专题02 一元二次方程概念、解法、判别式和根与系数的关系-2024年新九年级数学暑假提升讲义（沪科版 温故复习）

专题02一元二次方程概念、解法、判别式和根与系数的关系知识点1：一元二次方程的概念1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．注意：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．2.一元二次方程的识别：注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．知识点2：一元二次方程的一般形式1.一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．注意：要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．知识点3：一元二次方程的解1.一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2.一元二次方程的解：一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．知识点4：一元二次方程的解法1．解一元二次方程-直接开平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．2．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．3．解一元二次方程-公式法（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．4．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．5．换元法解一元二次方程（1）解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．（2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．知识点5：根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．知识点6：根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．题型归纳【题型1一元二次方程的定义】满分技法判断一个方程是否为一元二次方程,要紧扣概念,不能只看表面形式,要先把方程进行整理,使右边为0,再观察其是否具备以下三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2.三个条件缺一不可!1．（2024春•瑶海区校级期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是A． B． C． D．2．（2023春•花山区校级期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值是A． B．2 C．或3 D．33．（2023春•宁国市期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是A． B．、、为常数） C． D．4．（2023春•霍邱县期末）若是一元二次方程，则的值为A．2 B． C． D．【题型2一元二次方程的一般形式】满分技法(1)确定一元二次方程二次项系数、一次项系数及常数项时，首先要将方程化为一般形式.(2)指出一元二次方程的各项或各项系数时，要带上前面的符号，尤其是当系数是负数时，一定不能漏掉“-”!(3)若方程中没有一次项或常数项,则一次项系数或常数项为0.5．（2024春•蜀山区校级期中）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为A．；3； B．3；； C．3；；9 D．；；96．（2023春•宣州区校级期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项分别是A．5，6，8 B．5，6， C．5，， D．5，，87．（2023春•宿松县期末）一元二次方程化为一般形式后，常数项为A． B．6 C． D．5【题型3一元二次方程的解】满分技法判断一个数是否为一元二次方程的根的妙招将已知数分别代入一元二次方程的左右两边，若左右两边的值相等，则这个数是方程的根，否则不是.8．（2024春•庐阳区校级期中）如果是方程的解，那么常数的值为A．2 B．1 C． D．9．（2024春•瑶海区期中）已知一元二次方程的一个根为，则的值是A．2020 B．2021 C．2023 D．202510．（2024春•庐阳区校级期中）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为A．2024 B．2025 C．2026 D．202711．（2024春•包河区期中）如果关于的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是．【题型4解一元二次方程-直接开平方法】满分技法用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤第1步:移项,即将方程化为仅左边含有未知数的完全平方式;第2步:开平方,即若右边是非负数(若为负数，则方程无实数根)，则根据平方根的意义求解，注意右边开方后必须取正、负两个平方根;第3步:写出一元二次方程的两个根.12．（2023春•蒙城县期中）方程的根是A．， B．， C． D．，13．（2022春•定远县期末）如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是A． B． C． D．14．（2023春•庐阳区期末）方程的解是．15．（2022春•定远县期末）解方程：．【题型5解一元二次方程-配方法】满分技法用配方法解一元二次方程的一般步骤第1步:化,把方程化为一元二次方程的一般形式,且使二次项系数为1;第2步:移,使方程左边是二次项和一次项,右边是常数项;第3步:配,方程两边同时加上一次项系数一半的平方;第4步:开,当方程的右边是非负数时,用直接开平方法解方程;第5步:写,写出一元二次方程的两个根!16．（2024春•庐阳区校级期中）一元二次方程，用配方法变形可得A． B． C． D．17．（2024春•大观区校级期中）用适当的方法解方程：．18．（2021春•庐阳区期末）解方程：．【题型6解一元二次方程-公式法】满分技法“公式法”的三点注意：(1)使用公式法时，必须先把方程化为一般形式，再确定系数.(2)确定a,b,c的值时,要注意符号,不要遗漏“-”(3)利用公式法解方程时，要先计算b2-4ac的值,只有当b2-4ac≥0时，才能使用求根公式求方程的根.19．