第08讲 反比例函数的实际应用-2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪科版 学习新知）

专题08反比例函数的实际应用★知识点1：图形类反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．典例分析【例1】（2023·浙江台州·统考中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．

(1)求h关于的函数解析式．(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度．【例2】（2023春·福建泉州·八年级统考期中）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当时，．(1)求y关于x的函数解析式．(2)变化蜡烛和小孔之前的距离，某一时刻像高为3cm，请回答蜡烛是怎样移动的？【即学即练】1.。（2023秋·江西赣州·九年级统考期末）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：桌面所受压强P（Pa）40050080010001250受力面积S（）0.50.4a0.20.16(1)根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式及a的值．(2)如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．2．（2022·广西钦州·校考一模）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是．如果B面向下放在地上，地面所受压强为，那么A面和C面分别向下放在地上时，地面所受压强各是多少？★知识点2：表格类解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．典例分析【例1】（2022秋·贵州铜仁·九年级统考阶段练习）近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的眼镜．近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的关系式为y＝．(1)上述问题中，当x的值增大，y的值随之_______（填“增大”“减小”或“不变”）；(2)根据y与x的关系式补全下表：焦距x/m0.10.2……度数y/度1000400……(3)小明原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4m，则小明的眼镜度数下降了多少度？【例2】（2023秋·山西大同·九年级大同市第二中学校校考期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．R/Ω345678910I/Aa97.2b5.144.54c(1)请写出这个反比例函数解析式；(2)蓄电池的电压是多少？(3)下表中的a、b、c的值分别是多少？(4)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？即学即练1．（2022春·八年级课时练习）如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强．体积压强(1)根据表中的数据求出压强关于体积的函数表达式．(2)当压力表读出的压强为时，汽缸内气体的体积压缩到多少毫升？2．（2023春·全国·八年级专题练习）小明设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持木杆水平（动力×动力臂=阻力×阻力臂），在中点右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），看弹簧测力计的示数（单位：）有什么变化，小明在做此活动时，得到下表的数据．第组第组第组第组(1)表中第___________组数据是明显错误的；(2)在已学过的函数中选择合适的模型，求关于的函数解析式；(3)若弹簧测力计的最大量程是，求的取值范围．★知识点3：几何类反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，反比例函数解析式，理解题目中各点坐标的计算方法，函数之间相交的交点的计算方法。典例分析【例1】（2023春·浙江·八年级专题练习）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少；(2)求全天的温度与时间之间的函数关系式；(3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图像如图所示(1)写出这一函数表达式(2)当气体体积为时，气压是多少？(3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？即学即练1.（2023秋·河北邢台·九年级校考期末）如图，有一个人站在球台（水平）上去打高尔夫球，球台到轴的距离为米，与轴相交于点，弯道：与球台交于点，且米，弯道末端垂直轴于，且米，从点E处飞出的红色高尔夫球沿抛物线运动，落在弯道的处，且到轴的距离为米；(1)的值为______；点的坐标为______；______；(2)红色球落在处后立即弹起，沿另外一条抛物线运动，若的最高点坐标为．①求的解析式，并说明小球能否落在弯道上？②在轴上有托盘，若小球恰好能被托盘接住，则把托盘向上平移的距离为，则的取值范围是什么？(3)若在红色球从处飞出的同时，一黄色球从点的正上方飞出，它所运行轨迹与抛物线形状相同，且黄色球始终在红色球的正上方，当红色球到轴的距离为米，且黄球位于红球正上方超过米的位置时，直接写出的取值范围．2．（2022秋·河北邢台·九年级校考阶段练习）当功一定时，功率是做功的时间的反比例函数，其图像如图所示．(1)写出用表示的函数表达式．(2)当时，求功率．(3)当功率时，求做功所用的时间．★知识点4探究类反比例函数的图像和性质，利用图像解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．还能利用图像直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决函数问题的一种常用方法．典例分析【例1】（2023春·江苏·八年级专题练习）小明探究下列问题：商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖．若该商场采用以下两种不同方式混合：方式1：将质量相等的甲、乙糖果进行混合；方式2：将总价相等的甲、乙糖果进行混合．哪种混合方式的什锦糖的单价更低？(1)小明设甲、乙糖果的单价分别为、，用含、的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价．请你写出他的解答过程；(2)为解决问题，小明查阅了资料，发现以下正确结论：结论1：若，则；若，则；若，则；结论2：反比例函数的图像上的点的横坐标与纵坐标互为倒数；结论3：若的坐标为，的坐标为，则线段的中点坐标为．小明利用上述结论顺利解决此问题，请你按照他的思路写出解答过程：①利用结论1求解；②利用结论2、结论3求解．【例2】（2022春·河南南阳·八年级统考期末）建模：某班开端午联欢会，生活委员彤彤先购买了2个装饰挂件，共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊个，设所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格为元，则与的关系式为_______（不要求写的范围）【探究】根据函数的概念，彤彤发现：是的函数，结合自己学习函数的经验，为了更好地研究这个函数，彤彤打算先脱离实际背景，对该函数的完整图像与性质展开探究，请根据所给信息，将彤彤的探究过程补充完整．（1）列表：…－4－3－1012……41…填空：______，______．（2）在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出该函数的图像．（3）观察函数图像，判断下列描述错误的一项是（

