七年级上册数学培优讲义一元一次方程的应用题一第八讲

一元一次方程的应用题(一)一元一次方程的应用题(一)一元一次方程了解一元一次方程的有关概念会根据具体问题列出一元一次方程能运用整式的加减运算对多项式进行变形.进一步解决有关问题一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各个步骤能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程的解会运用一元一次方程解决简单的实际问题应用题是中学数学中的一类重要问题.一般通过对问题中量的关系进行分析.适当的设未知数.找出等量关系列出方程加以解决.很多同学见到应用题就发怵.觉得题目长.文字多.关系复杂.难以把握.其实应用题关键在于读题.弄懂题意.一些常见的问题.比如行程问题.工程问题.利率问题.浓度问题等等.其中的基本关系一定要深刻理解.设未知数的方法一般来讲.有以下几种：直接设未知数解应用题：直接设未知数指题目问什么就设什么.它多适用于要求的未知数只有一个的情况；间接设未知数解应用题：设间接未知数.是指所设的不是所求的.而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用；引入辅助未知数解应用题：设辅助未知数.就是为了使题目中的数量关系更加明确.可以引进辅助未知数帮助建立方程.辅助未知数往往不需要求出.可以在解题时消去.解应用题的方法多种多样.除此之外.还有运用逆推法解应用题.运用整体思想解应用题.运用图形图表法解应用题等等.单纯的背这些方法是没有意义的.关键还在于提高理解能力.大量练习.从而学会快速读懂题意.综合运用各种方法去求解问题.列方程解应用题的步骤：①审：审题.分析题中已知什么.求什么.明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么.就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式.进而列出方程⑤解：解所列出的方程.求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意.写出答案（包括单位名称）模块一和差倍分问题玻璃缸里养了三个品种的金鱼.分别是“水泡”“朝天龙”“珍珠”．“水泡”的条数是“珍珠”的3倍；“朝天龙”的条数是“珍珠”的2倍.且“朝天龙”比“水泡”少1条.这三种金鱼各有几条呢?【解题思路】设“珍珠”的条数为条.则“水泡”“朝天龙”的条数分别为条.条．依题意得：..从而..【题目答案】【巩固练习】甲队有32人.乙队有28人.现从乙队抽人到甲队.使甲队是乙队人数的2倍.依题意.列出方程为.【解题思路】略【题目答案】【巩固练习】汽车若干辆装运货物一批.若每辆汽车装吨货物.这批货物就有2吨运不走；若每辆汽车装4吨货物.那么装完这批货物后.还可以装其他货物1吨.问汽车有多少辆?这批货物有多少吨？【解题思路】设有汽车辆．依题意得：.解之得：..故汽车有6辆.货物有23吨．【题目答案】；⑴甲仓库有粮吨．乙仓库有粮吨．从甲仓库调运吨到乙仓库.调剂后甲仓库存粮是乙仓库的一半．⑵甲乙两个圆柱体容器.底面积比为.甲容器水深.乙容器水深.再往两个容器注入同样多的水.使两个容器的水深相等.这时水深多少厘米?【解题思路】⑴从甲仓库调运吨到乙仓库.依题意得.解得．⑵设这时水深.依题意得.解得．若学生不好理解.不妨多设一个底面积比为．方程为即可．【题目答案】；【巩固练习】某公司有甲乙两个工程队.甲队人数比乙队人数的多人．现因任务需要.从乙队调走20人到甲队.这时甲队人数是乙队人数的2倍.则甲乙两队原来的人数分别是多少人？【解题思路】设乙队原来有人.则甲队有人．依题意可列：.解得：【题目答案】【巩固练习】甲.乙.丙三条铁路共长千米.甲铁路长比乙铁路的倍少千米.乙铁路长比丙铁路少千米.