（2023春•大观区校级期末）用求根公式解一元二次方程时，，的值是A．，， B．，， C．，， D．，，20．（2023春•定远县期中）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是．21．（2023春•淮北期末）解方程：．22．（2023春•合肥期末）解方程：．【题型7解一元二次方程-因式分解法】满分技法因式分解法一般步骤：第1步:移,即移项,将方程的右边化为0;第2步:分,即将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式;第3步:化,即令每个因式为0,转化为两个一元一次方程;第4步:解,即解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的根23．（2014春•合肥期中）已知一元二次方程的两根分别为，；则这个方程为A． B． C． D．24．（2024春•庐阳区校级期中）一元二次方程的根为A． B． C．， D．，25．（2024春•大观区校级期中）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是A．15 B．13 C．11或8 D．11和1326．（2024春•庐阳区校级期中）解方程：．【题型8换元法解一元二次方程】满分技法换元法，是为了达到“降次”的目的,把高次方程转化为一元二次方程是解题的关键.解题时,把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题简化，这种方法叫做换元法.换元法体现了整体思想和转化思想，其关键是构造元和换元.27．（2024春•瑶海区校级期中）关于的方程，则的值是A． B．1 C．或1 D．3或28．（2023春•宣州区校级期中）已知、为实数，且满足，则代数式的值为A．3或 B．3 C．或5 D．529．（2023春•合肥期末）若，则的值为A．2或 B．或6 C．6 D．2【题型9根的判别式】满分技法判别式”断“根”三步走：第1步:将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),确定系数a,b,c的值,注意a,b,c的值要包含它前面的符号;第2步:计算△=b2-4ac的值;第3步:根据△与0的大小关系判断方程根的情况.30．（2023春•太湖县期中）关于的一元二次方程根的情况是A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根31．（2024春•庐阳区校级期中）关于的方程有两个相等的实数根，若，，是的三边长，则这个三角形一定是A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形32．（2024春•大观区校级期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．【题型10根与系数的关系】满分技法在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件:(1)方程必须是一元二次方程，即二次项系数不为0;(2)方程有实数根,即△≥0.33．（2024春•金安区校级期中）设方程的两实数根为，，则的值为A． B．1 C． D．234．（2024春•瑶海区校级期中）若、是方程的两个根，则A．2026 B．2027 C．2024 D．202935．（2024春•安庆期中）若、是一元二次方程的两根，则的值为．36．（2024春•安庆期中）已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则的值．37．（2024春•安庆期中）已知关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根，，满足，求的值．【题型11配方法的应用】满分技法配方时易出现的错误：移项忘记变号.(2)系数化为1时漏项.(3)方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方.审题做题时，我们要避免以上问题的出现！38．（2023春•大观区校级期末）对于多项式，由于，所以有最小值3．已知关于的多项式的最大值为10，则的值为A．1 B． C． D．39．（2023春•贵池区期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：．解：原式．②求的最小值．解：原式．，，即的最小值为2．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：．（2）因式分解：．（3）求的最小值．（4）用配方法因式分解：．40．（2024春•大观区校级期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值．解：无论取何实数，总有．，即的最小值是．即无论取何实数，的值总是不小于的实数．问题：（1）已知，求证是正数．知识迁移：（2）如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．过关检测1．（2024春•庐阳区校级期中）下列方程是一元二次方程的是A． B． C． D．2．（2024春•大观区校级期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是A． B． C． D．3．（2024春•瑶海区期中）已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程，则三角形的周长为A．10 B．11 C．10或11 D．以上都不对4．（2023春•瑶海区期中）一元二次方程根的情况是A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根5．（2023春•舒城县校级期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是A． B． C． D．6．（2024春•大观区校级期中）已知关于的方程的一个根是1，则此方程的另一根为A．0 B．1 C．2 D．37．（2024春•庐阳区校级期中）设、为的两个实数根，则A．2024 B． C．2021 D．8．（2024春•瑶海区校级期中）如果的值与的值相等，则．9．（2023春•太湖县期末）把方程化为的形式，则的值是．10．（2023春•界首市期末）将一元二次方程化成的形式．11．（2024春•金安区校级期中）解方程：（1）；（2）．12．（2024春•大观区校级期中）已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为4，当是等腰三角形时，求的值．13．（2024春•庐阳区校级期中）已知关于的方程．（1）求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个实数根是1，求的值及方程的另一个实数根．

