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文档简介
二次函数与几何综合题类型二面积问题微技能一阶例1在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2-2x+3的顶点为A,与y轴交于点B,与x轴交于C、D两点(点C在点D左侧).(1)如图①,过点A作AE⊥x轴于点E,求△ABE的面积;例1题图①解:(1)抛物线y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.∴点A的坐标为(-1,4),∴S△ABE=×1×4=2;一题多设问满分技法直接公式法:适用于三角形的一边平行于坐标轴(或在坐标轴上),直接运用三角形的面积公式S=
AB·h求解.(2)如图②,抛物线上有一点M(-2,3),连接AM,AD,MD,求△AMD的面积;【分割法】例1题图②(2)如解图,过点A作AF∥y轴交MD于点F,F令-x2-2x+3=0,解得x1=-3,x2=1,∴D(1,0),设直线MD的解析式为y=kx+b,将点M(-2,3),D(1,0)代入,例1题图②F得
解得
∴直线MD的解析式为y=-x+1.又∵点A(-1,4),∴当x=-1时,y=2,则点F的坐标为(-1,2),∴S△AMD=
AF·|xD-xM|=×(4-2)×[1-(-2)]=3;【补全法】(2)如解图,过点A作GH∥x轴,分别过点M、D作MG⊥AG、DH⊥AH,例1题解图∴S△AMD=S梯形MGHD-S△AGM-S△AHD
=×(1+4)×3-×1×1-×2×4
=3;满分技法1.分割法:S△ABC=
ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.满分技法2.补全法:S△ABC=S四边形BCED-S△ADB-S△AEC(3)如图③,连接AB,BD,AC,求四边形ABDC的面积.例1题图③(3)如解图,连接BC,过点A作AN∥y轴交BC于点N,N由(2)同理可得点N的坐标为(-1,2),∴S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD
=×(4-2)×[0-(-3)]+×[1-(-3)]×3
=9.满分技法对于一边在坐标轴上(或一边平行于坐标轴)的四边形,可连接一条对角线,将四边形分割成两个三角形来解决.其中一个三角形一边在坐标轴上(或一边平行于坐标轴),另一个三角形的三边都不在坐标轴上(或三边都不平行于坐标轴).设问突破二阶例2如图,抛物线y=-x2-2x+3交x轴于A、B两点,交y轴于点C.连接AC、BC.(1)若点P是抛物线上一点(不与点C重合),直线CP将△ABC分成面积相等的两部分,求出点P的坐标;例2题图①【思维教练】要求直线CP将△ABC分成面积相等的两部分时点P的坐标,只需使直线CP经过线段AB的中点即可.解:(1)在抛物线y=-x2-2x+3中,令x=0,得y=3,∴C(0,3),令y=0,得x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1,∴A(-3,0),B(1,0).∵直线CP将△ABC分成面积相等的两部分,∴直线CP经过点(-1,0).设直线CP的解析式为y=kx+b,将C(0,3)、(-1,0)代入,例2题图①得
解得∴直线CP的解析式为y=3x+3.
联立
解得(舍去)或∴点P的坐标为(-5,-12);例2题图①(2)若点P是抛物线上一点,是否存在点P,使得S△PAB=2S△ABC,若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由;【思维教练】要求满足S△PAB=2S△ABC的点P的横坐标,由于△PAB和△ABC同底,则可根据点C的纵坐标求出点P的纵坐标,从而代入抛物线的解析式中求值即可.例2题图②(2)存在.由题意可知△PAB和△ABC同底,∵S△PAB=2S△ABC,∴△ABP的高是△ABC高的2倍,∵抛物线顶点纵坐标为
=4<2×3,∴点P在x轴下方,∴点P的纵坐标为-6,当y=-6时,-x2-2x+3=-6,解得x1=-1+
,x2=-1-
,∴点P的横坐标为-1+
或-1-
;例2题图②(3)若点P是抛物线上一点,且位于对称轴的左侧,是否存在点P,使得S△PBC=
,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;【思维教练】假设点P存在,过点P作BC的垂线结合S△PBC=
,再利用相似三角形的性质求解即可.例2题解图(3)存在.假设存在点P,使得S△PBC=
,如解图,过点P作PK⊥BC,交BC的延长线于点K,作PH∥y轴,交x轴于点H,交BC的延长线于点F,连接PC,PB.例2题图③∵PH∥y轴,PK⊥BC,∴∠F=∠BCO,∠PKF=∠BOC=90°,∴△PKF∽△BOC,
∴∴BC·PK=BO·PF.又∵S△PBC=
,BO=1,
∴BC·PK=
BO·PF=
,
∴PF=9.例2题解图例2题解图由B(1,0),C(0,3)可求出直线BC的表达式为y=-3x+3,设P(p,-p2-2p+3),则F(p,-3p+3),∴PF=-3p+3-(-p2-2p+3)=p2-p=9.
