函数模型的应用专项训练 高三数学一轮复习

函数模型的应用一、单项选择题1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A．y＝2x－2 B．y＝12(x2C．y＝log2x D．y＝log12．视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如表所示．小数记录x0.10.120.15…11.21.52.0五分记录y4.04.14.2…55.15.25.3现有如下函数模型：①y＝5＋lgx，②y＝5＋110lg1x，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附：100.3≈2，5-0.22≈0.7，10-0.1≈A．0.3 B．0.5C．0.7 D．0.83．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为f(x)＝P1+akx+b(P>0，a>1，k<0)的形式．已知f(x)＝61+3kx+b(x∈N)描述的是一种果树的高度f(x)(单位：m)随着栽种时间x(单位：年)变化的规律，若刚栽种(x＝0)时该果树的高为A．2年 B．3年C．4年 D．5年4．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P(单位：万元)、种黄瓜的年收入Q(单位：万元)与各自的投入资金a1，a2(单位：万元)满足P＝80＋42a1，Q＝14a2＋120．设甲大棚的投入资金为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)，则总收入fA．282万元 B．228万元C．283万元 D．229万元二、多项选择题5．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，则()A．当k∈(－1，0)，则这期间人口数呈下降趋势B．当k∈(－1，0)，则这期间人口数呈摆动变化C．当k＝13，Pn≥2P0时，nD．当k＝－13，Pn≤12P0时，6．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgpp0，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2三、填空题7．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如表所示．每户每月用水量水价不超过12m3的部分3元/m3超过12m3但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m3若某户居民本月缴纳的水费为54元，则此户居民的用水量为________m3.8．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”．9．某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160cm及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190cm及其以上的是高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法的成年男子高个子系数k关于身高x(cm)的函数关系式________．四、解答题10．某科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y是这种新材料的含量x(单位：克)的函数．研究过程中的部分数据如表所示．x(单位：克)02610…y－4881…已知当x≥7时，y＝13x−m，其中m为常数．当0≤x<7时，y和x的关系为以下三种函数模型中的一个：①y＝ax2＋bx＋c；②y＝k·ax(a>0且a≠1)；③y＝klogax(a>0且a≠1)，其中k，a，b，(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；(2)求该新材料的含量x为多少克时，产品的性能达到最大参考答案1．B[由题表可知函数单调递增，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合．故选B.]2．B[由表格中的数据可知，函数单调递增，合适的函数模型为y＝5＋lgx，令y＝5＋lgx＝4.7，解得x＝10-0.3＝0.5．]3．B[由题意可得f(0)＝61+3b＝1.5且解得b＝1，k＝－1，故f(x)＝61函数f(x)＝61+3−x+1在(0，＋故该果树的高度不低于5.4m，至少需要3年．故选B.]4．A[由题意可知甲大棚的投入资金为x(单位：万元)，乙大棚的投入资金为200－x(单位：万元)，所以f(x)＝80＋42x+14(200－x)＋120＝－14x由x≥40，200−x≥令t＝x，则t∈[210，410]，g(t)＝－14t2＋42t＋250＝－14(t－82)所以当t＝82，即x＝128时总收入最大，最大收入为282万元．故选A.]5．AC[当k∈(－1，0)时，P0>0，0<1＋k<1，由指数函数的性质可知，Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)是关于n的单调递减函数，即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；当k＝13时，Pn＝P043n≥2P0，所以43n≥2，所以n≥loglog432∈当k＝－13时，Pn＝P023n≤12Plog2312＝log6．ACD[因为Lp＝20×lgpp0随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lgpp0，得p＝p010Lp20，因为Lp3＝40，所以p3＝p0104020＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则p010Lp220＞10p010Lp320，所以7．15[设此户居民本月用水量为xm3，缴纳的水费为y元，则当x∈[0，12]时，y＝3x≤36元，不符合题意；当x∈(12，18]时，y＝12×3＋(x－12)×6＝6x－36，令6x－36＝54，解得x＝15，符合题意；当x∈(18，＋∞)时，y＝12×3＋6×6＋(x－18)×9＝9x－90>72，不符合题意．综上所述，此户居民本月用水量为15m3．]8．10[设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为12n，由12n＜1所以若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．]9．k＝0，0<x≤160，130x−160，160<x<1901，x≥190(只要写出的函数满足在区间160，190上单调递增，且过点(160，0)和(190，1)即可，答案不唯一)[由题意知，函数由160a+b所以k(x)＝130x－163＝130所以k＝0，10．解：(1)由表格知当x＝0时，y＝－4，若选①y＝ax2＋bx＋c，则c＝－4；若选②y＝k·ax(a>0且a≠1)，则k＝－4，此时y＝－4ax(a>0且a≠1)不满足x＝2时，y＝8，故不选；若选③y＝klogax(a>0且a≠1)，x＝0时无意义，故不选．所以选①的函数模型来描述x，y之间的关系，由题意有当0≤x<7时，由y＝ax2＋bx＋c，且x＝0，y＝－4时，得c＝－4；当x＝2，y＝8时，得4a＋2b＝12；当x＝6，y＝8时，得36a＋6b＝12；联立4a+2b=12，所以当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4.(2)由(1)知，当