专题02一元二次方程概念、解法、判别式和根与系数的关系知识点1：一元二次方程的概念1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．注意：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．2.一元二次方程的识别：注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．知识点2：一元二次方程的一般形式1.一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．注意：要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．知识点3：一元二次方程的解1.一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2.一元二次方程的解：一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．知识点4：一元二次方程的解法1．解一元二次方程-直接开平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．2．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．3．解一元二次方程-公式法（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．4．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．5．换元法解一元二次方程（1）解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．（2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．知识点5：根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．知识点6：根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．题型归纳【题型1一元二次方程的定义】满分技法判断一个方程是否为一元二次方程,要紧扣概念,不能只看表面形式,要先把方程进行整理,使右边为0,再观察其是否具备以下三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2.三个条件缺一不可!1．（2024春•瑶海区校级期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是A． B． C． D．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可．【解答】解：．该方程中，当时，它不是一元二次方程，不符合题意；．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；．该方程不是整式方程，不符合题意；．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意；故选：．【点评】本题考查一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．（2023春•花山区校级期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值是A． B．2 C．或3 D．3【答案】【分析】根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可．【解答】解：关于的方程是一元二次方程，且，解得：，故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．3．（2023春•宁国市期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是A． B．、、为常数） C． D．【答案】【分析】本题根据一元二次方程的定义解答即可．【解答】解：、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；、，当时，不是一元二次方程，不符合题意；、整理得：，是一元一次方程，不符合题意；、是一元二次方程，符合题意．故选：．【点评】本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．4．（2023春•霍邱县期末）若是一元二次方程，则的值为A．2 B． C． D．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．【解答】解：由题意得：，解得：．故选：．【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知一元二次方程的定义：一般地，形如、、都是常数，的方程叫做一元二次方程．【题型2一元二次方程的一般形式】满分技法(1)确定一元二次方程二次项系数、一次项系数及常数项时，首先要将方程化为一般形式.(2)指出一元二次方程的各项或各项系数时，要带上前面的符号，尤其是当系数是负数时，一定不能漏掉“-”!(3)若方程中没有一次项或常数项,则一次项系数或常数项为0.5．（2024春•蜀山区校级期中）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为A．；3； B．3；； C．3；；9 D．；；9【答案】【分析】根据一元二次方程的一般形式求解即可．【解答】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，，．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．6．（2023春•宣州区校级期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项分别是A．5，6，8 B．5，6， C．5，， D．5，，8【答案】【分析】把方程化为一元二次方程的一般形式后，即可写出各项系数．【解答】解：原方程化为一般形式为：，则二次项系数、一次项系数及常数项分别是5，，8．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确化为一元二次方程的一般形式是解题的关键．7．（2023春•宿松县期末）一元二次方程化为一般形式后，常数项为A． B．