）A．该函数图像是中心对称图形B．该函数值不可能等于2C．当时，随的增大而增大D.当时，随的增大而减小应用：（4）根据上述探究，结合实际经验，彤彤得到结论：粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越______（填“高”或“低”），但不会突破______元．即学即练1．（2022春·北京朝阳·八年级和平街第一中学校考期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)函数的自变量x的取值范围是(2)下表是y与x的几组对应值x…－3－2－112345…y…93m…则m的值为；(3)如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．(4)根据函数图像，可以得出当时，y随x的增大而．(5)结合函数的图象，写出该函数其它的一条性质：．2.（2021·河南开封·统考二模）某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止：当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环．小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度，x（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）下表记录了16min内9个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况：接通电源后的时间（单位：min）01234581016…水箱中水的温度（单位：）2035658064403220…m的值为__________．（2）①当时，写出一个符合表中数据的函数解析式__________；当时，写出一符合表中数据的函数解析式__________．②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当时，温度y随时间x变化的函数图象；（3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源__________min．★知识点5:利润类典例分析【例1】（2018·湖北荆门·统考中考真题）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）【例2】（2021秋·全国·九年级专题练习）某商店以每件5元的价格购进一种文具，由试销知，该文具每天的销售量m（件）与单价x（元）之间满足一次函数关系．（1）写出商店每天销售这种文具的利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式？（2）商店要想每天获得利润21元，单价应定为多少元？（3）商店要想每天获得最大利润，单价应定为多少元？最大利润为多少？即学即练1．（2020秋·九年级课时练习）2015年9月19日第九届合肥文博会开幕．开幕前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价x（元/件）…2030405060…每天销售量（y件）…500400300200100…（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）开幕后，合肥市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过38元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？2．（2023春·山东泰安·九年级校考期末）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？1．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）五一假期，小王一家从杭州到温州自驾游，已知杭州到温州市区A处的路程为300千米，小王家的车油箱的容积为55升，小王把油箱加满后驾驶汽车从杭州出发．

(1)求汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式．(2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达温州市区A处，休整后沿图示路线继续出发，先到雁荡山B处，再到楠溪江C处，最后到洞头D处．由于下雨，从A处开始直到D处小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否到达洞头D处？如果不能，至少还需加多少油？2．（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第10分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.3微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．

(1)______；(2)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式；(3)如果每毫升血液中含药量不低于12微克时是有效的，求一次服药后的有效时间是多少分钟？3．（2023·广东汕尾·统考一模）生理学家发现每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“嗐转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y（米）是其两腿迈出的步长之差x（厘米）的反比例函数，y与x之间有如表关系，x（厘米）1235y（米）7请根据表中的信息解决下列问题：(1)求出y与x之间的函数解析式；(2)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为35米，则其两腿迈出的步长之差是多少厘米？4．（2023春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，长，宽，深的长方体水池被隔成底面分别是和的甲，乙两池（设隔墙厚度忽略不计），两池隔墙下方有阀门相连．