求甲铁路的长．【解题思路】设丙铁路长为千米.则乙铁路长千米.甲铁路长千米．依题意可列：【题目答案】【巩固练习】如图.两根铁棒直立于桶底水平的木桶中.在桶中加入水后.一根露出水面的长度是它的.另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为.此时木桶中水的深度是．【解题思路】设此时木桶中水的深度为.依题意得.两根铁棒的长度为和.故.解得．【题目答案】牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方.一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来.他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧!”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍.再加上原来这群羊的一半.又加上原来这群羊一半的一半.连你这只羊也算进去.才刚好凑满100只．”问牧羊人的这群羊共有多少只?【解题思路】设这群羊共有只.依题意.有.解之得.【题目答案】模块二行程问题☞追击问题解决追击问题的一个最基本的公式：追击时间速度差追击的路程．于此相关的问题都可以应用这一公式进行解答．敌我两军相距32千米.敌军以每小时6千米的速度逃窜.我军同时以每小时16千米的速度追击在相距2千米的地方发生战斗.问战斗是从开始追击后几小时发生的？【解题思路】根据追击问题的基本公式：追击时间速度差追击的路程．设战斗是从开始追击后小时发生的．则依题意可列：.解得：．【题目答案】【巩固练习】环城自行车赛.最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人.已知最快的人的速度是最慢的人速度的倍.环城一周是20千米.求两个人的速度.【解题思路】设最慢的人的速度为.则最快的人的速度为.依题意可列：．解得：【题目答案】慢人的速度为.快人的速度为．【巩固练习】一个通迅员骑摩托车追赶前面部队乘坐的汽车.汽车的速度是每小时28千米.摩托车的速度是每小时42千米.通讯员出发4小时后追上汽车.求部队比通讯员早出发几小时？【解题思路】设部队比通讯员早出发小时．则依题可列：.解得：．【题目答案】某人从家里骑摩托车到火车站.如果每小时行30千米.那么比火车开车时间早到15分钟.若每小时行18千米.则比火车开车时间迟到15分钟.现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站.则此人此时骑摩托车的速度应为多少？【解题思路】设此人从家里出发到火车开车的时间为小时.则.解得.此人打算在火车开车前10分钟到达.骑摩托车的速度应为（千米/时）【题目答案】【巩固练习】甲乙两列火车.甲车长160.乙车长120.甲车速度为20.乙车速度为；若乙车从后面追赶甲车.问从乙车追上甲车到乙车超过甲车的时间是多少？【解题思路】本题解题的关键是要注意“乙车追上甲车到乙车超过甲车”所以.追击路程为两车的车长之和．设从乙车追上甲车到乙车超过甲车的时间为.则依题意可列：解得：【题目答案】☞相遇问题解决相遇问题的基本公式为：速度和相遇时间路程．乙两站的路程为360千米.一列快车从乙站开出.每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出.每小时行驶48千米．两列火车同时开出.相向而行.经过多少小时相遇？【解题思路】设经过小时相遇.则依题意可列：.解得：．【题目答案】【巩固练习】甲.乙两人从相距75的.两地相向而行.甲每小时行.乙每小时行.问：（1）两人同时出发.多少小时相遇？（2）甲先走2小时后乙出发.问乙出发几小时后两人相遇【解题思路】（1）设小时相遇．依题意可列：.