沪科版初中九年级数学上册第22章综合与实践测量与误差素养综合检测课件

第22章相似形第22章素养综合检测一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.(2024安徽六安金寨期末)下列四组线段中,是成比例线段

的是

(

)A.5cm,6cm,7cm,8cmB.3cm,6cm,2cm,5cmC.2cm,4cm,6cm,8cmD.3cm,4cm,6cm,8cmD解析

5×8≠6×7,故A选项不符合题意;3×5≠6×2,故B选项不

符合题意;2×8≠4×6,故C选项不符合题意;3×8=4×6,故D选项

符合题意.故选D.2.(一题多解)(2024安徽宿州埇桥期中)若

=

,则

的值为

(

)A.1B.

C.

D.

C解析解法一:∵

=

,∴设a=5k,b=3k(k≠0),∴

=

=

=

,故选C.解法二:

=2-

=2-

=

,故选C.3.(2024安徽安庆期中)大自然巧夺天工,一片小树叶也蕴含

着“黄金分割”,如图,P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果

AP的长度为10cm,那么AB的长度是(M9122002)(

)A.(5

+5)cmB.(15-5

)cmC.(5

-5)cmD.(15+5

)cm

A解析

∵P为AB的黄金分割点,AP>PB,∴AP=

AB,即AB=

×10=(5

+5)cm.故选A.4.(2024安徽蚌埠期中)下列两个图形不一定相似的是

(

)A.两个正方形B.两个等腰直角三角形C.两个等边三角形D.两个等腰三角形D解析若一个等腰三角形的顶角和另一个等腰三角形的底

角相等,则这两个等腰三角形不一定相似.故选D.5.(2024安徽阜阳界首期中)如图,直线a∥b∥c,直线m、n分别

与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F,若AB=2,

AC=5,DE=3,则EF=(M9122004)(

)A.

B.

C.4D.

D解析∵a∥b∥c,∴

=

,∵AB=2,AC=5,DE=3,∴

=

,解得DF=

,∴EF=DF-DE=

-3=

,故选D.6.如图,在平行四边形ABCD中,P为对角线AC上一点,过点P

作AB的平行线,分别与AD、BC相交于E、F,则图中与△

AEP相似的三角形有

(

)A.1个B.2个C.3个

D.0个

C解析∵AE∥BC,∴△AEP∽△CFP.∵EP∥CD,∴△AEP∽△ADC.∵FP∥AB,∴△CFP∽△CBA,∴△AEP

∽△CBA,∴图中与△AEP相似的三角形有3个.故选C.7.(2024安徽亳州期末)如图,已知△ABC与△DEF位似,位似

中心为O,且△ABC与△DEF的周长之比是4∶3,则AO∶DO=

(

)A.4∶7B.4∶3C.3∶4

D.16∶9B解析∵△ABC与△DEF位似,∴△ABC∽△DEF,AB∥DE.

∵△ABC与△DEF的周长之比是4∶3,∴AB∶DE=4∶3.∵

AB∥DE,∴△AOB∽△DOE,∴AO∶DO=AB∶DE=4∶3,故

选B.8.(情境题·现实生活)如图,测量小玻璃管口径的量具ABC中,

AB的长为3cm,AC被分为5等份.若小玻璃管口DE正好对着

量具上2等份处(DE∥AB),那么小玻璃管口径DE的长为

(

)A.

cmB.2cmC.

cmD.1cmA解析∵DE∥AB,∴∠BAC=∠EDC,∠B=∠CED,∴△ABC∽△DEC,∴

=

,∴

=

,∴DE=

(cm),故选A.9.(教材变式·P107T9)已知AB=4,CD=6,BD=10,AB⊥BD,CD

⊥BD,在线段BD上有一点P,使得△PAB和△PCD相似,则满

足条件的点P有

(

)A.1个B.2个C.3个

D.无数个

B解析由题意知AB=4,CD=6,BD=10,设BP=x,则PD=BD-BP=

10-x.∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠B=∠D=90°,∴当

=

或

=

时,△PAB和△PCD相似,当

=

时,

=

,解得x=4;当

=

时,

=

,解得x1=4,x2=6,∴BP=4或6,∴满足条件的点P有2个.10.(2024安徽合肥肥西期末)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,CD是角平分线,则△DBC的面积与△ABC面积的比值是(M9122006)(

)A.

B.

C.

D.

C解析设AB=x,BC=y.∵△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∴∠

ABC=∠ACB=72°.∵CD是角平分线,∴∠BCD=∠ACD=36°.