(1)当两池间的阀门关闭时，设进水管每小时注入甲池放得水量是a立方米，注满甲池的时间为，与a之间的函数关系式是___________；(2)注满甲池后，进水管自动关闭，同时两池间的阀门开启，设甲池的水每小时流入乙池的水量也是a立方米，后水流停止，与a之间的函数关系式是___________；(3)如果要在内能依次完成第（1），（2）题中所述的过程，那么进水管和两池间的阀门每小时至少要通过多少水量？5．（2016·安徽·九年级专题练习）保护生态环境，建设环境友好型社会已经从理念变为人们的行动．我市某企业由于排污超标，于2010年2月起适当限产，并投入资金进行治污改造，5月底治污改造工程顺利完工．已知该企业2010年1月的利润为200万元，设第x个月的利润为y万元（2010年1月为第1个月）．当1≤x≤5时，y与x成反比例；当x＞5时，该企业每月的利润比前一个月增加20万元．（1）分别求1≤x≤5和x＞5时，y与x之间的函数关系式．（2）治污改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到2010年1月的水平？（3）当月利润少于100万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期共有几个月？6．（2011·湖南益阳·统考中考模拟）某厂从2007年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，某产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：年度2007200820092010投入技改资金x（万元）2.5344.5产品成本y（万元/件）7.264.54（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；（2）按照这种变化规律，若2011年已投入技改资金5万元．预计生产成本每件比2010年降低多少万元？7．（2019春·九年级单元测试）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地．（1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）之间的函数关系式；（2）如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回时的速度；（3）若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小时120公里，最低车速不得低于每小时60公里，试问返程时间的范围是多少？8．（2004·浙江温州·中考真题）找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象,并将代号填在相应横线上．(1)矩形的面积一定时,它的长与宽的关系；对应的图象是：(2)一辆匀速行驶的汽车,其速度与时间的关系；(3)一个直角三角形的两直角边之和为定值时,其面积与一直角边长之间的关系．

专题08反比例函数的实际应用★知识点1：图形类反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．典例分析【例1】（2023·浙江台州·统考中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．

