2024-2025学年人教版九年级数学上册 抛物线 综合题压轴题突破

第三模块抛物线综合题

专题一抛物线综合题⑴一抛物线与勾股定理

2

01.如图1,P(m,n)是抛物线y=亍-1上任意一点,1是过点(0,-2)且与x轴平行的直线，过点P作直线PH±1,垂

足为H,PH交x轴于Q.

(1)问题探究：

①填空当m=0时,OP=,PH=;

当m=4时"OP=.

②对任意m,n,猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想.

(2)问题应用：

①当OP=OH,且n#0时,求P点的坐标；

②如图2,已知线段AB=6,端点A,B在抛物线V=9-1上滑动，求A,B两点到直线1的距离之和的最

小值.

专题二抛物线综合题⑵一抛物线与平行四边形(新热点)

01.如图，抛物线y=/-2x-6与X轴分别相交于A,B两点(点A在点B的左侧)，C是AB的中点，平行四边形

CDEF的顶点D,E均在抛物线上.

(1)直接写出点C的坐标；

(2)如图1,若点D的横坐标是-2,,点E在第三象限，平行四边形CDEF的面积是13,求点F的坐标；

(3)如图2,若点F在抛物线上，连接DF,求证：直线DF过一定点.

专题三抛物线综合题(3)—抛物线与特殊角

01.如图，在平面直角坐标系中，抛物线.y=x2-(m-l)x-m(其中m>0),与x轴交于A,B两点(A在B的左

侧)，与y轴交于点C.

⑴若巾=3,分别求出A,B,C三点的坐标；

⑵如图1,在⑴的条件下,若在第一象限抛物线上有一点D，使乙4co=NBCD,求出点D的坐标；

(3攻口图2,平面上一点E(m,2),过点E任意作一条直线与抛物线交于P,Q两点，连接AP,AQ,分别交y

轴于M,N两点,求OMQN的值.

O

N

02.抛物线y=x2+(.2t-2)x+产—2t-3与x轴交于A,B两点(A在B左侧),与y轴交于点C.

(1)如图1,当t=0时,连接AC,BC,求△ABC的面积；

⑵如图2,在(1)的条件下，若点P为在第四象限的抛物线上的一点，且上PCB+^CAB=135。,求P点坐标；

⑶如图3,当-1<t<3时，若Q是抛物线上A,C之间的一点(不与A,C重合)，直线QA,QB分别交y轴

于D,E两点.在Q点运动过程中，是否存在固定的t值，使得(CE=2CD若存在，求出t值；若不存在，

专题四抛物线综合题⑷一抛物线与三角形的旋转(新热点)

01.如图,抛物线y=-号/+|x+2与X轴负半轴交于点A,与y轴交于点B.

(1)求A,B两点的坐标；

(2)如图1,点C在y轴右侧的抛物线上，且.AC=BC,,求点C的坐标；

(3)如图2,将△2B。绕平面内点P顺时针旋转90。后，得到△DEF(点A,B,O的对应点分别是点D,E,F),D,E

两点刚好在抛物线上.

①求点F的坐标；

②直接写出点P的坐标.

02.如图,直线y=1+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-|x2+bx+c经过A,B两点，与x轴的

另一个交点为C.

⑴求抛物线的解析式；

⑵直线AB上方抛物线上存在点D，使得/.DBA=2NB4C,求D点的坐标；

(3)M是平面内一点，将△BOC绕点M逆时针旋转90。后，得到△8101Q,若△氏0忑1的两个顶点恰好落在抛

物线上，求点％的坐标.

专题五抛物线综合题(5)—抛物线与面积处理

01.如图1,抛物线y=af—2ax—3与x轴交于A,B两点(A在B的左边),与y轴交于点C,且OC=OB.

⑴求抛物线的解析式；

(2)如图2,在线段BC下方的抛物线上存在一点D,使浮=2,线段AD与线段BC交于点E,求点E的坐

SADC

标；

(3)如图3,在抛物线下方存在一点F连接FC,FB分别与抛物线交于点M,N(点M,N异于点A,B),且

直线MN和y轴交于点P,求CP的长(用含n的式子表示).

02.抛物线C:y=必—2%-3交x轴于A,B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C.

(D直接写出点A,B,C的坐标；

⑵如图1,平移直线y=x经过点A,交抛物线于另一点N,点D在抛物线上，满足△DAN的面积与△C4N的

面积相等，求点D的横坐标；

(3)如图2,将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线的,直线y=依+b(k)Q,b>0)交抛物

线Q于P,Q两点，交其对称轴于点E,过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线PM于F,H两点,EH

交x轴于点G,求证:.EG=GH.

OBX

专题六抛物线综合题⑹一一抛物线与等角处理

01.已知抛物线与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C(0,3)，顶点坐标((-2,-1).

⑴求抛物线的解析式；

⑵如图1,点D在第二象限的抛物线上，且上CBO=NCBD,求点D的坐标；

(3攻口图2,将抛物线平移至顶点与原点重合得到新抛物线，M,N在新抛物线上且M在N的左侧，过M,N

的两条直线与抛物线均有唯一的公共点，且两条直线交于点E,过E作.EF||y轴交MN于F,交抛物线于

G.求证:G是EF中点

专题七抛物线综合题⑺一抛物线与二倍角处理(新热点)

01如图,抛物线y=ax2-2ax+c与x轴交于点.4(-2,0)和B两点点C(6,4)在抛物线上.

