面积比等于相似比的平方可得答案.【详解】解：若两个相似三角形的相似比为，则面积比为；若两个相似多边形的面积比为，则相似比为．故答案为：；．【变式5-1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，与的面积比为，则与的周长比为．【答案】【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质即可求解，解题的关键是熟记相似三角形对应边之比等于相似比，相似三角形面积之比等于相似比的平方．【详解】∵，与的面积比为，∴与的周长比为，故答案为：．【变式5-2】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知两个相似三角形的相似比为，其中一个三角形的面积为20，那么另一个三角形的面积为．【答案】45或【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是：由两个相似三角形的相似比为，可得它们的面积面积比为：，然后分别从若小三角形的面积为20与若大三角形的面积为20去分析求解即可求得答案．【详解】解：两个相似三角形的相似比为，它们的面积面积比为：，其中一个三角形的面积为20，若小三角形的面积为20，则另一个三角形的面积为45；若大三角形的面积为20，则另一个三角形的面积为．另一个三角形的面积为45或．故答案为：45或．【变式5-3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）若，且与的面积比是，则与对应角平分线之比为．【答案】/【分析】根据相似三角形的性质可得，求得，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴与对应角平分线之比为，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．考点六：相似三角形的性质与判定综合问题例6.（2024·福建福州·模拟预测）已知，它们的面积比为，是的角平分线，是的角平分线．(1)求证：；(2)求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关概念是解题关键．（1）根据，得到，再根据是的角平分线，是的角平分线，得到，即可证明；（2）根据相似三角形性质先求出相似比，然后进一步即可得出对应角平分线之比；【详解】（1）证明：如图，是的角平分线，是的角平分线，则是的角平分线，是的角平分线，，，，，；（2）解：，且，，，．【变式6-1】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，为边上一点，为边上一点，且．

(1)求的值．(2)求与四边形的面积比．【答案】(1)(2)【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及相似三角形的判定与性质，先由题意，根据相似三角形的判定得到，再利用相似三角形的性质即可得到答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．（1）由题中条件，利用两个三角形相似的判定与性质即可得到答案；（2）由相似三角形的性质得到，从而即可得到答案．【详解】（1）解：且，，；（2）解：由（1）中可得，．【变式6-2】（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为．(1)求证：；(2)若，，直接写出，的周长；(3)在（2）的条件下，求的长．【答案】(1)见详解(2)14，10(3)【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．（1）由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得、即可证明结论；（2）有已知条件可得，由等边三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，，最后根据三角形周长的定义即可解答；（3）根据相似三角形的性质列式求解即可．【详解】（1）证明：∵等边三角形∴∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处∴∵，∴∵∴．（2）∵，∴∵等边三角形∴∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处∴，∴的周长为：的周长为：．（3）∵．又∵的周长为：14，的周长为：10∴，∵，∴，∴．【变式6-3】（23-24九年级下·江苏连云港·期中）【实践探究】（1）如图1，矩形中，交于点E，则的值是______；【变式探究】（2）如图2，中，为边上一点，连接，交于点E，若，求的长；【灵活应用】（3）如图3，在矩形中，，点E，F分别在上，以为折痕，将四边形翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作交于点N，若，设的面积为的面积为的面积为，若，则的值为_______．

【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由同角的余角相等可得，再由矩形性质和垂直定义可得，可证得，即可求得答经；（2）过点作于点，先证得，可求得，再证得，即可求得答案；（3）设与交于点，过点作交于点，由，可求得，再证得，可得，则，再证得，可得，再运用三角形面积公式可求得：，代入，解方程求得，由，可得，再利用平行四边形性质可得，即可求得答案．【详解】解：（1）如图1，

∵四边形是矩形，，，，，，，，，，故答答为：；（2）如图2，过点作于点，

则，在中，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴；（3）如图3，设与交于点，过点作交于点，由对称性可知，

，，，，，即，，，，，，，，，即，设，则，，，，，，即，，，，，，，解得：，，，，，，，，，，，，，是平行四边形，，，∴四边形是平行四边形，故答案为：．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．一、单选题1．（23-24九年级下·北京丰台·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为（