(1)求h关于的函数解析式．(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度．【答案】(1)．(2)该液体的密度为．【分析】（1）由题意可得，设，把，代入解析式，求解即可；（2）把代入（1）中的解析式，求解即可．【详解】（1）解：设h关于的函数解析式为，把，代入解析式，得．∴h关于的函数解析式为．（2）解：把代入，得．解得：．答：该液体的密度为．【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活利用反比例函数的性质进行求解．【例2】（2023春·福建泉州·八年级统考期中）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当时，．(1)求y关于x的函数解析式．(2)变化蜡烛和小孔之前的距离，某一时刻像高为3cm，请回答蜡烛是怎样移动的？【答案】(1)函数解析式为(2)蜡烛向小孔方向移动了【分析】（1）根据待定法求反比例函数的解析式即可；（2）根据解析式代入数值解答即可．【详解】（1）解：设解析式为把，代入得：解得∴函数解析式为；（2）当像高为时，即将代入得：解得：，而∴蜡烛向小孔方向移动了．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．【即学即练】1.。（2023秋·江西赣州·九年级统考期末）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：桌面所受压强P（Pa）40050080010001250受力面积S（）0.50.4a0.20.16(1)根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式及a的值．(2)如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．【答案】(1)，0.25(2)这种摆放方式不安全，理由见解析【分析】（1）观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，然后用待定系数法可得函数关系式，令P=800，可得a的值；（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．【详解】（1）解：观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，设压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式为，把（400，0.5）代入得：，解得：k=200，∴压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式为，当P=800时，，∴a=0.25；（2）解：这种摆放方式不安全，理由如下：由图可知S=0.1×0.2=0.02（），∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上的压强为，∵10000>2000，∴这种摆放方式不安全．【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．2．（2022·广西钦州·校考一模）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是．如果B面向下放在地上，地面所受压强为，那么A面和C面分别向下放在地上时，地面所受压强各是多少？【答案】，【分析】根据题意：设该砖的质量为m，其为定值，且有P•S＝mg，即P与S成反比例关系，且B面向下放在地上时地面所受压强为a帕，则把砖的A面向下放在地上，地面所受压强P＝，把砖的C面向下放在地上P＝2a．【详解】解：设该砖的质量为m，则P•S＝mg，∵B面向下放在地上时地面所受压强为a帕，A，B，C三个面的面积之比是4：2：1，∴把砖的A面向下放在地上，P＝，把砖的C面向下放在地上P＝，答：A面向下放在地上时，地面所受压强是，C面向下放在地上时，地面所受压强是．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．★知识点2：表格类解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．典例分析【例1】（2022秋·贵州铜仁·九年级统考阶段练习）近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的眼镜．近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的关系式为y＝．(1)上述问题中，当x的值增大，y的值随之_______（填“增大”“减小”或“不变”）；(2)根据y与x的关系式补全下表：焦距x/m0.10.2……度数y/度1000400……(3)小明原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4m，则小明的眼镜度数下降了多少度？【答案】(1)减小(2)0.25；500(3)小明的眼镜度数下降了150度【分析】（1）根据反比例函数的图像和性质：，当k>0，x＞0时，y随x的增大而减小，所以应填“减小”；（2）分别将x=0.2和y=400代入函数解析式计算即可；（3）将x=0.4代入函数解析式算出新的眼镜度数，用原来的度数减去新的度数即可求出．【详解】（1）∵y＝是反比例函数，系数k=100>0，函数图像在第一、三象限，∴当x＞0时，函数值随x的增大而减小，故答案为：减小；（2）当x=0.2时，y＝=500；当y=400时，，所以补全表格如下：焦距0.10.20.25…度数y度1000500400…（3）将代入，得．度．答：小明的眼镜度数下降了150度．【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图像和性质以及已知自变量求函数值是解题的关键．【例2】（2023秋·山西大同·九年级大同市第二中学校校考期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．R/Ω345678910I/Aa97.2b5.144.54c(1)请写出这个反比例函数解析式；(2)蓄电池的电压是多少？(3)下表中的a、b、c的值分别是多少？(4)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？【答案】(1)I=；(2)36；(3)a=12，b=6，c=3.6；(4)用电器可变电阻应控制在3.6欧以上的范围内．【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I=，将点（9，4），利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；（2）根据电压=电流×电阻即可求解；（3）将R的值分别代入（1）中所求的函数解析式，即可求出对应的I值，从而完成图表；（4）将I≤10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．【详解】（1）解：电流I是电阻R的反比例函数，设I=，∵图象经过（9，4），∴k=4×9=36，∴I=；（2）解：蓄电池的电压是4×9=36；（3）解：当R=3时，a==12，当R=6时，b==6，当R=10时，c==3.6，∴a=12，b=6，c=3.6；（4）解：∵I≤10，I=，∴≤10，∴R≥3.6，即用电器可变电阻应控制在3.6欧以上的范围内．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．即学即练1．（2022春·八年级课时练习）如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强．体积压强(1)根据表中的数据求出压强关于体积的函数表达式．(2)当压力表读出的压强为时，汽缸内气体的体积压缩到多少毫升？【答案】(1)(2)当压力表中读出压强为时，汽缸内气体的体积约为【分析】（1）先把表格中的数据在坐标系中描点，可以发现这些点近似在一个反比例函数图象上，求出近似的反比例函数解析式即可；（2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可．【详解】（1）解：根据表中的数据，可画出p关于V的函数图象．根据图象的形状，选择反代例函数模型进行尝试．设它的函数关系式为，选点的坐标代入，得．∴，∴．将点的坐标一一代入验证：．可见相当精确地反映了在温度不变时气体体积和所产生的压强之间的关系，也就是所求的函数关系式．（2）解：当从压力表中读出气体的压强为时，有，解得．答：当压力表中读出压强为时，汽缸内气体的体积约为．【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）小明设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持木杆水平（动力×动力臂=阻力×阻力臂），在中点右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），看弹簧测力计的示数（单位：）有什么变化，小明在做此活动时，得到下表的数据．