解得：（2）设乙出发小时后两人相遇．则依题意可列：.解得：．【题目答案】；【巩固练习】甲.乙两人从相距73的.两地相向而行.甲每小时行7.乙每小时行2.问：两人同时出发.多少小时相距1？【解题思路】设小时后相距．依题意可列：.解得：．【题目答案】☞变速问题一辆汽车从甲地开往乙地.每分钟行525米.预计40分钟到达.但行到一半路程时.机器发生故障.用5分钟修理完毕.如果仍在预计的时间内到达.行驶余下的路程.每分钟比原来速度快多少米？【解题思路】设比原来的速度快米．则依题意可列：.解得：．【题目答案】【巩固练习】某人以每小时8千米的速度上山.以每小时12千米的速度下山.共用5小时.问上山需要用多少时间？【解题思路】设上山需要用小时.下山需要小时．则依题可列：.解得：．【题目答案】【巩固练习】Cenrrie带着宠物狗“旺财”去玩接“飞盘”的游戏.Cenrrie站一个小山坡的脚下.当Cenrrie扔出“飞盘”.“旺财”从Cenrrie身边同时跑出去速度为6.接到“飞盘”后以9的速度跑回Cenrrie身边.问整个过程中“旺财”的平均速度是多少？【解题思路】设“旺财”从身边跑出去接到飞盘所用的时间为..则整个过程中的平均速度为：【题目答案】【点评】这题切记利用两个速度和的一半来求平均速度.这样做是错误的．某人有急事.预定搭乘一辆小货车从A地赶往B地．实际上.他乘小货车行了三分之一路程后改乘一辆小轿车.车速提高了一倍.结果提前一个半小时到达．已知小货车的车速是36千米／小时.求两地间路程.【解题思路】列方程解应用题的基本思想是通过对实际问题中数量关系的分析.列出相关的代数式.进而建立方程.转化为纯数学问题来解决．这一过程的关键是要透过纷繁多变问题的表象.住数量关系的实质；不能机械的记忆.套用某些题型而忽略了问题的本质．常有貌似相像.实质不同的问题；也有面目迥异而实质相同的问题．本题与上题具有相同的数量关系：后程中时间节约了小时．所以设行驶了全程的还余千米．根据题意.同样可列出方程..解得．这时两地间路程是(千米)．【题目答案】【巩固练习】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时.水流速度增加一倍后.再从甲港到乙港航行需3小时.水流速度增加后.从乙港返回甲港需航行多少小时？【解题思路】设小船在静水中的速度为.原来的水速为.则.解得.故所求时间为（小时）.【题目答案】☞流水问题流水问题的常用公式：一小船由A港到B港顺流需行6小时.由B港到A港逆流需行8小时.一天.小船从早晨6点由A港出发顺流行至B港时.发现一救生圈在途中掉落在水中.立即返回.1小时后找到救生圈.问：⑴若小船按水流速度由A港漂流到B港需多少小时？⑵救生圈是何时掉入水中的？【解题思路】⑴设小船在静水中的速度为.水流速度为.则.解得.故小船按水流速度由A港漂流到B港所需时间为（小时）；⑵设小船行驶小时后.救生圈掉入水中.则.将代入上式.得到.故救生圈是上午11点掉入水中的.【题目答案】；【巩固练习】甲.乙两港相距360千米.一轮船往返两港需35小时.逆流航行比顺流航行多花了5小时.现有一机帆船.静水中速度是每小时12千米.问这机帆船往返两港要多少小时？【解题思路】解答本题需要两大步骤：首先求出水流的速度.其次.利用已求的水流速度求出帆船往返所需要的时间．设轮船顺流航行需要小时.依题意可列：.解得：．可求得水速为：（千米∕时）则帆船往返两港所需要的时间为：（小时）【题目答案】模块三工程问题某车间原计划每周装配台机床.预计若干周完成任务．在装配了三分之一以后.改进操作技术.工效提高了一倍.结果提前一周半完成任务．求这次任务需装配机床总台数．【解题思路】设装配了机床总量的还余台．根据题意可列方程.解得．这时总任务是(台)．【题目答案】【巩固练习】某工程.甲工程队单独做天完成.乙工程队单独做需要天完成.若乙工程队单独做天后.甲.乙两工程队再合作天完成．列方程为．