第08讲 二次根式-2024年新八年级数学暑假提升讲义（北师大版 学习新知）

第08讲二次根式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解二次根式的概念；2．理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围；3．掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简。知识点一：二次根式1.二次根式的概念:一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．如都是二次根式。2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数.知识点二：二次根式有无意义的条件1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即；2.二次根式无意义：被开方数为负数，即；知识点三：二次根式的性质1.二次根式（）的非负性（）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）．2.二次根式的性质：（）3.二次根式的性质：考点一：判断二次根式例1．（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列各式中，是二次根式的有（

）A． B．5 C． D．【变式1-2】（22-23八年级下·广西南宁·期中）下列式子不属于二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式1-3】（22-23八年级下·河南驻马店·阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（

），1，，，，A．5个 B．4个 C．3个 D．2个考点二：根据二次根式的定义求字母的值例2.（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（

）A．11 B．12 C．15 D．19【变式2-1】（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（）A．2 B．3 C．8 D．11【变式2-2】（22-23八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-3】（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（

）A．0 B．4 C．5 D．20考点三：求二次根式的值例3.（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（

）A．2 B． C．4 D．【变式3-1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-2】（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（

）A． B．2 C． D．【变式3-3】当时，二次根式的值是（

）A．3 B．2 C．1 D．考点四：根据二次根式有意义条件求范围例4.（23-24八年级下·广东江门·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式4-1】（2024·广西·三模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式4-2】（23-24八年级下·陕西安康·期中）若二次根式有意义，则的值可以是（

）A． B． C．0 D．【变式4-3】（23-24八年级下·新疆和田·期中）使有意义的字母的取值范围（

）A．全体实数 B． C． D．考点五：根据二次根式有意义求值例5.（23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则．【变式5-1】（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为．【变式5-2】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足，则的小数部分是．【变式5-3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，则．考点六：根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式例6.（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简：．【变式6-1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知，化简的结果是．【变式6-2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若，则的值为．【变式6-3】（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式．考点七：含隐含条件的参数范围化简二次根式例7.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（

）A． B． C． D．【变式7-1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（

）A． B． C． D．【变式7-2】（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（）A． B． C． D．【变式7-3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简：．考点八：复杂的复合二次根式化简例8.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如：．请仿照上例化简下列各式：(1)；(2)．【变式8-1】（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：(1)化简：(2)化简：(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．【变式8-2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题．(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考①，②，③，④，在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为；(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：①②【变式8-2】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有：例如：化简解：首先把化为，这里，由于，即，(1)填空：______，______；(2)化简求值．一、单选题1．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）如果二次根式有意义，那么a的值不能是（

）A． B．0 C． D．92．（22-23八年级下·河北唐山·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．3．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是正整数，是整数，则的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．54．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（）A． B． C．2 D．45．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，实数a，b在数轴上，化简的结果是（

）A． B． C． D．二、填空题6．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若二次根式有意义，则a的取值范围是，当时，二次根式的值是．7．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）已知，，则化简的结果是．8．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）若，化简二次根式．9．（22-23八年级下·全国·假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得．10．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）已知是有理数，且，则化简的结果为．三、解答题11．（22-23八年级上·广东佛山·期中）先阅读材料，然后回答问题(1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下，①②③④在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________(2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒12．（23-24八年级下·山东淄博·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．(1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）；(2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）；(3)先化简，再求值：，其中．13．（22-23八年级上·福建宁德·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使并且，则将变成，开方，从而使得化简．例如：化简：∵∴仿照上例化简下列各式：(1)(2)14．（23-24八年级下·广西梧州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：化简：解：隐含条件，解得：∴，∴原式【启发应用】（1）按照上面的解法，隐含的条件是：x______．（2）按照上面的解法，试化简．【类比迁移】（3）已知a，b，c为的三边长．化简：．15．（22-23八年级上·广东深圳·期中）阅读材料：若想化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有：．例：化简．解：首先把化为，这里，由于即．．请你仿照阅读材料的方法解决下列问题：(1)填空：___________，___________；(2)化简：写出计算过程(3)化简：为正整数

第08讲二次根式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解二次根式的概念；2．理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围；3．掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简。知识点一：二次根式1.二次根式的概念:一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．如都是二次根式。2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数.知识点二：二次根式有无意义的条件1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即；2.二次根式无意义：被开方数为负数，即；知识点三：二次根式的性质1.二次根式（）的非负性（）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）．2.二次根式的性质：（）3.二次根式的性质：考点一：判断二次根式例1．（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键．根据二次根式的定义逐项分析判断即可，【详解】A．是分式，不是二次根式，故该选项不符合题意；B．，是整式，不是二次根式，故该选项不符合题意；C．是二次根式，故该选项符合题意；D．是三次根式，故该选项不符合题意；故选：C．【变式1-1】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列各式中，是二次根式的有（

