2024内蒙古中考数学二轮专题复习 二次函数与几何综合题 类型二 面积问题（课件）

二次函数与几何综合题类型二面积问题微技能一阶例1在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－2x＋3的顶点为A，与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点(点C在点D左侧)．(1)如图①，过点A作AE⊥x轴于点E，求△ABE的面积；例1题图①解：(1)抛物线y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.∴点A的坐标为(－1，4)，∴S△ABE＝×1×4＝2；一题多设问满分技法直接公式法：适用于三角形的一边平行于坐标轴(或在坐标轴上)，直接运用三角形的面积公式S＝

AB·h求解．(2)如图②，抛物线上有一点M(－2，3)，连接AM，AD，MD，求△AMD的面积；【分割法】例1题图②(2)如解图，过点A作AF∥y轴交MD于点F，F令－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴D(1，0)，设直线MD的解析式为y＝kx＋b，将点M(－2，3)，D(1，0)代入，例1题图②F得

解得

∴直线MD的解析式为y＝－x＋1.又∵点A(－1，4)，∴当x＝－1时，y＝2，则点F的坐标为(－1，2)，∴S△AMD＝

AF·|xD－xM|＝×(4－2)×[1－(－2)]＝3；【补全法】(2)如解图，过点A作GH∥x轴，分别过点M、D作MG⊥AG、DH⊥AH，例1题解图∴S△AMD＝S梯形MGHD－S△AGM－S△AHD

＝×(1＋4)×3－×1×1－×2×4

＝3；满分技法1.分割法：S△ABC＝

ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．满分技法2.补全法：S△ABC＝S四边形BCED－S△ADB－S△AEC(3)如图③，连接AB，BD，AC，求四边形ABDC的面积．例1题图③(3)如解图，连接BC，过点A作AN∥y轴交BC于点N，N由(2)同理可得点N的坐标为(－1，2)，∴S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BCD

＝×(4－2)×[0－(－3)]＋×[1－(－3)]×3

＝9.满分技法对于一边在坐标轴上(或一边平行于坐标轴)的四边形，可连接一条对角线，将四边形分割成两个三角形来解决．其中一个三角形一边在坐标轴上(或一边平行于坐标轴)，另一个三角形的三边都不在坐标轴上(或三边都不平行于坐标轴)．设问突破二阶例2如图，抛物线y＝－x2－2x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于点C.连接AC、BC.(1)若点P是抛物线上一点(不与点C重合)，直线CP将△ABC分成面积相等的两部分，求出点P的坐标；例2题图①【思维教练】要求直线CP将△ABC分成面积相等的两部分时点P的坐标，只需使直线CP经过线段AB的中点即可．解：(1)在抛物线y＝－x2－2x＋3中，令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)，令y＝0，得x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)．∵直线CP将△ABC分成面积相等的两部分，∴直线CP经过点(－1，0)．设直线CP的解析式为y＝kx＋b，将C(0，3)、(－1，0)代入，例2题图①得

解得∴直线CP的解析式为y＝3x＋3.

联立

解得(舍去)或∴点P的坐标为(－5，－12)；例2题图①(2)若点P是抛物线上一点，是否存在点P，使得S△PAB＝2S△ABC，若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】要求满足S△PAB＝2S△ABC的点P的横坐标，由于△PAB和△ABC同底，则可根据点C的纵坐标求出点P的纵坐标，从而代入抛物线的解析式中求值即可．例2题图②(2)存在．由题意可知△PAB和△ABC同底，∵S△PAB＝2S△ABC，∴△ABP的高是△ABC高的2倍，∵抛物线顶点纵坐标为

＝4＜2×3，∴点P在x轴下方，∴点P的纵坐标为－6，当y＝－6时，－x2－2x＋3＝－6，解得x1＝－1＋

，x2＝－1－

，∴点P的横坐标为－1＋

或－1－

；例2题图②(3)若点P是抛物线上一点，且位于对称轴的左侧，是否存在点P，使得S△PBC＝

，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】假设点P存在，过点P作BC的垂线结合S△PBC＝

，再利用相似三角形的性质求解即可．例2题解图(3)存在．假设存在点P，使得S△PBC＝

，如解图，过点P作PK⊥BC，交BC的延长线于点K，作PH∥y轴，交x轴于点H，交BC的延长线于点F，连接PC，PB.例2题图③∵PH∥y轴，PK⊥BC，∴∠F＝∠BCO，∠PKF＝∠BOC＝90°，∴△PKF∽△BOC，