6 C． D．5【答案】【分析】方程化为一般形式后，找出常数项即可．【解答】解：方程整理得：，则常数项为5．故选：．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为：，，为常数且．【题型3一元二次方程的解】满分技法判断一个数是否为一元二次方程的根的妙招将已知数分别代入一元二次方程的左右两边，若左右两边的值相等，则这个数是方程的根，否则不是.8．（2024春•庐阳区校级期中）如果是方程的解，那么常数的值为A．2 B．1 C． D．【答案】【分析】将代入，即可求得常数的值．【解答】解：把代入方程，得，解得：，故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的解，一元一次方程的解法，解决此题的关键是能运用解的定义得出一元一次方程．9．（2024春•瑶海区期中）已知一元二次方程的一个根为，则的值是A．2020 B．2021 C．2023 D．2025【答案】【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：一元二次方程的一个根为，，，．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10．（2024春•庐阳区校级期中）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】【分析】先将方程，整理得：，然后设，则，再根据题意可得，从而进行计算即可解答．【解答】解：，整理得：，设，，关于的一元二次方程有一根为，有一个根为，，解得：，一元二次方程必有一根为2026，故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行是进行计算是解题的关键．11．（2024春•包河区期中）如果关于的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是2023．【答案】2023．【分析】根据关于的一元二次方程的一个解是，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值代入，即可解答本题．【解答】解：关于的一元二次方程的一个解是，，，．故答案为：2023．【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解的含义．【题型4解一元二次方程-直接开平方法】满分技法用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤第1步:移项,即将方程化为仅左边含有未知数的完全平方式;第2步:开平方,即若右边是非负数(若为负数，则方程无实数根)，则根据平方根的意义求解，注意右边开方后必须取正、负两个平方根;第3步:写出一元二次方程的两个根.12．（2023春•蒙城县期中）方程的根是A．， B．， C． D．，【答案】【分析】利用直接开平方法解方程即可．【解答】解：，，，，故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．13．（2022春•定远县期末）如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是A． B． C． D．【答案】【分析】根据解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：，，故选：．【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握负数没有平方根是解题的关键．14．（2023春•庐阳区期末）方程的解是，．【分析】首先移项可得，再两边直接开平方即可．【解答】解：，移项得：，两边直接开平方得：，，故答案为：，．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．15．（2022春•定远县期末）解方程：．【答案】，．【分析】方程整理后，利用直接开平方法求出解即可．【解答】解：方程整理得：，开方得：，解得：，．【点评】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．【题型5解一元二次方程-配方法】满分技法用配方法解一元二次方程的一般步骤第1步:化,把方程化为一元二次方程的一般形式,且使二次项系数为1;第2步:移,使方程左边是二次项和一次项,右边是常数项;第3步:配,方程两边同时加上一次项系数一半的平方;第4步:开,当方程的右边是非负数时,用直接开平方法解方程;第5步:写,写出一元二次方程的两个根!16．（2024春•庐阳区校级期中）一元二次方程，用配方法变形可得A． B． C． D．【答案】【分析】利用配方法将原方程变形即可．【解答】解：，配方得：，即，故选：．【点评】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．17．（2024春•大观区校级期中）用适当的方法解方程：．【答案】，．【分析】先移项，把方程化为，再配方得到，再解方程即可．【解答】解：，，则，即，，，．【点评】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解本题的关键．18．（2021春•庐阳区期末）解方程：．【分析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：，，，所以，．【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．【题型6解一元二次方程-公式法】满分技法“公式法”的三点注意：(1)使用公式法时，必须先把方程化为一般形式，再确定系数.(2)确定a,b,c的值时,要注意符号,不要遗漏“-”(3)利用公式法解方程时，要先计算b2-4ac的值,只有当b2-4ac≥0时，才能使用求根公式求方程的根.19．（2023春•大观区校级期末）用求根公式解一元二次方程时，，的值是A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】【分析】先按照未知数的降幂排列，据此可得答案．【解答】解：，，则，，，故选：．【点评】本题主要考查解一元二次方程的一般形式，认知一次项系数二次项系数常数项是解题的关键．20．（2023春•定远县期中）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是．【答案】．【分析】根据公式法的公式，可得方程的各项系数，即可解答．【解答】解：根据与，可得，，，从而得到一元二次方程为．故答案为：．【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．