2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第26课时 菱　形（课件）

第26课时菱形13内蒙古中考真题及拓展2重难点分层练考点精讲考点精讲【对接教材】北师：九上第一章P2～P10；人教：八下第十八章P55～P58.菱形的性质与判定概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质1.边：(1)四条边______；(2)两组对边分别平行；2.角：两组对角分别相等；3.对角线：对角线_______________，并且每一条对角线平分一组对角；4.对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形；对称轴是两条对角线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点相等互相垂直且平分考点

判定1.有一组______相等的平行四边形是菱形(定义)；2.____条边都相等的四边形是菱形；3.对角线__________的平行四边形是菱形面积公式S＝______(m、n分别表示菱形两条对角线的长)【知识拓展】(1)由于菱形是平行四边形，所以菱形面积也可表示为S＝ah(a表示菱形的边长，h表示这条边上的高)；(2)菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形邻边四互相垂直证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：▱ABCD是菱形．【自主作答】题图证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴直线BD是线段AC的垂直平分线，∴BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形．

教材改编

重难点分层练回顾必备知识例1如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，满足：①AB＝AD，②AC⊥BD，③BD平分∠ABC，④∠BAD＝∠BCD，⑤BC＝CD，⑥AB∥CD.一题多设问请从上述几个条件中，任意挑选三个条件，证明四边形ABCD是菱形．【解法一】选择条件：________(填序号)；例1题图①③④证明：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.在△CBD和△ABD中，∴△CBD≌△ABD(AAS)，∴CB＝AB，CD＝AD.∵AB＝AD，∴AB＝AD＝CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形；四条边都相等的四边形是菱形【判定依据】用到的菱形的判定定理为__________________________．例1题图【判定依据】用到的菱形的判定定理为_____________________________________．对角线互相垂直的平行四边形【解法二】选择条件：________(填序号)；证明：①②⑥∵AB＝AD，AC⊥BC，∴BO＝DO，∠AOB＝∠COD＝90°.∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．例1题图是菱形

例2如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是BC上一点，连接OE.一题多设问(1)若∠BAD＝150°，则∠ABD＝______；(2)若∠ABC＝60°，AB＝4，则BD的长为____；菱形ABCD的面积为_____，周长为____；例2题图15°16(3)点E是BC的中点.①若∠ABC＝50°，则∠AOE的度数为________；②若BD＝6，AC＝8，则线段OE的长为________．115°提升关键能力

例3

在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边BC上一点．(1)如图①，连接OE，AC＝6，BD＝8.①若OE＝CE，则OE的长为_____；②若OE⊥BC，则OE的长为______；一题多设问图①例3题图(2)如图②，AE⊥BC，连接OE.①若∠ADB＝25°，则∠EAO的度数是_____；②若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则AE的长为________，OE的长为____；图②25°3例3题图(3)如图③，已知CE＝4BE，点P是BD上一动点，连接PC、PE.若AC＝6，BD＝8，求△PEC周长的最小值；例3题图③解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝

BD＝4，OC＝AC＝3，∴BC＝AB＝5.∵CE＝4BE，∴BE＝1，CE＝4，∵EC为定值，∴要使△PEC周长最小，则PE＋PC的值最小．如解图，作点E关于BD的对称点E′，则点E′在AB边上，连接CE′与BD交于点P′，过点C作CF⊥AB于点F，则PC＋PE≥CE′，例3题图③∵AC＝6，BD＝8，∴S△ABC＝S菱形ABCD＝×AC×BD＝24.∵CF⊥AB，∴AB×CF＝24，∴CF＝，∴在Rt△CFB中，BF＝，由对称的性质，可知BE′＝BE＝1，∴E′F＝BF－BE′＝－1＝，FE`P`∴在Rt△CFE′中，CE′＝，∴△PEC周长的最小值为；例3题图③FE`P`(4)如图④，点M、N分别是OB、OD上一点，且BM＝DN，连接AM、AN、CM、CN.①求证：四边形AMCN是菱形；例3题图④(4)①∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD.∵BM＝DN，∴OB－BM＝OD－DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形AMCN是菱形；②若∠ABC＝60°，AB＝6，AM＝BM，求AM的长；②解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OD，AB＝CB.∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∵AB＝6，∴AC＝6，∴OA＝3，∴在Rt△AOB中，OB＝＝3.∵AM＝BM，∴OM＝OB－BM＝3－AM.在Rt△AOM中，OA2＋OM2＝AM2，∴32＋(3－AM)2＝AM2，解得AM＝2；例3题图④【判定依据】判定菱形的依据是