∴∠BDC=72°,∴AD=CD=BC=y,∴BD=x-y.∵∠BCD=∠A=

36°,∠B=∠ACB=72°,∴△DBC∽△BCA.∴

=

,即

=

,∴x2-xy-y2=0,∴x=

y(负值舍去).∴

=

.∴△DBC的面积与△ABC面积的比值是

=

.故选C.11.(新独家原创)两个相似三角形的对应中线的比为1∶3,则

它们的周长比为

.1∶3解析相似三角形的对应中线的比等于相似比,对应周长的

比等于相似比.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)12.(2024安徽合肥市五十中学东校期中)已知线段a=3cm,b=

6cm,那么线段a,b的比例中项等于

cm.3解析∵线段a=3cm,b=6cm,∴线段a、b的比例中项=

=3

(cm).易错警示线段的比例中项和数的比例中项的区别两条线段的比例中项是一个正数,带有单位.两个数的比例中

项是互为相反数的两个数.13.如图,在钝角三角形ABC中,AB=6cm,AC=12cm,动点D从

点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动,同时动点E从点C

出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动,当以A,D,E为顶点的三

角形与△ABC相似时,运动时间是

.

3秒或4.8秒解析设运动t秒时,以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,

则AD=tcm,CE=2tcm,∴AE=AC-CE=(12-2t)cm,①当△ADE∽△ABC时,AD∶AB=AE∶AC,∴t∶6=(12-2t)∶12,∴t=3;②当△ADE∽△ACB时,AD∶AC=AE∶AB,∴t∶12=(12-2t)∶6,∴t=4.8,∴当以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时,运动的时间

是3秒或4.8秒.14.(安徽常考·双填空题)如图,在正方形ABCD中,AB=4,M为

BC的中点,点N在射线AD上,过点N作NE⊥AM于点E,连接

MN,请探究下列问题:(1)

=

;(2)当△MEN与△ABM相似时,AN=

.2或5解析

(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=AD=4.∵点

M是BC的中点,∴BM=2=CM,∴AM=

=

=2

.∵BC∥AD,∴∠BMA=∠MAN,又∠B=∠AEN=90°,∴△ABM∽△NEA,∴

=

,∴

=

=

=

.(2)∵EN⊥AM,∴∠ABC=∠MEN,①当∠AMB=∠EMN时,

△ABM∽△NEM,∴∠AMB=∠EMN=∠MAN,∴AN=MN.

∵EN⊥AM,∴AE=EM=

.∵

=

,∴AN=5.②当∠BAM=∠AMN时,△ABM∽△MEN,∴∠MAN+∠AMN=90°,∴∠ANM=90°,∴四边形ABMN是矩形,∴BM=AN=2.综上所述,

AN的长为2或5.三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.(2024安徽亳州期末)已知实数x,y,z满足

=

=

,试求

的值.(M9122001)解析设

=

=

=k(k≠0),∴x=3k,y=4k,z=5k,∴

=

=

=

.16.(2024安徽宿州埇桥期中)如图,在△ABC中,点D是AB上一

点,且AD=1,AB=3,AC=

.求证:△ACD∽△ABC.(M9122005)

解析

证明∵AD=1,AB=3,AC=

,∴

=

,

=

=

,∴

=

,又∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.(跨学科·物理)(2024安徽合肥滨湖寿春中学月考)小红用

下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度:如图,在水平地

面点E处放一面平面镜,镜子与教学大楼的距离AE=20米.当

她与镜子的距离CE=2.5米时,她刚好能从镜子中看到教学大

楼的顶端B.已知她的眼睛距地面的高度DC=1.6米,请你帮助

小红测量出大楼AB的高度(注:入射角=反射角).(M9122008)解析根据题意得∠FEB=∠FED,∴∠BEA=∠DEC,∵∠BAE=∠DCE=90°,∴△BAE∽△DCE.∴

=

.∵CE=2.5米,DC=1.6米,∴

=

,∴AB=12.8(米),∴大楼AB的高度为12.8米.18.(2024安徽宣城期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的

三个顶点的坐标分别为A(-2,2)、B(-4,0)、C(-4,-4).(M912200

7)(1)在y轴右侧,以O为位似中心,将△ABC按相似比1∶2缩小,

画出△A'B'C';(2)写出△A'B'C'各顶点的坐标;(3)若△ABC内部一点M的坐标为(a,b),则点M在△A'B'C'内

部的对应点M'的坐标是

.

解析

(1)如图,△A'B'C'即为所求.(2)由图可得,A'(1,-1),B'(2,0),C'(2,2).(3)

.

