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文档简介
X5.4.1正弦函数、余弦函数的图象
问题1:三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数,按照函数研究的方法,学习了三角函数的定义之后,接下来应该研究什么问题?怎样研究?新课引入
追问:(1)前面我们研究指数函数、对数函数图象与性质的思路是怎样的?研究函数的一般思路:研究函数的一般方法是:函数的性质用性质解问题函数的图象函数的定义特殊的函数追问:(2)绘制一个新函数图象的基本方法是什么?
追问:(3)根据三角函数的定义,需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗?选择哪一个区间即可?描点法由诱导公式一知自变量每增加(减少)2π,正弦函数值、余弦函数值将重复出现.据此,可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程,比如可以先画函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象,再画正弦函数y=sinx,x∈R的图象.(1)列表(2)描点(3)连线
用描点法作出函数图象的主要步骤:------问题2:如何作出正弦函数的图象?学习新知在描点时,因为诸如是无理数,无法精确地描出。遗憾!
在直角坐标系中如何作点(,)?PMC(,)
yxO思考:如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点,并画出y=sinx在[0,2π]内的图象?几何法作图的关键是如何利用单位圆中角sinx0对应的几何量,巧妙地移动到直角坐标系内,从而确定对应的点(x0,sinx0).问题2:如何作出正弦函数的图象?用几何法作的图象!
在x轴上从0到2π这一段分成12等份,使x的值分别为
,它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分.具体应该如何作?1-10yx●●●●●●●●●●●●●观察函数y=sinx在[0,2π]内的图象,其形状、位置、凸向等有何变化规律?问题2:如何作出正弦函数的图象?作法:(1)等分(2)作正弦对应线(3)平移(4)连线用几何法作的图象!
yxo1-1(0,0)(,1)(
,0)(,-1)(2
,0)五点画图法五点法——(0,0)(,1)(
,0)(,1)(2
,0)(0,0)(,1)(
,0)(,1)(2
,0)(0,0)(,1)(
,0)(,1)(2
,0)(0,0)(,1)(
,0)(,1)(2
,0)(0,0)(,1)(
,0)(,-1)(2
,0)(0,0)(,1)(
,0)(,-1)(2
,0)(0,0)(,1)(
,0)(,-1)(2
,0)(0,0)(,1)(
,0)(,-1)(2
,0)x
sinx02
010-10图象的最低点图象的最高点与x轴的交点想一想:在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上,起关键作用的点有哪几个?如何作出正弦函数y=sinx的图象(在精确度要求不太高时)?x6yo--12345-2-3-41
yxo1-1y=sinxx[0,2]y=sinxxR正弦曲线因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同。思考:根据函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象,你能想象正弦函数y=sinx,x∈R的图象吗?依据是什么?画出应该函数的图象。函数y=sinx,x∈R的图象叫做正弦曲线,正弦曲线的分布有什么特点?y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-π你能画出函数y=|sinx|,x∈[0,2π]的图象吗?yxOπ12π-1学习新知是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线。
思考:如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数?
注:余弦函数的图像可以通过将正弦曲线向左平移个单位长度而得到.余弦函数的图像叫作余弦曲线.根据诱导公式,可得:问题3:由三角函数的定义可知,正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数.你能利用这种关系,借助正弦函数y=sinx(x∈R)的图象画出余弦函数y=cosx(x∈R)的图象吗?思考:由诱导公式可知,y=cosx与是同一个函数,如何作函数在[0,2π]内的图象?xyO2ππ1y=sinx-1x6yo--12345-2-3-41
正弦、余弦函数的图象
余弦函数的图象
正弦函数的图象
x6yo--12345-2-3-41
y=cosx=sin(x+),xR余弦曲线(0,1)(,0)(
,-1)(,0)(2
,1)正弦曲线形状完全一样只是位置不同方法:利用图像平移最高点:最低点:与x轴的交点:在函数的图像上,起关键作用的点有:五点法作图-1---
1-与x轴的交点图象的最高点图象的最低点与x轴的交点图象的最高点图象的最低点---11--1----11--1简图作法(1)列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)(3)连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)(2)描点(定出五个关键点)——五点法问题:有没有更加简洁的作图呢?(1)y=1+sinx,x[0,2];x
sinx
1+sinx02
.解:按五个关键点列表:
正弦、余弦函数的图象
(2)y=-cosx,x[0,2]
.x
cosx-cosx02
10-101-1010-1yxo1-1y=-cosx,x[0,2]y=cosx,x[0,2]函数图像的平移和对称变换
【平移】
【对称】
左加右减,上加下减.x
sinx02
10-101
练习:在同一坐标系内,用五点法分别画出函数
y=sinx,x[0,2]和y=cosx,x[,]的简图:o1yx-12y=sinx,x[0,2]y=cosx,x[,]
向左平移个单位长度x
cosx100-100
例2.当x∈[0,2π]时,求不等式的解集.xyO2ππ1-1yxxO法1(定义)法2(图象)o1yx-12
正弦、余弦函数的图象
正弦、余弦函数的
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