∴∴BC·PK＝BO·PF.又∵S△PBC＝

，BO＝1，

∴BC·PK＝

BO·PF＝

，

∴PF＝9.例2题解图例2题解图由B(1，0)，C(0，3)可求出直线BC的表达式为y＝－3x＋3，设P(p，－p2－2p＋3)，则F(p，－3p＋3)，∴PF＝－3p＋3－(－p2－2p＋3)＝p2－p＝9.

解得p1＝

，p2＝(不合题意，舍去)，

当p＝

时，y＝

，∴P(，)．∴存在点P，使得S△PBC＝

，此时点P的坐标为(，)；例2题解图(4)若点P是线段AC上方抛物线上一点，是否存在点P，使得△PAC的面积取得最大值，若存在，求出最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】要求△PAC的面积最大值及此时点P的坐标，根据三角形三边均不与坐标轴平行，可设出点P的横坐标，利用“分割法”或“补全法”进行求解．(4)存在．如解图，设点P的坐标为(p，－p2－2p＋3)，连接OP，例2题解图例2题图④例2题解图由题意可知，OA＝3，OC＝3，∴S△PAC＝S△AOP＋S△COP－S△AOC

＝

OA×|yP|＋

OC×|xP|－

OA×OC

＝×3×(－p2－2p＋3)＋×3×(－p)－×3×3

＝－

p2－

p

＝－(p＋)2＋

，∵－

＜0，－3＜x＜0，∴当p＝－

时，S△PAC最大，S△PAC最大＝

，此时点P的坐标为(－

，)；例2题解图(5)动点M从点A出发在线段AC上以每秒

个单位长度向点C做匀速运动，同时，动点N从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动，连接MN，设运动时间为t秒，求当t为何值时，四边形BCMN的面积最小，最小值为多少？【思维教练】用含t的坐标表示出点M，N，从而表示出各条线段的长，利用面积公式表示出S四边形BCMN，从而用含t的二次函数解析式表示出四边形BCMN的面积，即可求出最值．例2题图⑤(5)由题易得△OAC是等腰直角三角形．由点M的运动可知AM＝t，由点N的运动可知BN＝t，如解图，过点M作ME⊥x轴交x轴于点E，例2题解图∴AE＝ME＝

AM＝·t＝t，∴AN＝4－t.∴S四边形BCMN＝S△ABC－S△AMN

＝

AB·OC－

AN·ME

＝×4×3－×(4－t)×t

＝

t2－2t＋6

＝(t－2)2＋4.例2题解图∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC＝

，AB＝4，例2题解图∴0≤t≤3.∵＞0，∴当t＝2时，四边形BCMN的面积最小，S四边形BCMN最小＝4.对接中考已知二次函数y＝ax2－bx＋c且a＝b，若一次函数y＝kx＋4与二次函数的图象交于点A(2，0)．(1)写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；解：(1)将点A(2，0)代入y＝kx＋4，得k＝－2，∴一次函数的解析式为y＝－2x＋4.

又∵

∴c＝－2a.∴y＝ax2－ax－2a＝a(x－2)(x＋1)，∴二次函数与x轴交点为(－1，0)和(2，0)；(2)当a＞c时，求证：直线y＝kx＋4与抛物线y＝ax2－bx＋c一定还有另一个异于点A的交点；(2)证明：联立

得ax2＋(2－a)x－(2a＋4)＝0，∴b2－4ac＝(2－a)2＋4a(2a＋4)＝(3a＋2)2.∵a>c，即a>－2a，∴a>0，∴(3a＋2)2>0，∴方程ax2＋(2－a)x－(2a＋4)＝0有两个不相等的实根，∴y＝－2x＋4和y＝ax2－ax－2a有两个不同的交点．又∵其中一个交点为A(2，0)，∴一定还有另一个异于点A的交点；(3)当c＜a≤c＋3时，求出直线y＝kx＋4与抛物线y＝ax2－bx＋c的另一个交点B的