沪科版初中九年级数学上册23-2解直角三角形及其应用第四课时坡度问题及其他应用课件

第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其应用第四课时坡度问题及其他应用1.(2024安徽六安霍邱期末)如图,河堤横断面迎水坡AB的坡

比i=1∶

,则∠BAC等于

(

)A.60°

B.55°

C.45°

D.30°

基础过关全练知识点4坡度问题D解析∵河堤横断面迎水坡AB的坡比i=1∶

,∴tan∠BAC=

=

=

,∴∠BAC=30°.故选D.2.(2024安徽合肥蜀山期末)在坡度i=1∶2.4的山坡上种树,要

求相邻两棵树之间的水平距离是6米,则斜坡上相邻两棵树

之间的坡面距离是

(

)A.6米

B.6.5米C.13米

D.14.4米B解析∵山坡的坡度i=1∶2.4,相邻两棵树之间的水平距离

是6米,∴铅直高度为6÷2.4=

(米),由勾股定理得,相邻两棵树之间的坡面距离为

=

=6.5(米),故选B.3.(2023广东深圳中考)爬坡时坡面与水平面夹角为α,则每爬

1m耗能(1.025-cosα)J,若某人爬了1000m,该坡坡角为30°,

则他耗能(参考数据:

≈1.732,

≈1.414)(M9123005)(

)A.58J

B.159JC.1025J

D.1732JB解析某人爬了1000m,该坡坡角为30°,则他耗能1000×(1.0

25-cos30°)=1000×

≈159(J),故选B.4.如图,一辆货车车厢底板离地面的高度为1.5米,为了方便卸

货,需要用一块木板搭成一个斜面,要使斜面与水平地面的夹

角不大于30°,则这块木板的长度至少为

米.3解析如图,AC长为车厢底板离地面的高度,即AC=1.5米,AB

是所求木板的长度,因为在直角三角形ABC中,∠B=30°,所以

AB=

=2×1.5=3(米).∴要使斜面与水平地面的夹角不大于30°,则这块木板的长度至少为3米.

5.如图,若一个小球由桌面上的B处沿着斜坡向上前进了10

cm到达A处,此时小球距离桌面的高度为5cm,则这个斜坡的

坡度为

.

1∶解析在Rt△ABC中,AB=10cm,AC=5cm,则BC=

=

=5

cm,∴斜坡的坡度i=AC∶BC=5∶5

=1∶

.6.(安徽景点·渡江战役纪念馆)渡江战役纪念馆是安徽省的

国家二级博物馆,实物图如图1,示意图如图2.某学校数学兴

趣小组通过测量得知,纪念馆外轮廓斜坡AB的坡度i=1∶

,BC=50m,∠ACB=135°,求馆顶A离地面BC的距离.(结果精确

到0.1m,参考数据:

≈1.41,

≈1.73)(M9123005)

图1

图2解析如图,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.∵∠ACB=135°,∴∠ACD=45°,∴△ADC为等腰直角三角形.

设AD=xm,则CD=xm,∴BD=(50+x)m,∵斜坡AB的坡度i=1∶

,∴x∶(50+x)=1∶

,整理得(

-1)x=50,解得x=25(

+1)≈68.3.答:馆顶A离地面BC的距离约为68.3m.

7.(教材变式·P129T1)(2023湖北仙桃中考)为了防洪需要,某

地决定新建一座拦水坝,如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,

斜面坡度i=3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.