）A． B．8 C．10 D．16【答案】C【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．首先由，得相似三角形，即可求得，根据的长进而求得的长；由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得的长．【详解】解：，，∴，，，，四边形是平行四边形，，故选C．2．（2024·重庆·一模）如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、对应高（中线、角平分线）的比等于相似比是解题的关键.由相似三角形的面积比等于相似比的平方先求得相似比，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可得答案.【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为，∴相似比是，又∵相似三角形对应高的比等于相似比，∴对应边上高的比为，故选：B．3．（2024·云南玉溪·三模）如果，与的面积分別是25和16，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（

）A．16 B．25 C．5 D．4【答案】D【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行计算即可解答．本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【详解】解：，与的面积分別是25和16与的相似比为：，的最短边的长度是5，的最短边的长度是4，故选：D．4．（2024·内蒙古赤峰·一模）如图，已知中，为边上一点，为边上一点，，，，当的长度为时，和相似(

)A．9 B．6 C．4或9 D．6或9【答案】C【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，分别根据当时，当时，求出的长即可．【详解】解：当时，，，解得：，当时，，，解得：，当的长度为或时，和相似．故选C．5．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则和的面积的比为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解作答即可．【详解】解：∵，和分别是和的高，∴，∴和的面积的比为，故选：A．二、填空题6．（23-24九年级上·广东清远·期中）若，且面积之比为，则相似比为．【答案】/【分析】考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：，且面积之比为，则相似比为，故答案为：．7．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点、分别在的边、上，连接，，若，，那么的度数为．

【答案】/75度【分析】此题考查了三角形内角和定理和相似三角形的性质，首先根据三角形内角和定理得到，然后利用相似三角形的性质得到．解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理（三角形内角和为）和相似三角形的性质（相似三角形对应边成比例，对应角相等）．【详解】∵，，∴∵∴故答案为：．8．（2024·安徽合肥·二模）如图，在中，，平分，，垂足为点E，若，，则（1）是；（2）的周长是．【答案】【分析】根据等面积法得出即可求解；延长交于点，过点作，即可得出，进而根据相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图所示，延长交于点，过点作，∵平分，则到的距离相等，设到的距离为，到的距离为，∴，∴；故答案为：．∵平分，∴，，又∵∴∴，∵设∴∴∴∴∴由（1）可得设，则，，则∵，，∴∵∴∵，∴，又∴∴∴解得：∴的周长是故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．9．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知在中，，如果与相似，且两条边的长分别为4和，那么第三条边的长为．【答案】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解题即可．【详解】解：在中，，∴，∵与相似，∴，即，∴．故答案为：．10．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知三角形纸片（）中，，，将三角形纸片按照如图所示的方式折叠，使点B落在直线上，记为点，折痕为．若以点，F，C为顶点的三角形与相似，则的长是．

【答案】4或【分析】本题考查了相似三角形的性质、折叠的性质，设，根据折叠的性质得，分类讨论：当时和当时，利用相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相关的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．【详解】解：设，是由沿折叠得到，，当时，，，，，即，解得：，当时，，，，，即，解得：，综上所述，的长为4或，故答案为：4或．三、解答题11．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，(1)求证：；(2)若，求线段长．【答案】(1)见解析(2)线段长为5【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．（1）根据角平分线的定义、角的和差可得，再结合即可证明结论；（2）由线段的和差可得，再根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据即可解答．【详解】（1）证明：∵是的平分线，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴．（2）解：∵，∴，由（1）得，∴，∴，∴，∴线段长为5．12．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，在和中，，．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．（1）根据，可证；（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，又∵，∴，即，∴．（2）解：∵，∴，又∵，∴．13．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，点，分别在边，上，且．(1)求证：；(2)若，且的周长为12，求的周长．【答案】(1)见解析(2)32【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形周长比等于相似比，是解题的关键．（1）根据平行线的性质得出，即可求证；（2）根据，得出，再根据相似三角形的性质得出，