第组第组第组第组(1)表中第___________组数据是明显错误的；(2)在已学过的函数中选择合适的模型，求关于的函数解析式；(3)若弹簧测力计的最大量程是，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）的值逐渐增大，逐渐减小，由此即可求解；（2）根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，由此即可求解；（3）由（2）的函数解析式即可求解．【详解】（1）解：根据表格中的数据趋势可知，的值逐渐增大，逐渐减小，∴第组的数据错误，故答案为：．（2）解：根据杠杆原理知，∴F与L的函数解析式为．（3）解：当时，由得．由题意可知，∴根据反比例函数的图像与性质可得，L的取值范围为．【点睛】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，理解题目中数量关系，掌握反比例函数图形的性质是解题的关键．★知识点3：几何类反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，反比例函数解析式，理解题目中各点坐标的计算方法，函数之间相交的交点的计算方法。典例分析【例1】（2023春·浙江·八年级专题练习）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少；(2)求全天的温度与时间之间的函数关系式；(3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)根据图像设正比例函数解析式为，根据图像可知函数解析式。再利用待定系数法即可求出恒定温度；(2)根据图像可知整个图像由三部分组成：正比例函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式；(3)根据各时间段的函数解析式算出时的值，用小时减去这些时间即可．【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：，根据题意，∴可得方程，∴，∴直线,∵当时，∴恒定温度为：．（2）解：由(1)可知：正比例函数解析式为，根据图像可知：，设小时内函数解析式为：，根据题意，可得方程：，∴，∴函数解析式为：，∴小时函数解析式为：，（3）解：∵当时，，∴，∵当时，，∴，∴在之间是气温是低于的，∴气温低于的总时间为：，∴气温高于的适宜温度是：．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数和常函数解析式，解答时应注意临界点的应用．【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图像如图所示(1)写出这一函数表达式(2)当气体体积为时，气压是多少？(3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？【答案】(1)(2)气压是(3)为了安全起见，气体的体积应不小于【分析】（1）设，将点代入，得，进行计算即可得；（2）当时，代入解析式即可求解；（3）当时，代入解析式即可求解．【详解】（1）解：设，将点代入，得，，即这个函数的解析式为；（2）解：当时，，即当气体体积为时，气压是；（3）解：当时，，所以为了安全起见，气体的体积应不少于．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比函数的图像和性质．即学即练1.（2023秋·河北邢台·九年级校考期末）如图，有一个人站在球台（水平）上去打高尔夫球，球台到轴的距离为米，与轴相交于点，弯道：与球台交于点，且米，弯道末端垂直轴于，且米，从点E处飞出的红色高尔夫球沿抛物线运动，落在弯道的处，且到轴的距离为米；(1)的值为______；点的坐标为______；______；(2)红色球落在处后立即弹起，沿另外一条抛物线运动，若的最高点坐标为．①求的解析式，并说明小球能否落在弯道上？②在轴上有托盘，若小球恰好能被托盘接住，则把托盘向上平移的距离为，则的取值范围是什么？(3)若在红色球从处飞出的同时，一黄色球从点的正上方飞出，它所运行轨迹与抛物线形状相同，且黄色球始终在红色球的正上方，当红色球到轴的距离为米，且黄球位于红球正上方超过米的位置时，直接写出的取值范围．【答案】(1)，，(2)①，不能；②(3)【分析】（1）球台到轴的距离为米，米，可知点的坐标，弯道：与球台交于点，可求出反比例函数解析式，到轴的距离为米，且在反比例函数图像上，可求出点的坐标，把点代入二次函数即可求解；（2）①的最高点坐标为，根据二次函数的顶点式设二次函数的解析式，把点代入二次函数，即可求解的解析式，再计算与轴的交点，根据米，计算出点的坐标，两者进行比较即可；②在轴上有托盘，小球恰好能被托盘接住，则托盘在函数的图像上，由此即可求解；（3）根据题意求出一号球的轨迹函数，向上平移到经过得二号球轨迹，可求出二号球的轨迹函数，当时，，由此即可求解．【详解】（1）解：∵球台与轴距离为，，∴代入，解得，∴，∵到轴的距离为米，∴当时，，∴点，将点代入，解得，故答案为：，，．（2）解：①∵抛物线顶点，设抛物线解析式为，把代入，解得，∴G的表达式为，即，∵点在反比例函数，且米，∴点的坐标为，当时，，∴G与滑道FA不相交，∴小球不能落在滑道FA上．②当时，；当时，，即，解得，∴的取值范围是．（3）解：一号球的轨迹为，向上平移到经过得二号球轨迹，∴二号球抛物线表达式为，且，当时，，即，解得，∴的取值范围是．【点睛】本题主要考查二次函数，反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，反比例函数解析式，理解题目中各点坐标的计算方法，函数之间相交的交点的计算方法是解题的关键．2．（2022秋·河北邢台·九年级校考阶段练习）当功一定时，功率是做功的时间的反比例函数，其图像如图所示．(1)写出用表示的函数表达式．(2)当时，求功率．(3)当功率时，求做功所用的时间．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）功率与时间的反比例函数，且图像过点，根据待定系数法即可求解；（2）将代入反比例函数即可求解；（3）将功率代入反比例函数即可求解．【详解】（1）解：由题意设功率与时间的反比例函数为，∵点在反比例函数图像上，∴．∴．故此函数表达式为．（2）解：当时，．（3）解：当时，．【点睛】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键．★知识点4探究类反比例函数的图像和性质，利用图像解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．还能利用图像直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决函数问题的一种常用方法．典例分析【例1】（2023春·江苏·八年级专题练习）小明探究下列问题：商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖．若该商场采用以下两种不同方式混合：方式1：将质量相等的甲、乙糖果进行混合；方式2：将总价相等的甲、乙糖果进行混合．哪种混合方式的什锦糖的单价更低？(1)小明设甲、乙糖果的单价分别为、，用含、的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价．请你写出他的解答过程；(2)为解决问题，小明查阅了资料，发现以下正确结论：结论1：若，则；若，则；若，则；结论2：反比例函数的图像上的点的横坐标与纵坐标互为倒数；结论3：若的坐标为，的坐标为，则线段的中点坐标为．小明利用上述结论顺利解决此问题，请你按照他的思路写出解答过程：①利用结论1求解；②利用结论2、结论3求解．【答案】(1)，，过程见解析(2)①见解析；②见解析【分析】（1）根据单价的公式即可得到两种不同方式的单价；（2）①让两种不同方式的单价作差法比较即可；②设A、B是反比例函数（）的图像上两点，是线段的中点，由结论2，得点A、B的横坐标分别为、，由结论3，得点C的坐标为，由结论2，得点E的坐标为，可得，即可得答案．【详解】（1）解：采用方式1混合的什锦糖的单价为，采用方式2混合的什锦糖的单价为；（2）①∵，，，∴，，∴，由结论1，得，∴采用方式2混合的什锦糖的单价更低；②如图，设A、B是反比例函数（）的图像上两点，是线段的中点，令点A、B的纵坐标分别为a、b，不妨设，过点C作轴，垂足为D，CD与此函数图像交于点E，由结论2，得点A、B的横坐标分别为、，由结论3，得点C的坐标为，∵点C与点E的横坐标相等，∴点E的横坐标为，由结论2，得点E的坐标为，∵E是线段CD上一点，∴，∴，∴采用方式2混合的什锦糖的单价更低．【点睛】本题考查了代数式的大小比较,反比例函数的实际应用,中点坐标公式等知识,解题的关键是将实际问题转化为函数模型．【例2】（2022春·河南南阳·八年级统考期末）建模：某班开端午联欢会，生活委员彤彤先购买了2个装饰挂件，共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊个，设所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格为元，则与的关系式为_______（不要求写的范围）【探究】根据函数的概念，彤彤发现：是的函数，结合自己学习函数的经验，为了更好地研究这个函数，彤彤打算先脱离实际背景，对该函数的完整图像与性质展开探究，请根据所给信息，将彤彤的探究过程补充完整．（1）列表：…－4－3－1012……41…填空：______，______．（2）在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出该函数的图像．（3）观察函数图像，判断下列描述错误的一项是（