）A． B．5 C． D．【答案】C【分析】本题考查二次根式的定义，解答的关键是熟知形如的式子叫做二次根式．【详解】解：A.中被开方数小于，不是二次根式；B.5是整数，不是二次根式；C.是二次根式；D.是三次根式，不是二次根式；故选C．【变式1-2】（22-23八年级下·广西南宁·期中）下列式子不属于二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的定义进行判断即可．【详解】一般的，形如（）的式子叫做二次根式，因此不是二次根式．故选：B【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握知识点是解题关键．【变式1-3】（22-23八年级下·河南驻马店·阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（

），1，，，，A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】D【分析】根据二次根式的定义进行解答即可．【详解】解：，1，，，，中一定是二次根式的有、，共2个，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式．考点二：根据二次根式的定义求字母的值例2.（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（

）A．11 B．12 C．15 D．19【答案】D【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．根据二次根式的定义即可求出答案．【详解】由题意可知：，，∵是整数，是正整数，∴或7或8，，故选：D．【变式2-1】（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（）A．2 B．3 C．8 D．11【答案】B【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论．【详解】解：由题意得：，解得，又因为是整数，∴是完全平方数，当时，即，当时，即，当时，即，当时，即，综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3，故答案选：B．【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键．【变式2-2】（22-23八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值．【详解】∵是一个整数,且m是正整数，,∴m的最小值为3，此时的值是整数3.故选C．【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．【变式2-3】（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（

）A．0 B．4 C．5 D．20【答案】C【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．【详解】解：，∵是整数，n是一个正整数，∴n的最小值是5．故选C．【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．考点三：求二次根式的值例3.（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可．【详解】当时，．故选：C．【变式3-1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查二次根式求值，将代入二次根式，直接求解即可．【详解】解：当时，故选：B．【变式3-2】（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把代入原式化简即可．【详解】解：当时，原式，故选：B．【变式3-3】当时，二次根式的值是（

）A．3 B．2 C．1 D．【答案】A【分析】将代入计算即可得．【详解】解：当时，，故选：A【点睛】本题考查了求二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．考点四：根据二次根式有意义条件求范围例4.（23-24八年级下·广东江门·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数非负；根据被开方数非负得，解不等式即可．【详解】解：由题意得：，解得：；故答案为：B．【变式4-1】（2024·广西·三模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件即可求解．【详解】∵二次根式在实数范围内有意义，∴∴．故选：C．【变式4-2】（23-24八年级下·陕西安康·期中）若二次根式有意义，则的值可以是（

）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟悉掌握二次根式的概念是解题的关键．利用二次根式有意义的性质得到，运算后判断即可．【详解】解：∵二次根式有意义，∴，解得：，C符合故选：C．【变式4-3】（23-24八年级下·新疆和田·期中）使有意义的字母的取值范围（