19.如图,在6×6的正方形网格中,△A1B1C1和△A2B2C2的顶点

都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)判断△A1B1C1和△A2B2C2是否相似,并证明你的结论.(2)在(1)的结论下,△A1B1C1和△A2B2C2的面积比=

.

解析

(1)相似.证明:由题中条件可得∠B2A2C2=∠B1A1C1=90°+45°=135°,又

=

=

,∴△B2A2C2∽△B1A1C1.(2)因为相似三角形的面积比等于对应边的比的平方,由(1)可得

=

,所以

=22=4.五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)20.(2022浙江杭州中考)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边

AB,AC,BC上,连接DE,EF.已知四边形BFED是平行四边形,

=

.(M9122006)(1)若AB=8,求线段AD的长;(2)若△ADE的面积为1,求平行四边形BFED的面积.

解析

(1)∵四边形BFED是平行四边形,∴DE∥BF,即DE∥

BC,∴△ADE∽△ABC,∴

=

=

,∵AB=8,∴AD=2.(2)∵△ADE∽△ABC,∴

=

=

,∴

=

=

=

,

=

,∵△ADE的面积为1,∴△ABC的面积是16,∵四边形BFED是平行四边形,∴EF∥AB,∴△EFC∽△

ABC,∴

=

=

=

,∴△EFC的面积为9,∴平行四边形BFED的面积=16-9-1=6.六、(本题满分12分)21.(2024安徽蚌埠月考)在锐角三角形ABC中,点D、E分别在

边AB、AC上,AF⊥BC于点F,AG⊥DE于点G,∠BAF=∠

EAG.(1)求证:△AED∽△ABC;(2)若AB=5,AG=2,EG=1,求AF的长.

解析

(1)证明:∵AG⊥DE,AF⊥BC,∴∠AFB=∠AGE=90°.∵∠BAF=∠EAG,∴∠AED=∠ABC.

∵∠EAD=∠BAC,∴△AED∽△ABC.(2)由(1)可知∠AFB=∠AGE=90°,∵∠BAF=∠EAG,∴△ABF∽△AEG,∴

=

.∵AB=5,AG=2,EG=1,AG⊥DE,∴AE=

=

=

,∴

=

,∴AF=2

.七、(本题满分12分)22.在四边形ABCD中,AC为对角线,AC=AB=BC,BE⊥AC于

点E,CD=BE=

,AD=1.(1)如图1,求证:∠ADC=90°;(2)如图2,延长BE交AD边的延长线于点F,交CD边于点G,连

接CF、DE,在不添加任何字母和辅助线的条件下,直接写出

图中与△ABF相似但不全等的三角形,并证明.

解析

(1)证明:∵AC=AB=BC,∴△ABC是等边三角形,∴∠

BAC=∠ACB=∠ABC=60°,∵BE⊥AC,∴∠ABE=30°,∠

AEB=90°,由BE=

,易得AB=2,AE=1=AD,在△ABE和△ACD中,

∴△ABE≌△ACD(SSS),∴∠ADC=∠AEB=90°.(2)与△ABF相似但不全等的三角形有四个:△ECD,△DEF,

△GDE和△GCF.证明:由(1)知,∠ABE=∠ACD=30°,∵∠ACB=60°,∴∠BCD=

90°,∵∠ADC=90°,∴AD∥BC,∴∠AFE=∠EBC=30°,∴在Rt

△AEF中,AF=2AE=2,∴AF=BC,∴四边形ABCF为平行四边

形,∵AB=BC,∴四边形ABCF为菱形,∵E,D分别为BF,AF的

中点,∴DE∥AB,∴△DEF∽△ABF,∴∠ABE=∠DEG=30°,

∴∠DEC=90°+30°=120°,∵∠EAF=∠ACB=60°,∴∠BAF=

∠DEC=120°,∵∠ACD=∠ABF=30°,∴△ABF∽△ECD,∵

AB∥CF,∴DE∥CF,∴△GDE∽△GCF,∵在Rt△BCG中,∠

GBC=30°,∴∠BGC=60°,∴∠EGD=120°,∴∠EGD=∠BAF,∵∠ABF=∠DEG,∴△GDE∽△AFB,∵△GDE∽△GCF,∴

△GDE∽△AFB∽△GCF.综上,与△ABF相似的三角形有△DEF,△ECD,△GDE和△GCF.八、(本题满分14分)23.如图,在△ABC中,D、G分别是边BC、AC上的点,连接

AD、BG相交于点E,BE=BD.过点C作AD的平行线与BG的

延长线交于点F,

=

,

=

.(1)求

的值