沪科版初中九年级数学上册专项素养巩固训练卷(六)相似三角形的基本类型练课件

专项素养巩固训练卷(六)相似三角形的基本类型(练模型)类型一

A字型1.(2024安徽六安霍邱期中,21,★☆☆)如图,点D、E分别在△ABC的边AB、AC

上,∠ADE=∠B,点F在AD上,且EF∥CD.求证:

(1)△DEF∽△BCD;(2)AD2=AF·AB.

证明:(1)∵∠ADE=∠B,∴DE∥BC,∴∠CDE=∠BCD,对应目标编号M9122005∵EF∥CD,∴∠CDE=∠DEF,∴∠BCD=∠DEF,∵∠ADE=∠B,∴△DEF∽△BCD.(2)∵∠ADE=∠B,∴DE∥BC,∴∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC,∴

=

,∵EF∥CD,∴∠AEF=∠ACD,∴△AEF∽△ACD,∴

=

,∴

=

,∴AD2=AF·AB.2.(2024安徽阜阳太和期末,18,★☆☆)如图,△ABC中,∠A=55°,∠B=45°,点D、E

分别在△ABC的边AB、AC上,且∠ADE=80°.(1)求证:△AED∽△ABC;(2)如果AD=4,BD=6,AE=5,求CE的长.

解析

(1)证明:∵∠A=55°,∠B=45°,∴∠C=80°,∵∠A=∠A,∠ADE=∠C,∴△AED∽△ABC.(2)由(1)得△AED∽△ABC,∴

=

,∵AD=4,BD=6,∴AB=10,∵AE=5,∴

=

,∴AC=8,∴CE=AC-AE=8-5=3.类型二

X(8)字型3.(2024安徽亳州蒙城期中,20,★☆☆)如图,在△ABC中,AB=AC,BC恰好是

∠ABD的平分线.

(1)求证:△APC∽△DPB;(2)若AP=BP=1,AD=CP,求DP的长.

解析

(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵BC是∠ABD的平分线,∴∠ABC=∠DBC,∴∠C=∠DBC,对应目标编号M9122005又∵∠APC=∠DPB,∴△APC∽△DPB.(2)设DP=x,∵AP=PB=1,∴AD=AP+DP=1+x,∵AD=CP,∴CP=1+x,由(1)得△APC∽△DPB,∴AP∶DP=PC∶BP,即1∶x=(x+1)∶1,∴x2+x=1,∴x2+x-1=0,解得x1=

,x2=

(不合题意,舍去).∴DP=

.4.(2024安徽安庆潜山期中,20,★★☆)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是

BC延长线上一点,连接DE,AE,BD,AE分别与BD,CD交于点F,G.(1)若

=

,AB=6,求DG的长;(2)求证:AF2=FG·EF.

解析

(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BE,AD=BC,CD=AB=6,∴△ADG

∽△ECG,∴

=

.∵

=

,∴

=

,∴

=

=

,∴

=

,∴DG=

CD=

×6=2.(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BE,AB∥CD,∴△DFG∽△BFA,

△ADF∽△EBF,∴

=

,

=

,∴

=

,即AF2=FG·EF.类型三

K字型5.

[分类讨论思想](★★☆)如图,AD∥BC,AB⊥BC于点B,AB=8,AD=3,BC=4,点P

为AB边上一动点,若△PAD与△PBC是相似三角形,求AP的长.解析∵AB⊥BC,∴∠B=90°.∵AD∥BC,∴∠A=180°-∠B=90°,∴∠PAD=

∠PBC=90°.设AP的长为x,则BP的长为8-x.若AB边上存在点P,使△PAD与△PBC

相似,则分以下两种情况:①若△APD∽△BPC,则AP∶BP=AD∶BC,即x∶(8-x)=

3∶4,解得x=

;②若△APD∽△BCP,则AP∶BC=AD∶BP,即x∶4=3∶(8-x),解得x=2或x=6.故AP的长为

或2或6.类型四旋转型6.(★☆☆)如图,△ABC和△CEF均为等腰直角三角形,E在△ABC内,∠CAE+

∠CBE=90°,连接BF.

(1)求证:△CAE∽△CBF;(2)若BE=1,AE=2,求CE的长.