已知斜坡CD长度为20米,∠C=18°,求斜坡AB的长.(结果精确

到0.1米)(参考数据:sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.3

2)(M9123005)

解析如图,过点D作DE⊥BC,垂足为E,由题意得,AF⊥BC,DE=AF,∵斜面AB的坡度i=3∶4,∴

=

.设AF=3x米,则BF=4x米,在Rt△ABF中,AB=

=

=5x(米),在Rt△DEC中,∠C=18°,CD=20米,∴DE=CD·sin18°≈20×0.31=6.2

(米),∴AF=DE=6.2米,∴3x=6.2,解得x=

.∴AB=5x≈10.3(米),∴斜坡AB的长约为10.3米.方法归纳用“分割法”求解堤坝问题解决堤坝问题常用的方法是分割法,通过添加辅助线,将四边

形分成两个直角三角形和一个矩形,进而利用坡度的知识解

决.知识点5解直角三角形在实际问题中的应用8.(2024安徽合肥肥西期末)某景点想修建如图所示的简易遮

阳棚.点D,A,E在同一水平线上,测得∠DAC=79°,∠BCA=109°,AC=2米,AN=1.35米,求遮阳棚最高点B到地面的距离BN的

长.(结果精确到0.1米,参考数据:sin79°≈0.98,cos79°≈0.19,

tan79°≈5.14,

≈1.73)(M9123005)解析过点C作CF⊥BN于F,CM⊥DE于M,如图,∵∠CFN=∠FNM=∠CMN=90°,∴四边形CMNF是矩形,∴CM=NF,CF=MN,∠MCF=90°.在Rt△ACM中,AM=AC·cos∠DAC=AC·cos79°≈2×0.19=0.38

米,CM=AC·sin79°≈2×0.98=1.96米,∴MN=CF=AN+AM=1.35+0.38=1.73米.∵∠DAC=79°,CF∥

MN,∴∠ACF=79°,∴∠BCF=109°-79°=30°,∴BF=CF·tan30°=1.73×

≈1.00米,∴BN=NF+BF=1.96+1.00=2.96≈3.0米.

9.(一题多解)(2021安徽中考)学生到工厂劳动实践,学习制作

机械零件.零件的截面如图中阴影部分所示,已知四边形

AEFD为矩形,点B、C分别在EF、DF上,∠ABC=90°,∠BAD=

53°,AB=10cm,BC=6cm.求零件的截面面积.参考数据:sin53°

≈0.80,cos53°≈0.60.(M9123005)

解析解法一:∵四边形AEFD为矩形,∴AD∥EF,∠E=∠F=90°,∴∠BAD=∠EBA=53°.在Rt△ABE中,∠E=90°,AB=10cm,∠EBA=53°,∴sin∠EBA=

≈0.80,cos∠EBA=

≈0.60,∴AE≈8cm,BE≈6cm.∵∠ABC=90°,∴∠FBC=90°-∠EBA=37°,∴∠BCF=90°-∠FBC=53°.在Rt△BCF中,∠F=90°,BC=6cm,∴sin∠BCF=

≈0.80,cos∠BCF=

≈0.60,∴BF≈4.8cm,FC≈3.6cm,∴EF=6+4.8=10.8cm,∴

=AE·EF=8×10.8=86.4(cm2),S△ABE=

AE·BE=

×8×6=24(cm2),S△BCF=

BF·CF=

×4.8×3.6=8.64(cm2),∴零件的截面面积=

-S△ABE-S△BCF=86.4-24-8.64=53.76(cm2).解法二:如图,延长AB交DC的延长线于点M,∵∠M=∠M,∠MBC=∠ADM=90°,∴△MBC∽△MDA,∴∠BCM=∠BAD=53°,∴cos53°=

≈0.6,∴CM≈10cm.∴BM=

=8cm,∴AM=AB+BM=18cm.∵在Rt△ADM中,AD=AM·cos∠MAD≈10.8cm,DM=AM·sin∠MAD≈14.4cm,∴零件的截面面积=S△ADM-S△BCM

=

AD·DM-

BC·BM=53.76(cm2).10.(2023湖北十堰中考,7, )如图所示,有一天桥高AB为5米,BC是通向天桥的斜坡,∠ACB=45°,市政部门启动“陡改

缓”工程,决定将斜坡的底端C延伸到D处,使∠BDA=30°,则

CD的长度约为(参考数据:

≈1.414,

≈1.732)(M9123005)(

)A.1.59米

B.2.07米

C.3.55米

D.3.66米D能力提升全练解析在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=45°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴AC=AB=5米,在Rt△ABD中,∠BAD