21．（2023春•淮北期末）解方程：．【答案】，．【分析】把方程化为一般形式，再利用公式法求解即可．【解答】解：，整理，得．，，，，，，．【点评】本题考查了一元二次方程，掌握求根公式是解答本题的关键．22．（2023春•合肥期末）解方程：．【分析】找出，，的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【解答】解：这里，，，△，，则，．【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．【题型7解一元二次方程-因式分解法】满分技法因式分解法一般步骤：第1步:移,即移项,将方程的右边化为0;第2步:分,即将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式;第3步:化,即令每个因式为0,转化为两个一元一次方程;第4步:解,即解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的根23．（2014春•合肥期中）已知一元二次方程的两根分别为，；则这个方程为A． B． C． D．【分析】由根与系数的关系求得方程，再把方程右边分解因式即可．【解答】解：方程两根分别为，，，，方程为．把方程的右边分解因式得：，故选：．【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及分解因式法解一元二次方程，关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．两根之和是，两根之积为．24．（2024春•庐阳区校级期中）一元二次方程的根为A． B． C．， D．，【答案】【分析】先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．【解答】解：，，，或，所以，．故选：．【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．25．（2024春•大观区校级期中）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是A．15 B．13 C．11或8 D．11和13【答案】【分析】根据题意解出方程，继而利用三边关系判断能否组成三角形，即可得出答案．【解答】解：，，解得：，，三角形两边长分别为3和6，当第三边长为2时，不符合构成三角形三边关系，故此种情况舍去，当第三边长为4时，符合构成三角形三边关系，则周长为：，故选：．【点评】本题考查解一元二次方程，三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．26．（2024春•庐阳区校级期中）解方程：．【分析】利用因式分解法解出方程．【解答】解：或，．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．【题型8换元法解一元二次方程】满分技法换元法，是为了达到“降次”的目的,把高次方程转化为一元二次方程是解题的关键.解题时,把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题简化，这种方法叫做换元法.换元法体现了整体思想和转化思想，其关键是构造元和换元.27．（2024春•瑶海区校级期中）关于的方程，则的值是A． B．1 C．或1 D．3或【答案】【分析】设，求出的值，进而可得出结论．【解答】解：设，则此方程可化为，，或，解得，，的值是1或．当时，，△，此方程无解，的值是1．故选：．【点评】本题考查的是换元法解一元二次方程，熟知把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法是解题的关键．28．（2023春•宣州区校级期中）已知、为实数，且满足，则代数式的值为A．3或 B．3 C．或5 D．5【答案】【分析】设，方程化为关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值．【解答】解：设，方程化为，分解因式得：，可得或，解得：或，，．故选：．【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，做题时注意的值为非负数这个隐含条件．29．（2023春•合肥期末）若，则的值为A．2或 B．或6 C．6 D．2【答案】【分析】先设，则方程即可变形为，解方程即可求得即的值．【解答】解：设，则原方程可化为：，分解因式得：，解得：，．是非负数，．故选：．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【题型9根的判别式】满分技法判别式”断“根”三步走：第1步:将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),确定系数a,b,c的值,注意a,b,c的值要包含它前面的符号;第2步:计算△=b2-4ac的值;第3步:根据△与0的大小关系判断方程根的情况.30．（2023春•太湖县期中）关于的一元二次方程根的情况是A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根【答案】【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：方程整理得：，△，方程有两个不相等的实数根．故选：．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键．31．（2024春•庐阳区校级期中）关于的方程有两个相等的实数根，若，，是的三边长，则这个三角形一定是A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】【分析】由关于的方程有两个相等的实数根，可得△，整理得，根据勾股定理逆定理判断的形状即可．【解答】解：关于的方程有两个相等的实数根，△，整理得，是直角三角形，故选：．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．32．（2024春•大观区校级期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是且．【答案】且．【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且△，然后解两个不等式得到它们的公共解即可．【解答】解：根据题意得且△，解得且．即的取值范围是且．故答案为：且．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．