_______________________________．(5)如图⑤，点F是边CD上一点，AE、AF分别与BD交于点P、Q，且∠EAF＝60°.若AB＝6，∠BAD＝120°.①求证：AE＝AF；例3题图⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形①证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC.∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，∵∠EAF＝60°.∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC－∠CAE＝∠EAF－∠CAE，∴∠BAE＝∠CAF.在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE＝AF;例3题图⑤②若BP＝2QD，求BE长．②解：如解图②，将△AQD顺时针旋转120°至△AQ′B，使AD与AB重合，连接BQ′，PQ′，设AC与BD交于点O，过点Q′作Q′I⊥BP于点I，例3题图⑤Q′I∟则BQ′＝DQ，∠ABQ′＝∠ADQ，∵AB＝AD＝6，∠BAD＝120°，∴∠ABD＝∠ADB＝30°.∴∠PBQ′＝60°.∵AO⊥BD，∴AO＝AB·sin30°＝3，OB＝OD＝AB·cos30°＝3，∴BD＝6.∵∠EAF＝60°，∠QAQ′＝120°，∴∠PAQ＝∠PAQ′.在△PAQ和△PAQ′中，∴△PAQ≌△PAQ′(SAS)，∴PQ＝PQ′，∵BP＝2QD，∴BP＝2BQ′.在Rt△BIQ′中，∠Q′BI＝60°，∴BI＝BQ′·cos60°＝

BQ′，Q′I＝BQ′·sin60°＝

BQ′，∴IP＝BP－BI＝

BQ′，∴在Rt△PIQ′中，PQ′＝

＝

BQ′.例3题图⑤Q′I∟设BQ′＝DQ＝x，∴BP＝2x，PQ′＝PQ＝

x，∴BD＝BP＋PQ＋DQ＝(2＋

＋1)x＝6，∴x＝3－3，∴DQ＝3－3，PQ＝9－3，BP＝6－6，∴DP＝DQ＋PQ＝6，∴DP＝DA，∴∠DPA＝∠DAP.∵∠DPA＝∠BPE，∠DAP＝∠BEP，∴∠BEP＝∠BPE，∴BE＝BP＝6－6.例3题图⑤Q′I∟内蒙古中考真题及拓展命题点

与菱形有关的证明与计算1.如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是(

)

A.2.5B.3

C.4

D.5第1题图A2.已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为(

)A.2B.2

C.4

D.23.如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线AC于点E，F.(1)求证：△ABE≌△CDF；第3题图C(1)证明：∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，∴∠AEB＝∠CFD.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF(AAS)；第3题图(2)当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状．(无需说明理由)【解法提示】如解图①，当四边形ABCD为矩形时，连接DE、BF，同(1)可知△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形；图①第3题解图如解图②，当四边形ABCD是菱形时，连接DE、BF，同理可知四边形BEDF是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，在△ABE和△ADE中，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE＝DE，∴四边形BEDF是菱形．综上所述，当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，四边形BEDF分别是平行四边形与菱形．图②第3题解图(2)四边形BEDF分别是平行四边形与菱形．拓展训练4.如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为(－1，0)，∠BCD＝120°，则点D的坐标为(

)第4题图A．(2，2)

B．(，2)C．(3，

)

D．(2，

)D5.如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE.(1)求证：四边形ADEF为平行四边形；(1)证明：∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∵EF，DE分别是△ABC的中位线，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF为平行四边形；第5题图(2)加上条件________后，能使得四边形ADEF为菱形．请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这3个条件中选择1个条件填空(写序号)，并加以证明．第5题图(2)解：【解法一】选择③，证明如下：∵EF＝

AB，DE＝

AC，且AB＝AC，∴DE＝EF.∵四边形ADEF为平行四边形，∴四边形ADEF为菱形．