=90°,∠BDA=30°,∴∠ABD=60°,∴

=tan∠ABD=tan60°=

,∴AD=

AB,∴CD=AD-AC=

AB-AC≈1.732×5-5=3.66(米),∴CD的长度约为3.66米,故选D.11.(2023广西中考,17, )如图,焊接一个钢架,包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱,则共需钢材约

m(结果取整数).(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan

37°≈0.75)(M9123005)21解析∵CA=CB,CD⊥AB,∴AD=BD=

AB.在Rt△ACD中,∠CAD=37°,CD=3m,∴AC=

≈

=5(m),AD=

≈

=4(m),∴CA=CB=5m,AB=2AD=8(m),∴共需钢材约5+5+8+3=21(m).12.(情境题·现实生活)(2024安徽六安月考,18, )张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图①),完全开启后,

把手AM与水平线的夹角为37°,此时把手端点A、出水口点B

和落水点C在同一直线上,洗手盆及水龙头示意图如图②,其

相关数据为AM=10cm,MD=6cm,DE=22cm,EH=38cm,求EC

的长.

结果精确到0.1cm,参考数据:sin37°≈

,cos37°≈

,tan37°≈

,

≈1.73

(M9123005)

图①

图②解析过点A作AG⊥EH于G,过点M作MN⊥AG于N,如图所

示,则四边形MEGN为矩形,∴EG=MN,NG=ME=MD+DE=6+22=28(cm),在Rt△AMN中,sin∠AMN=

,cos∠AMN=

,∴AN=AM·sin37°≈10×

=6(cm),MN=AM·cos37°≈10×

=8(cm),∴EG=8cm,AG=AN+NG=6+28=34(cm),∵∠ACG=60°,

∴CG=

=

=

≈19.61(cm),∴EC=EG+CG=8+19.61≈27.6(cm).答:EC的长约为27.6cm.

13.(2020四川泸州中考,23, )如图,为了测量某条河的对岸边上C,D两点间的距离,在河的岸边与CD平行的直线EF上

取两点A,B,测得∠BAC=45°,∠ABC=37°,∠DBF=60°,量得AB

长为70米.求C,D两点间的距离.

参考数据:sin37°≈

,cos37°≈

,tan37°≈

(M9123005)

解析如图,过点C、D分别作CM⊥EF,DN⊥EF,垂足为M、

N,在Rt△AMC中,∵∠BAC=45°,∴AM=MC,在Rt△BMC中,∵∠ABC=37°,tan∠ABC=

,∴BM=

≈

CM,∵AB=AM+BM=CM+

CM=70米,∴CM=30米=DN,在Rt△BDN中,∵∠DBN=60°,∴BN=

=

=10

(米),∴CD=MN=MB+BN=

×30+10

=(40+10

)米.答:C,D两点间的距离约为(40+10

)米.14.(2023辽宁中考,22, )暑假期间,小明与小亮相约到某旅游风景区登山,需要登顶600m高的山峰,由山底A处先步

行300m到达B处,再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.如图,

已知点A,B,D,E,F在同一平面内,山坡AB的坡角为30°,缆车行

驶路线BD与水平面的夹角为53°(换乘登山缆车的时间忽略

不计).(M9123005)(1)求登山缆车上升的高度DE;(2)若步行速度为30m/min,登山缆车的速度为60m/min,求从

山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟(结果精确到0.1min).(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)

解析

(1)如图,过点B作BM⊥AF于点M,由题意可知,∠A=30°,∠DBE=53°,DF=600m,AB=300m,在Rt△ABM中,∠A=30°,AB=300m,∴BM=

AB=150m=EF,∴DE=DF-EF=600-150=450(m).答:登山缆车上升的高度DE为450m.(2)在Rt△BDE中,∠DBE=53°,DE=450m,∴BD=

≈

=562.5(m),∴需要的时间=

+

≈19.4(min).答:从山底A处到达山顶D处大约需要19.4分钟.素养探究全练15.(推理能力)阅读材料:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,

∠B,∠