）A．该函数图像是中心对称图形B．该函数值不可能等于2C．当时，随的增大而增大D.当时，随的增大而减小应用：（4）根据上述探究，结合实际经验，彤彤得到结论：粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越______（填“高”或“低”），但不会突破______元．【答案】建模：；探究：（1）3；0；（2）见解析；（3）D；应用：（4）高；2【分析】建模：依据平均数的算法，可得y与x的关系式；探究：（1）利用函数关系式，根据自变量x的值，即可得到因变量y的值；（2）依据坐标，进行描点、连线，即可得到函数图像；（3）由图可得，对称中心的坐标；依据函数图像与直线y=2无限接近，即可得出该函数值y不可能等于2；依据函数图像的增减性，即可得出y随x的增大而增大．据此判断即可；应用：（4）依据函数图像的增减性，即可得到y随x的增大而增大，函数值y与2无限接近．【详解】解：建模∵彤彤先购买了2个装饰挂件共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊x个，y（元）是所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格，∴y与x的关系式为，故答案为：；探究：（1）当x=-3时，y=3，即m=3；当x=-时，y=0，即n=0；故答案为：3；0；（2）描点、连线，该函数的图像如图所示：（3）A、该函数图像是中心对称图形，该说法正确；B、函数图像与直线y=2无限接近，故该函数值y不可能等于2，该说法正确；C、当x＞-2时，函数图像从左往右上升，即y随x的增大而增大，该说法正确；D、当x<-2时，函数图像从左往右上升，即y随x的增大而增大，原说法错误；故选：D；应用：（4）由图可得，当x≥0时，函数图像从左往右上升，与直线y=2无限接近，即y随x的增大而增大，函数值y与2无限接近，故粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越高，但不会突破2元．故答案为：高；2．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，利用图像解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．还能利用图像直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决函数问题的一种常用方法．即学即练1．（2022春·北京朝阳·八年级和平街第一中学校考期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)函数的自变量x的取值范围是(2)下表是y与x的几组对应值x…－3－2－112345…y…93m…则m的值为；(3)如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．(4)根据函数图像，可以得出当时，y随x的增大而．(5)结合函数的图象，写出该函数其它的一条性质：．【答案】(1)；(2)；(3)答案见详解；(4)减小；(5)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．【分析】（1）分母不为0，即可求解；（2）当时，．即可求解；（3）描点画出函数图象即可；（4）当时，随的增大而减小；（5）根据函数图像，写出一条函数的性质即可．【详解】（1）分母不为0，即：，故答案是：x≠0；（2）当时，．，故答案是：；（3）该函数的图象如下图所示．（4）当时，随的增大而减小，故答案是：减小；（5）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．【点睛】本题考查的是函数图象，通过描点画出函数图象，从图象读取相关的数据，熟悉相关性质是解题的关键．2.（2021·河南开封·统考二模）某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止：当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环．小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度，x（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）下表记录了16min内9个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况：接通电源后的时间（单位：min）01234581016…水箱中水的温度（单位：）2035658064403220…m的值为__________．（2）①当时，写出一个符合表中数据的函数解析式__________；当时，写出一符合表中数据的函数解析式__________．②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当时，温度y随时间x变化的函数图象；（3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源__________min．【答案】（1）50；（2）①，；②见解析；（3）56【分析】（1）观察表格，可得每分钟上升多少温度，由此即可解决问题；（2）①观察表格，可知当时，函数是一次函数，由此利用待定系数法解决问题；观察表格可知当时，函数为反比例函数，利用待定系数法即可解决；②根据表格，利用描点法画出图像即可；（3）利用图像寻找规律即可．【详解】解：（1）由题意可知每分钟温度上升了15℃，∴，故答案为：50；（2）①时，设函数解析式为：，代入两点得，解得：，所以函数解析式为；当时，设函数解析式为，带入一点得：，解得：，所以函数解析式为：故答案为：，；②画出的函数图象如解图所示．（3）观察图像可知16分钟一个周期，每个周期内会出现两次40℃，∴第8次达到40℃时，距离接通电源56min，故答案为：56．【点睛】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图像解决实际问题．★知识点5:利润类典例分析【例1】（2018·湖北荆门·统考中考真题）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）【答案】（1）m=600，n=160000；（2）；（3）该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是108500元.【详解】【分析】（1）根据题意列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值即可；（2）根据图象，分类讨论利用待定系数法求出y与P的解析式即可；（3）根据W=ya﹣mt﹣n，表示出W与t的函数解析式，利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．【详解】（1）依题意得，解得：；（2）当0≤t≤20时，设y=k1t+b1，由图象得：，解得：∴y=t+16；当20＜t≤50时，设y=k2t+b2，由图象得：，解得：，∴y=﹣t+32，综上，；（3）W=ya﹣mt﹣n，当0≤t≤20时，W=10000（t+16）﹣600t﹣160000=5400t，∵5400＞0，∴当t=20时，W最大=5400×20=108000，当20＜t≤50时，W=（﹣t+32）（100t+8000）﹣600t﹣160000=﹣20t2+1000t+96000=﹣20（t﹣25）2+108500，∵﹣20＜0，抛物线开口向下，∴当t=25，W最大=108500，∵108500＞108000，∴当t=25时，W取得最大值，该最大值为108500元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，具体考查了待定系数法确定函数解析式，利用二次函数的性质确定最值，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．【例2】（2021秋·全国·九年级专题练习）某商店以每件5元的价格购进一种文具，由试销知，该文具每天的销售量m（件）与单价x（元）之间满足一次函数关系．（1）写出商店每天销售这种文具的利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式？（2）商店要想每天获得利润21元，单价应定为多少元？（3）商店要想每天获得最大利润，单价应定为多少元？最大利润为多少？【答案】（1）；（2）单价应定为元或元；（3）单价应定为每件元，最大利润为元．【分析】（1）根据“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式；（2）把代入（1）中函数解析式，可得一元二次方程，解方程可得答案；（3）将（1）中所得函数解析式配方成顶点式，利用二次函数的性质即可得出答案．【详解】解：（1）根据题意知：