【题型10根与系数的关系】满分技法在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件:(1)方程必须是一元二次方程，即二次项系数不为0;(2)方程有实数根,即△≥0.33．（2024春•金安区校级期中）设方程的两实数根为，，则的值为A． B．1 C． D．2【答案】【分析】直接利用根与系数的关系即可得到答案．【解答】解：方程的两实数根为，，．故选：．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键．34．（2024春•瑶海区校级期中）若、是方程的两个根，则A．2026 B．2027 C．2024 D．2029【答案】【分析】由题意知，，，根据，代值求解即可．【解答】解：由题意知，，，，，故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根的定义，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．35．（2024春•安庆期中）若、是一元二次方程的两根，则的值为．【答案】．【分析】由根与系数的关系得出，，代入计算可得．【解答】解：、是一元二次方程的两根，，，．故答案为：．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根时，，．36．（2024春•安庆期中）已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则的值．【答案】．【分析】根据非负数的性质得出，，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再将所求式子变形后代入即可得到答案．【解答】解：，，，，，的两个实数根分别为、，，，．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握算式平方根和绝对值的非负性，求出，的值和一元二次方程根与系数的关系．37．（2024春•安庆期中）已知关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根，，满足，求的值．【答案】（1）见解析；（2）1或．【分析】（1）通过计算根的判别式的值得到△，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）根据根与系数的关系得，，再利用得到，则，然后解方程，从而得到满足条件的的值．【解答】（1）证明：△，该方程总有两个实数根；（2）解：根据根与系数的关系得，，，，，，即，解得，．故的值为1或．【点评】本题考查根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．【题型11配方法的应用】满分技法配方时易出现的错误：移项忘记变号.(2)系数化为1时漏项.(3)方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方.审题做题时，我们要避免以上问题的出现！38．（2023春•大观区校级期末）对于多项式，由于，所以有最小值3．已知关于的多项式的最大值为10，则的值为A．1 B． C． D．【答案】【分析】原式配方后，利用非负数的性质确定出的值即可．【解答】解：原式，当，即时，原式取得最大值，解得．故选：．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．39．（2023春•贵池区期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：．解：原式．②求的最小值．解：原式．，，即的最小值为2．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：4．（2）因式分解：．（3）求的最小值．（4）用配方法因式分解：．【答案】（1）4；（2）；（3）2；（4）．【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；（2）将32化成，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；（3）将式子进行配方，利用偶次方的非负性可得即可得解；（4）先加上，再减去，配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：（1），故答案为：4；（2）；（3），，，的最小值为2；（4）；【点评】本题考查了配方法的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性，是解题的关键．40．（2024春•大观区校级期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值．解：无论取何实数，总有．，即的最小值是．即无论取何实数，的值总是不小于的实数．问题：（1）已知，求证是正数．知识迁移：（2）如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．【答案】（1）见（1）的证明过程．（2）．【分析】（1）配方求最值．（2）先求，再配方求最值．【解答】证明：（1）．．．．是正数．（2）由题意：，，．．．．当时，有最大值．【点评】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键．过关检测1．（2024春•庐阳区校级期中）下列方程是一元二次方程的是A． B． C． D．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【解答】解：、是一元一次方程，故本选项不符合题意；、是一元二次方程，故本选项符合题意；、是二元二次方程，故本选项不符合题意；、是分式方程，故本选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．2．（2024春•大观区校级期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是A． B． C． D．【分析】移项，系数化成1，再配方，即可得出选项．【解答】解：，，，，，故选：．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．3．（2024春•瑶海区期中）已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程，则三角形的周长为A．10 B．11 C．10或11 D．以上都不对【答案】【分析】利用因式分解法求出方程的解，确定出三角形周长即可．【解答】解：方程，分解因式得：，解得：，，当时，，不能构成三角形；当时，三角形周长为．故选：．【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解