七年级上册数学培优讲义（直线、射线、线段）第十一讲

直线、射线、线段直线、射线、线段内容基本要求略高要求较高要求直线.射线.线段会表示点.线段.射线.直线.知道它们之间的联系和区别；结合图形理解两点之间的距离的概念；会比较两条线段的大小.并能进行与线段有关的简单计算会用尺规作图：做一条线段等于已知线段.做已知线段的垂直平分线；会用线段中点的知识解决简单问题；结合图形认识线段间的数量关系会运用两点间的距离解决有关问题直线.射线.线段的概念：①在直线的基础上定义射线.线段：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线.这个点叫做射线的端点．直线上两点和中间的部分叫线段.这两个点叫线段的端点．②在线段的基础上定义直线.射线：把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线.把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线．点与直线的关系：点在直线上；点在直线外．两个重要公理：①经过两点有且只有一条直线.也称为“两点确定一条直线”．②两点之间的连线中.线段最短.简称“两点之间.线段最短”．两点之间的距离：两点确定的线段的长度．⑴点的表示方法：我们经常用一个大写的英文字母表示点：....……⑵直线的表示方法：用两个大写字母来表示.这两个大写字母表示直线上的点.不分先后顺序.如直线AB.如下图⑴也可以写作直线BA．②用一个小写字母来表示.如直线.如上图⑵．注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字；用两个大写字母表示时字母不分先后顺序．⑶射线的表示方法：①用两个大写字母来表示．第一个大写字母表示射线的端点.第二个大写字母表示射线上的点．如射线OA.如图⑶.但不能写作射线AO．②用一个小写字母来表示.如射线.如图⑷．注意：在射线的表示前面必须加上“射线”二字．用两个大写字母表示射线时字母有先后顺序.射线的端点在前．⑷线段的表示方法：①用两个大写字母来表示.这两个大写字母表示线段的两个端点.无先后顺序之分.如线段AB.如图⑸.也可以写作线段BA．②也可以用一个小写字母来表示：如线段.如图⑹．注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字．用两个大写字母表示线段时字母不分先后顺序．直线.射线.线段的主要区别：类型端点延长线及反向延长线用两个大写字母表示直线个无无顺序射线个有反向延长线第一个表示端点线段个两者都有无顺序中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．模块一直线.射线.线段的概念下列说法正确的是（）A.直线上一点一旁的部分叫做射线B.直线是射线的2倍C.射线与射线是同一条射线D.过两点可画出两条射线【解题思路】略【题目答案】【巩固练习】下列说法中正确的是（）A.直线的一半是射线B.延长线段至.使C.从北京到上海火车行驶的路程就是这两地的距离D.三条直线两两相交.有三个交点【解题思路】略【题目答案】下列语句准确规范的是()A.直线相交于一点B.延长直线C.反向延长射线(是端点)D.延长线段到.使【解题思路】略【题目答案】D【巩固练习】下面说法中错误的是()A.直线和直线是同一条直线B.射线和射线是同一条射线C.线段和线段是同一条线段D.把线段向两端无限延伸便得到直线【解题思路】略【题目答案】B【巩固练习】下列叙述正确的是（）A．孙悟空在天上画一条十万八千里的直线B．笔直的公路是一条直线C．点一定在直线上D．过点.可以画两条不同的直线.分别为直线和直线【解题思路】略【题目答案】根据直线.射线.线段各自的性质.如下图.能够相交的是（）【解题思路】略【题目答案】B【巩固练习】下列四个图形中各有一条射线和一条线段.它们能相交的是（）【解题思路】略【题目答案】C【巩固练习】下列叙述正确的是()A．可以画一条长的直线 B．一根拉紧的线是一条直线C．直线AB经过C点D．直线AB与直线BA是不同的直线【解题思路】略【题目答案】C如图所示根据要求作图：⑴连结AB；⑵作射线AC；⑶作直线BC．【解题思路】略【题目答案】如图模块二直线公理公理：两点确定一条直线如图.图中共有条线段.【解题思路】.【题目答案】15【巩固练习】平面上有三个点.经过两点画一条直线.则可以画几条直线?【解题思路】略【题目答案】1条或3条.模块三线段的相关计算如图所示.是线段的中点.则.．【解题思路】.．【题目答案】；；．【巩固练习】判断：若.则说明是的中点．【解题思路】错误.如图.虽然.但不是的中点.要明确点把线段分成两条相等的线段才可．【题目答案】错误【巩固练习】判断：已知..三点在同一条直线上..那么是的中点．【解题思路】错误.几何中的题目如果无图.要特别注意读准题意.适时分类求解．如下图⑴.⑵.均满足题意．【题目答案】错误如图.已知线段上依次有三个点把线段分成四个部分..