）A．全体实数 B． C． D．【答案】C【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，解得：；故选C．考点五：根据二次根式有意义求值例5.（23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则．【答案】【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值等知识点，根据二次根式的非负性求得x、y的值成为解题的关键．先根据二次根式的非负性求得x，进而求得y，然后代入计算即可．【详解】解：∵，∴，解得：，∴，∴．故答案为：．【变式5-1】（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为．【答案】【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的值，进而得出的值，进而得出答案．【详解】解：∵，∴，，，，故答案为：．【变式5-2】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足，则的小数部分是．【答案】/【分析】本题考查二次根式有意义的条件及无理数的估算，结合已知条件求得的值是解题的关键．根据二次根式有意义的条件求得的值，然后求出，利用无理数的估算求得小数部分．【详解】解：由题意可得：，则，则，，，则的小整数部分是2，小数部分是，故答案为：．【变式5-3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，则．【答案】25【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，求出x的值是解题关键；利用二次根式有意义的条件进行求解即可；【详解】解：由题意知：，解得：，，，故答案为：25；考点六：根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式例6.（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简：．【答案】【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．【详解】解：∵被开方数恒为非负数，即中，，∴中，，∴，故答案为：．【变式6-1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知，化简的结果是．【答案】5【分析】本题考查的是二次根式以及绝对值的化简，根绝未知数的值化简是解决本题的关键.根据，判断，的正负，进行化简，合并同类项，得出结果.【详解】解：∵∴.故答案为：5【变式6-2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若，则的值为．【答案】【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据题意先得到，再由进行化解求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．【变式6-3】（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式．【答案】/【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，立方根的定义，掌握二次根式的性质，立方根的定义，是解题的关键．根据数轴的特点确定的符号和大小，再根据二次根式的性质，立方根的定义化简，即可求解．【详解】解：根据数轴上点的位置可得，，，，∴，故答案为：．考点七：含隐含条件的参数范围化简二次根式例7.（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据，得出，二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简．【详解】∵，，∴原式，，故选：．【变式7-1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．由的积小于0得到与异号，再根据负数没有平方根得到大于0，进而确定出小于0，所求式子利用二次根式的化简公式即可得到结果．【详解】解：，与异号，，，，则．故选：C．【变式7-2】（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化简得到答案．【详解】解：∵，∴，故，∵，∴，∴．故选：D．【变式7-3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简：．【答案】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简等知识，根据二次根式的性质化简即可．【详解】根据题意有：，，∴，即，∴，故答案为：．考点八：复杂的复合二次根式化简例8.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如：．请仿照上例化简下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解；（2）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解；【详解】（1）解：，；（2）解：，．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键．【变式8-1】（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：(1)化简：(2)化简：(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】此题考查化简二次根式，活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．【详解】（1）解：；（2）；（3）∵，∴，，∴又∵、n为正整数，∴，或者，∴当时，；当时，．∴a的值为：或．【变式8-2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题．(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考①，②，③，④，在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为；(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：①②【答案】(1)④，(2)①；②【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．（1）根据二次根式的性质即可求解；（2）根据（1）中的材料化简即可．【详解】（1）解：①，②，③，④，在上述化简过程中，第④步出现了错误，故答案为：④，；（2）解：①原式；②原式．【变式8-2】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有：例如：化简解：首先把化为，这里，由于，即，(1)填空：______，______；(2)化简求值．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用．（1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论（2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可．【详解】（1），，故答案为：，；（2）．一、单选题1．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）如果二次根式有意义，那么a的值不能是（

）A． B．0 C． D．9【答案】A【分析】本题考查了二次根式有意义的条件；二次根式有意义，则被开方数非负，由此即可判断．【详解】解：由于二次根式有意义，则，即负数使二次根式无意义；故选：A．2．（22-23八年级下·河北唐山·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的概念，形如的式子叫做二次根式，进行判断即可．【详解】A、，含有二次根号，但被开方数是负数，不是二次根式；B、，含有二次根号，且被开方数，一定是二次根式；C、，含有三次根号，不是二次根式；D、含有二次根号，但当时，，不是二次根式．【点睛】本题考查了二次根式的概念，正确理解二次根式有意义的条件是解答本题的关键．3．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是正整数，是整数，则的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果．【详解】解：是正整数，是正整数，是一个完全平方数，，是一个完全平方数，的最小值为2，故选：A．4．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为．先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值．【详解】解：∵，又∵，∴，∴，，∴，故选：D．5．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，实数a，b在数轴上，化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查二次根式的性质化简，根据数轴判断式子的正负，根据数轴可知，然后根据二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：根据数轴可知，，原式故选：B．二、填空题6．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若二次根式有意义，则a的取值范围是，当时，二次根式的值是．【答案】【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式的值，由被开方数为非负数可得，再解不等式可得a的范围，再把代入计算即可．【详解】解：∵二次根式有意义，∴，解得：；当时，；故答案为：，7．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）已知，，则化简的结果是．【答案】【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握性质是解题的关键，难度适中．利用二次根式的性质化简()即可．【详解】∵，，∴．故答案为：．8．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）若，化简二次根式．【答案】/【分析】本题主要考查了二次根式的化简，掌握二次根式的非负性是解题的关键．先将化成，再根据二次根式的非负性即可解答．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．9．（22-23八年级下·全国·假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得．【答案】【分析】根据二次根式的性质可得，则，据此即可求解．【详解】解：∵，有意义，∴，则，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．10．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）已知是有理数，且，则化简的结果为．【答案】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质进行化简，先由二次根式有意义的条件得出，从而得出，代入结合二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：由题意得：，，解得：，将代入得，，故答案为：．三、解答题11．（22-23八年级上·广东佛山·期中）先阅读材料，然后回答问题(1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下，①②③④在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________(2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒【答案】(1)④，(2)【分析】（1）由于，则可知在第④步化简的时候出现错误，据此求出正确的化简结果即可；（2）仿照题意进行化简即可．【详解】（1）解：①②③④，∴上述的化简过程中，第④步出现了错误，正确的化简结果为，故答案为：④，；（2）解：．【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意掌握化简复合二次根式的方法是解题的关键．12．（23-2