（2）当时，即商店要想每天获得利润21元，单价应定为每件元或元．（3）∵∴当时，y取得最大值，最大值为，答：商店要想每天获得最大利润，单价应定为每件元，最大利润为元．【点睛】本题考查的是二次函数的应用，列二次函数关系式，一元二次方程的解法，二次函数的最值，掌握以上知识是解题的关键．即学即练1．（2020秋·九年级课时练习）2015年9月19日第九届合肥文博会开幕．开幕前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价x（元/件）…2030405060…每天销售量（y件）…500400300200100…（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）开幕后，合肥市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过38元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）一次函数，y=-10x+700；(2)销售单价定为40元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．最大利润是9000元；(3)销售单价定为38元∕件时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大．最大利润是8960元．【分析】（1）利用表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再根据点的分布得出y与x的函数关系式，求出即可；（2）根据利润=销售总价-成本总价，由（1）中函数关系式得出W=（x-10）（-10x+700），进而利用二次函数最值求法得出即可；（3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案．【详解】（1）画图：由图可知，这几个点在一条直线上，所以猜想y与x是一次函数关系．设这个一次函数为y=kx+b（k≠0），∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，∴，解得：，∴此函数关系式是y=-10x+700．（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得：W=（x-10）(-10x+700）=-10x2+800x-7000=-10（x-40）2+9000，∴当x=40时，W有最大值9000．答：销售单价定为40元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．最大利润是9000元．（3）对于函数W=-10（x-40）2+9000，当x≤38时，W的值随着x值的增大而增大，∴当x=38时，最大=-10×（38-40）2+9000=8960，答：销售单价定为38元∕件时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大．最大利润是8960元．2．（2023春·山东泰安·九年级校考期末）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？【答案】（1）y与x的函数关系式为；x的取值范围为，且x为正整数；（2）每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元.【分析】（1）先求出每件商品的售价上涨x元后的月销量，再根据“月利润=每件利润月销量”列出等式即可；根据x为正整数，和每件售价不能高于65元写成x的取值范围；（2）根据题（1）的结论，利用二次函数图象的性质求解即可.【详解】（1）设每件商品的售价上涨x元，则商品的售价为元，月销量为件由题意得：整理得：由每件售价不能高于65元得：，即又因x为正整数则x的取值范围为：，且x为正整数综上，y与x的函数关系式为；x的取值范围为，且x为正整数；（2）的对称轴为：则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小因x为正整数，则当时，，y取得最大值；当时，，y取得最大值，比较这两个最大值即可得出最大利润将代入得：，此时售价为将代入得：，此时售价为答：每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，依据题意建立等式是解题关键.需要注意的是，在根据函数的增减性求最大利润时，要考虑对称轴的两侧，避免漏解.1．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）五一假期，小王一家从杭州到温州自驾游，已知杭州到温州市区A处的路程为300千米，小王家的车油箱的容积为55升，小王把油箱加满后驾驶汽车从杭州出发．