求的长度.【解题思路】根据题意可设.所以有：.【题目答案】36【巩固练习】已知.是上顺次两点.且.为的中点.为的中点.求的长.【解题思路】设.....【题目答案】10如图.已知线段上依次有三个点把线段分成四个部分.分别是的中点.若求的长度.【解题思路】根据题意可设【题目答案】7【巩固练习】摄影组从市到市有一天的路程.计划上午比下午多走100千米到市吃饭.由于堵车.中午才赶到一个小镇.只行驶了原计划的三分之一.过了小镇.汽车赶了400千米.傍晚才停下来休息.司机说.再走从市到这里路程的二分之一就到达目的地了.问两市相距多少千米？【解题思路】根据题意画图.为中午赶到的小镇.为傍晚赶到的地方.根据题意可得：.所以有.则（千米）.【题目答案】600千米模块四两点之间线段最短从家到学校共有条路可以走.如图所示.若想走最近的路.应选择（填序号）.这是根据．【解题思路】略【题目答案】②；两点之间.线段最短.如图.已知在直线的两侧.在上求一点.使最小；【解题思路】如图.连接.与的交点即为所求的点.利用“两点之间线段最短”.教师不妨可在其他出处取一点.显然.【题目答案】如图【巩固练习】如图.有一个正方体的盒子.在盒子内的顶点处有一只蜘蛛.而在对角的顶点处有一只苍蝇.蜘蛛应沿着什么路径爬行.才能在最短的时间内捕捉到苍蝇？（假设苍蝇在处不动）【解题思路】把盒面展开.使包含点和的两个盒面在同一平面内.如图3-1是其中的一种.根据两点之间线段最短.只要连接即可.设与交于点.则就是最短路线.【题目答案】把盒面展开.使包含点和的两个盒面在同一平面内.如图3-1是其中的一种.根据两点之间线段最短.只要连接即可.设与交于点.则就是最短路线.板块五线段长度总和数线段：如果直线上有个点（含有条基本线段.把相邻两点间的线段叫做基本线段）.直线上的线段条数为：（条）.如图.直线上有三个不同的点.且.那么到三点距离的和最小的点（）A．是点B．是线段的中点C．是线段外的一点D．有无穷多个【解题思路】略【题目答案】A【巩固练习】如图.是线段上一点.是线段的中点.已知图中所有线段的长度之和为.线段的长度和线段的长度都是正整数.则线段的长度为__________.【解题思路】设线段.则有.于是有.上式中均为正整数.故为偶数.又当时..故只能取或4.当时.不是整数；于是..【题目答案】3如图.线段厘米.那么图中所有线段长度之和等于多少厘米？【解题思路】所有线段和为：【题目答案】20【巩固练习】已知是线段上顺次三点..则这个图形中所有线段的长度之和为多少？【解题思路】所有线段和为：【题目答案】50一条直线从左到右依次排列着2004个点:已知点是线段的等分点中最靠近的那个分点.例如.点就是线段的五等份点中最靠近的那个点.如果线段的长度是1.线段的长度为.求证:【解题思路】略【题目答案】由题意.应是的二等份点.所以.应是的三等分点中最靠近的那个点.所以一般地.是的等份点中最靠近的那个点.所以移项化简得:即试看具体情有:依次类推得.所以是线段的中点.是线段上的一点.如图所示.若所有线段的长度都是正整数.且线段的所有可能数的乘积等于140.则线段的所有可能的长度的和等于【解题思路】因为所有线段的长为正整数.且是的中点.设的长度为.则有(是正整数)又.且是线段的所有可能的长度的乘积.所以或.故的所有可能长度的和为.【巩固练习】如图.已知是线段上一点.是线段的中点.是线段的中点.为的中点.为的中点.则等于（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】略【题目答案】B【巩固练习】如图.是直线上的一个点.请你在点的右侧每隔1厘米取一个点.共取三个点.那么.（1）用三个字母任意标在所取的三个点上.一共有_______中不同标法；（2）在每种标法中.的长度与的长度的比分别是__________.【解题思路】（1）将三个字母任意标在所取的三个点上.第一个点有3种标法.第二个点有2种标法.第三个点有1中标法.所以共有种标法.（2）下面是6种标法：①中.②中.③中.④中.⑤中.⑥中.板块六线段长短比较（1）叠合法：比较两条线段.的长短.可把它们移到同一条直线上.使一个端点和重合.另一个端点和落在直线上（或）的同侧.若点.重合.则；若在线段上.则；若在线段外.则.（2）度量法：分别度量出每条线段的长度.再按长度的大小.比较线段的大小.线段的大小关系和它们长度的大小关系是一致的.如图.线段.是中点.是中点.试比较和的大小.【解题思路】略【题目答案】【巩固练习】如图.已知.是线段上的任意两点.是的中点.是的中点.请你说明：.【解题思路】略【题目答案】根据题意可得：课后课后练习１.如图.是上任意一点.是的三等分点.是的三等分点..求的长度.【解题思路】【题目答案】２.如图.已知在直线的同侧.在上求一点.使最小；【解题思路】如图.作关于的对称点.连接交于点.即为所求的点！教师可以另取任意一点.向学生说明为什么这样的情况下符合提议！【题目答案】如图.点即为所求３.如图.依次是线段上三点.已知..则图中所有线段长度之和是多少？【解题思路