(1)直接写出B点坐标：抛物线解析式为(一般式)；

⑵如图1,D为y轴左侧抛物线上一点，且/-DCA=2NC4B,求点D的坐标；

⑶如图2,直线y=mx+ri与抛物线交于点E,F,连接CE,CF分别交y轴于点M,N,若OM-ON=3,求

证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标.

专题八抛物线综合题⑻一抛物线上的点到直线的距离(新热点)

01.如图,直线1:y=3x-3分别与X轴，y轴交于点A,点B,抛物线y=ax2-2ax+a-4经过点B.

⑴求抛物线的解析式；

(2)点C是第四象限抛物线上一动点，连接AC,BC.

①当△ABC的面积最大时，求点C的坐标及△4BC面积的最大值；

②在①的条件下，将直线1绕着点A逆时针方向旋转到直线11,1与线段BC交于点D,设点B,点C到11

的距离分别为必和d2,当£+dz最大时，求直线1旋转的角度.

专题九抛物线综合题⑼——抛物线与定直线上的动点

2

01.已知抛物线y=一3(2771%-4am(a)0lm>0)与x轴交于A,B两点(A在B左边)与y轴交于C点顶点为P,

OC=2AO.

(1)求a与m满足的关系式；

⑵直线.AD||BC,与抛物线交于另一点D,AADP的面积为△ADP黑求a的值；

(3)在(2)的条件下，过(1，-1)的直线与抛物线交于M,N两点，分别过M,N且与抛物线仅有一个公共点的两

条直线交于点G,求OG长的最小值.

专题十抛物线综合题（10）一抛物线上特殊点的恒存在性（新热点）

01.如图,抛物线y=ax2-2ax+m与x轴交于4（-1，0）和B两点，与y轴交于点C（0,-3）.

⑴求此抛物线的解析式；

（2）若直线1:y=-2%-4与x和y轴分别交于点D和点E,直线BC交直线DE于点F,在第二象限内的抛物

线上是否存在一点P,使乙PBF=乙DFB,,若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由；

⑶在（2）的条件下，对于直线1上任意给定的一点G,过点G的另外一条直线交抛物线于M,N两点，在抛物

线上是否都一定能找到点M，使得（GM=MN?请证明你的结论.

专题十一抛物线综合题(11)一抛物线与图形的唯一存在性(新热点)

01.如图1,抛物线y=ax2-2ax+b(a<0)与x轴交于A,B两点(A点在B点的左边)，与y轴的正半轴交于点C,

顶点为D,OB=OC=3OA.

⑴求抛物线解析式；

(2)如图2,点E的坐标为(0,7),若过点E作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H,直线.y

=kx-2k-5(fc丰0)与抛物线交于F,G两点，求当k为何值时，△FGH面积最小，并求出面积的最小

值；

(3)如图3,已知直线1：y=2%-1,将抛物线沿直线1方向平移，平移过程中抛物线与直线1相交于E,F两点.

设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m,在x轴上存在唯一的一点P,使乙EPF=90。,求m的值.

专题十二抛物线综合题(12)——抛物线与等线段的处理

01.已知抛物线G：y=(X-1)2-4和金:丫=X2.

(1)如何将抛物线的平移得到抛物线。2?

⑵如图1,抛物线的与X轴正半轴交于点A,直线y=-疑+6经过点A,交抛物线Q于另一点B.请你在线

段AB上取点P,过点P作直线.PQ||y轴交抛物线Q于点Q,连接AQ.

①若AP=4Q,求点P的横坐标；

②若PA=PQ,,直接写出点P的横坐标；

(3)如图2,AMNE的顶点M,N在抛物C2±，点M在点N右边，两条直ME,NE与抛物线C?均有唯一共点，

ME,NE均与y轴不平行.若△MNE的面积为2,设M,N两点的横坐标分别为m,n,求m与n的数量

关系.

图1图2

专题十三抛物线综合题(13)一抛物线与平行(新热点)

01.如图,抛物线y=-/+"+。与x轴交于A(-l,0),B(2,0)两点与y轴交于点C.

⑴求抛物线的解析式；

⑵如图1,点D是第一象限抛物线上一点，作DE||OC,当DE的长度最大时，求点D的坐标；

⑶如图2,平行于BC的直线MN交抛物线于M,N两点直线MC,NB的交点为P,求点P的横坐标.

02.在平面直角坐标系中，抛物线Ci：y=ax2+4x+4a(-2<a<0).

⑴若A(-l,y0),B(0,y0),C(l,y0)三点均在(Q上,连BC,过点A作.4E||BC交抛物线Q于E.

①探究：当a=-l1时，直接写出直线BC的解析式为点E的坐标为；

②求证：当a值变化时，E点总在直线.x=2上.

⑵如图.若a=-1,将抛物线的1先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线C2,Cz交x轴于H,

交y轴于T,直线y=kx+9交抛物线C2于P,Q,当P”||QT时，求k的值.

图1图2

专题十四抛物线综合题(14)一抛物线与正方形

01.定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”.

例如：y=(%—-2的“同轴对称抛物线”为y=-(x-I)2+2.

(1)请写出抛物线.y=(%-D2-2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线y=-(%-1)2+2的顶点坐标.

_；抛物线y=-|(x-l)2+|的“同轴对称抛物线”为；

(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L:y=a久2-4ax+l(a>0)上一点，点B的横坐标为1,过点

B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C,分别作点B,C关于抛物线对称轴对称的点B

C,连接BC,CC,B'C,BB',设四边形.BB,CC的面积为S.

①当四边形.B夕CC为正方形时，求a的值；

②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点

时，请求出a的取值范围.

专题十五抛物线综合题（15）——抛物线与圆（新热点）

01.已知抛物线y=/一2x-3与x轴交于A