解析

(1)证明:∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形,∴

=

=

,∠ACB=∠ECF=45°,∴∠ACE=∠BCF,∴△CAE∽△CBF.对应目标编号M9122005(2)∵△CAE∽△CBF,∴∠CAE=∠CBF,

=

=

,∵AE=2,∴

=

,∴BF=

,∵∠CAE+∠CBE=90°,∴∠CBF+∠CBE=90°,∴∠EBF=90°,∴EF2=BE2+BF2=12+(

)2=3,∴EF=

,∵CE2=2EF2=6,∴CE=

.7.(2024江苏扬州梅苑双语学校,23,★☆☆)如图,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE.

求证:(1)AB·AE=AC·AD;(2)△ABC∽△ADE.

证明:(1)∵∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,∴△ABD∽△ACE,∴

=

,∴AB·AE=AC·AD.(2)∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE,即∠BAC=∠DAE,∵

=

,∴

=

,∴△ABC∽△ADE.类型五母子型8.(★☆☆)如图,在△ABC中,D为BC上一点,AD平分∠BAC,AD=DC.(1)求证:△ABC∽△DBA;(2)若BD=2,DC=3,求AC的长.解析

(1)证明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∵AD=DC,∴∠CAD=∠C,∴∠BAD=∠C.∵∠B=∠B,∴△ABC∽△DBA.(2)∵BD=2,DC=3,∴BC=5,∵AD=DC,∴AD=3.∵△ABC∽△DBA,∴

=

,∴

=

,∴AB=

.∵△ABC∽△DBA,∴

=

,∴

=

,∴AC=

.类型六双垂直型9.(2023黑龙江绥化期末,12,★☆☆)如图,AD,BC是△AOB的两条高,AD=2OD,连

接CD,下列结论:①BC=2OC;②△AOB∽△DOC;③

=

.其中正确的个数为

(

)

A.0

B.1

C.2

D.3D解析

D∵AD,BC是△AOB的两条高,∴∠ADO=∠BCO=90°,又∵∠AOD=

∠BOC,∴△AOD∽△BOC,∴

=

=

,∴

=

=2,∴BC=2OC,故①正确;∵

=

,∴

=

,又∵∠AOB=∠DOC,∴△AOB∽△DOC,故②正确;∵△AOB∽△DOC,∴

=

,设OD=x,则AD=2x,∴AO=

=

x,∴

=

=

,故③正确.综上所述,正确的个数为3.故选D.10.(★☆☆)如图,AD为直角三角形ABC斜边上的高,DE⊥AB于点E,图中相似三

角形共有

对.

10答案

10解析∵AD是Rt△ABC斜边上的高,DE⊥AB,∴∠AED=∠ADC=∠BED=∠ADB

=∠CAB=90°.∵∠C=∠C,∠B=∠B,∴△ACD∽△BCA∽△BDE∽△BAD,∵∠DAE=∠BAD,∴△DAE∽△BAD,∴△ACD∽△BCA∽△BDE∽△BAD∽△DAE,∴题图中共有10对相似三角形.类型七一线三等角型11.(2023湖南邵阳中考,21,★☆☆)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一

点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.

(1)证明:△ABC∽△DEB;(2)求线段BD的长.解析

(1)证明:∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,∴∠A=∠CBE=∠D=90°,∴∠C+

∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°,∴∠C=∠DBE,∴△ABC∽△DEB.(2)∵△ABC∽△DEB,∴

=

,∴

=

,∴BD=3.对应目标编号M912200512.(★☆☆)如图,在等边△ABC中,边长为6,D是BC边上的动点,∠EDF=60°.(1)求证:△BDE∽△CFD;(2)当BD=1,CF=3时,求BE的长.

解析

(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠C=60°,∵∠EDF=60°,∴∠BED

+∠EDB=∠EDB+∠FDC=120°,∴∠BED=∠FDC,∴△BDE∽△CFD.(2)由(1)知△BDE∽△CFD,∴

=

,∵BC=6,BD=1,∴CD=BC-BD=5,∴

=

,解得BE=

.类型八“两高”型13.(2024安徽合肥月考,21,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,中线AE与高CD相

交于点P,连接DE.

(1)求证:PA·PE=PC·PD;(2)过点E作EF⊥AC于点F,求

的值.

对应目标编号M9122005解析

(1)证明:∵AB