解得p1=
,p2=(不合题意,舍去),
当p=
时,y=
,∴P(,).∴存在点P,使得S△PBC=
,此时点P的坐标为(,);例2题解图(4)若点P是线段AC上方抛物线上一点,是否存在点P,使得△PAC的面积取得最大值,若存在,求出最大值及此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;【思维教练】要求△PAC的面积最大值及此时点P的坐标,根据三角形三边均不与坐标轴平行,可设出点P的横坐标,利用“分割法”或“补全法”进行求解.(4)存在.如解图,设点P的坐标为(p,-p2-2p+3),连接OP,例2题解图例2题图④例2题解图由题意可知,OA=3,OC=3,∴S△PAC=S△AOP+S△COP-S△AOC
=
OA×|yP|+
OC×|xP|-
OA×OC
=×3×(-p2-2p+3)+×3×(-p)-×3×3
=-
p2-
p
=-(p+)2+
,∵-
<0,-3<x<0,∴当p=-
时,S△PAC最大,S△PAC最大=
,此时点P的坐标为(-
,);例2题解图(5)动点M从点A出发在线段AC上以每秒
个单位长度向点C做匀速运动,同时,动点N从点B出发,在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一点随之停止运动,连接MN,设运动时间为t秒,求当t为何值时,四边形BCMN的面积最小,最小值为多少?【思维教练】用含t的坐标表示出点M,N,从而表示出各条线段的长,利用面积公式表示出S四边形BCMN,从而用含t的二次函数解析式表示出四边形BCMN的面积,即可求出最值.例2题图⑤(5)由题易得△OAC是等腰直角三角形.由点M的运动可知AM=t,由点N的运动可知BN=t,如解图,过点M作ME⊥x轴交x轴于点E,例2题解图∴AE=ME=
AM=·t=t,∴AN=4-t.∴S四边形BCMN=S△ABC-S△AMN
=
AB·OC-
AN·ME
=×4×3-×(4-t)×t
=
t2-2t+6
=(t-2)2+4.例2题解图∵当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,AC=
,AB=4,例2题解图∴0≤t≤3.∵>0,∴当t=2时,四边形BCMN的面积最小,S四边形BCMN最小=4.对接中考已知二次函数y=ax2-bx+c且a=b,若一次函数y=kx+4与二次函数的图象交于点A(2,0).(1)写出一次函数的解析式,并求出二次函数与x轴交点坐标;解:(1)将点A(2,0)代入y=kx+4,得k=-2,∴一次函数的解析式为y=-2x+4.
又∵
∴c=-2a.∴y=ax2-ax-2a=a(x-2)(x+1),∴二次函数与x轴交点为(-1,0)和(2,0);(2)当a>c时,求证:直线y=kx+4与抛物线y=ax2-bx+c一定还有另一个异于点A的交点;(2)证明:联立
得ax2+(2-a)x-(2a+4)=0,∴b2-4ac=(2-a)2+4a(2a+4)=(3a+2)2.∵a>c,即a>-2a,∴a>0,∴(3a+2)2>0,∴方程ax2+(2-a)x-(2a+4)=0有两个不相等的实根,∴y=-2x+4和y=ax2-ax-2a有两个不同的交点.又∵其中一个交点为A(2,0),∴一定还有另一个异于点A的交点;(3)当c<a≤c+3时,求出直线y=kx+4与抛物线y=ax2-bx+c的另一个交点B的
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