(1)求汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式．(2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达温州市区A处，休整后沿图示路线继续出发，先到雁荡山B处，再到楠溪江C处，最后到洞头D处．由于下雨，从A处开始直到D处小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否到达洞头D处？如果不能，至少还需加多少油？【答案】(1)(2)不加油不能到达洞头D处，还需加油升以上【分析】（1）利用公式：路程总容积平均耗油量，即可得的函数关系式；（2）求出到达温州市区A处所需油量与从A处到达洞头D处所需油量之和，再和55升比较即可．【详解】（1）解：根据题意得：；（2）从杭州到温州A处，一共耗油升，从处：，一共耗油升，∴不加油不能到达洞头D处，还需：升答：不加油不能到达洞头D处，还需加油5升以上．【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解平均耗油量与行驶路程的关系．2．（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第10分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.3微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．

(1)______；(2)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式；(3)如果每毫升血液中含药量不低于12微克时是有效的，求一次服药后的有效时间是多少分钟？【答案】(1)27(2)当时，解析式为；当时，函数的解析式为(3)175分钟【分析】（1）根据“从第10分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.3微克”即可求解；（2）利用待定系数法即可求解；（3）分别令，即可求解．【详解】（1）解：∵从第10分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.3微克∴（2）解：当时，设y与x之间的函数关系式为∵经过点∴解得：，∴解析式为；

当时，y与x之间的函数关系式为∵经过点∴解得：，∴函数的解析式为；（3）解：令解得：，令，解得：∴分钟，∴服药后能持续175分钟.【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、利用函数图象解决实际问题等．将实际问题与函数建立正确联系是解题关键．3．（2023·广东汕尾·统考一模）生理学家发现每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“嗐转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y（米）是其两腿迈出的步长之差x（厘米）的反比例函数，y与x之间有如表关系，x（厘米）1235y（米）7请根据表中的信息解决下列问题：(1)求出y与x之间的函数解析式；(2)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为35米，则其两腿迈出的步长之差是多少厘米？【答案】(1)y与x之间的函数解析式为(2)某人走出的大圆圈的半径为35米，其两腿迈出的步长之差是厘米【分析】（1）将代入函数解析式为，运用待定系数法解答即可；（2）令，求得x的值即可解答．【详解】（1）解：设y与x之间的函数解析式为，

将代入得，

∴，∴y与x之间的函数解析式为；（2）当时，即，

解得

∴某人走出的大圆圈的半径为35米，其两腿迈出的步长之差是厘米【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数与实际的综合应用等知识点，理解反比例函数的定义及图象的特点是解题的关键．4．（2023春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，长，宽，深的长方体水池被隔成底面分别是和的甲，乙两池（设隔墙厚度忽略不计），两池隔墙下方有阀门相连．

(1)当两池间的阀门关闭时，设进水管每小时注入甲池放得水量是a立方米，注满甲池的时间为，与a之间的函数关系式是___________；(2)注满甲池后，进水管自动关闭，同时两池间的阀门开启，设甲池的水每小时流入乙池的水量也是a立方米，后水流停止，与a之间的函数关系式是