【解题思路】．【题目答案】一水池.装有甲.乙两个进水管和一个出水管丙.如果单独开发甲管4小时注满水池；单独开放乙管3小时可注满水池；单独开放丙管8小时可以把满池水放完.问三管一齐开放.几小时注满水池？【解题思路】设三管一齐开放.小时可以注满水池．则由题意可列：.解得：（小时）【题目答案】【巩固练习】有一个水池.用甲抽水机抽水小时可以把全池水的抽完.用乙抽水机小时可以把全池水的抽完.若两台抽水机同时工作.几小时可将全池的水抽完？【解题思路】根据题意可知甲抽水机每小时可以完成总量的.乙抽水机每小时可以完成总量的.则依题意可列：.解得：（小时）【题目答案】模块四.配套问题1．在配套问题中.配套的物品之间具有一定的数量关系.这个数量关系可以作为列方程的依据．2．配套问题中的基本数量关系：若m个A和n个B配成一套.则.可得等量关系：m×B的数量=n×A的数量．3．审题时.要注意对题目中“恰好”“最多”等关键词的理解．【例1】佳福服装公司为学校加工一批校服.3米长的布料可制作上衣2件或裤子3条.一件上衣和一条裤子为一套.计划用600米长的布料加工校服.请你帮该公司计算一下.分别用多少布料生产上衣和裤子.才能配套？共能加工多少套校服？【题目答案】用360米布料生产上衣.则用240米布料生产裤子才能配套.共加工240套校服．【解题思路】设用x米布料生产上衣.则用（600–x）米布料生产裤子才能配套.由题意得.2x=3（600–x）.解得：x=360.则600–x=240.共加工校服：360÷3×2=240（套）．答：用360米布料生产上衣.则用240米布料生产裤子才能配套.共加工240套校服．模块五.比赛中的积分问题在比赛积分问题中.基本相等关系有：某个队的参赛场数=该队的胜场数+该队的负场数+该队的平场数；某个队的总积分=该队的胜场积分+该队的负场积分+该队的平场积分．【例4】篮球比赛规定：胜一场得3分.负一场得1分.某篮球队共进行了6场比赛.得了12分.该队获胜的场数是A．2 B．3 C．4 D．5【题目答案】B【解题思路】设该队获胜x场.则负了（6–x）场.根据题意得：3x+（6–x）=12.解得：x=3．故选B．【名师点睛】（1）并不是每种比赛都按胜.平.负情况积分.有的只按胜.平两种情况积分.所以解题时一定要认真理解比赛的积分规则．（2）比赛中的积分与胜负场数有关.同时也与比赛积分规则有关.需先弄清“胜一场积几分.平一场积几分.负一场积几分”．课堂检测课堂检测1.甲乙两人从相距米的两地同时相对而行.甲每分钟行米.乙每分钟行米．几分钟后.甲乙二人相遇？如果甲带了一只狗和甲同时出发.狗以每分钟米的速度向乙跑去.遇到乙后立刻回头向甲跑去.这样.狗在甲乙二人之间来回奔跑.直到两人相遇时为止.求这只狗跑了多少路？【解题思路】设两人的相遇时间为.则根据相遇问题的基本公式可列：.解得：.第二问读起来学生可能觉得很难.但仔细想想这个题很简单.只要能够想到.这只狗一共跑了多长时间就可以.这只狗不管跑了多少趟.所跑的时间都是两个人的相遇时间也就是十分钟.所以这只狗所跑的路程为：（米）．【题目答案】；2.在一次有12个队参加的足球循环赛中(每两队之间比赛一场).规定胜一场记3分.平一场记1分.负一场记0分．某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2场.结果共积19分．问：该队在这次循环赛中战平了几场？【解题思路】设该队负了x场.则胜(x＋2)场.平局的场数为[11－x－(x＋2)]场．根据题意.得3(x＋2)＋1×[11－x－(x＋2)]=19.解得x=4.所以11－x－(x＋2)=1.答：该队在这次循环赛中战平了1场．3．程大位是我国明朝商人.珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著.详述了传统的珠算规则.确立了算盘用法．书中有如下问题：一