华师大版八级下册数学第17章反比例函数与三角形综合题专训含答案解析

华师大版八年级下册第１７章反比例函数与三角形综合题专训（含答案） 一、反比例函数与等腰三角形结合试题１、（2015常州）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方． （1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积； （2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形； （3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由． 【解答】解：（1）k=4，S△PAB=15． 提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO， 设AP与y轴交于点C，如图1， 把x=4代入y=x，得到点B的坐标为（4，1）， 把点B（4，1）代入y=，得k=4． 解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1）， 则点A与点B关于原点对称， ∴OA=OB， ∴S△AOP=S△BOP， ∴S△PAB=2S△AOP． 设直线AP的解析式为y=mx+n， 把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n， 求得直线AP的解析式为y=x+3， 则点C的坐标（0，3），OC=3， ∴S△AOP=S△AOC+S△POC=OCAR+OCPS =×3×4+×3×1=， ∴S△PAB=2S△AOP=15； （2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2． B（4，1），则反比例函数解析式为y=， 设P（m，），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q， 联立，解得直线PA的方程为y=x+﹣1， 联立，解得直线PB的方程为y=﹣x++1， ∴M（m﹣4，0），N（m+4，0）， ∴H（m，0）， ∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4， ∴MH=NH， ∴PH垂直平分MN， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形； （3）∠PAQ=∠PBQ． 理由如下： 过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3． 可设点Q为（c，），直线AQ的解析式为y=px+q，则有 ， 解得：， ∴直线AQ的解析式为y=x+﹣1． 当y=0时，x+﹣1=0， 解得：x=c﹣4， ∴D（c﹣4，0）． 同理可得E（c+4，0）， ∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4， ∴DT=ET， ∴QT垂直平分DE， ∴QD=QE， ∴∠QDE=∠QED． ∵∠MDA=∠QDE， ∴∠MDA=∠QED． ∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM． ∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED， ∴∠PAQ=∠PBQ． 试题２、（2016黄冈校级自主招生）如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标．【解答】解：若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2． 设C1（x，2x），则得x2+（2x﹣2）2=22， 解得，得C1（）， 若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2， 设C2（x′，2x′），则得x′2+（2x′）2=22，解得=， ∴C2（）， 又由点C3与点C2关于原点对称，得C3（）， 若此等腰三角形以OA为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为，得C4（）， 所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：（），（），（），C4（）． 试题３、（2011广西来宾，23，10分）已知反比例函数的图像与一次函数图像交于点A（1，4）和B（m,-2）. (1)求这两个函数的关系式.（2）如果点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积。（3）点P是X轴上的动点，△ＡＯＰ是等腰三角形，求点Ｐ的坐标。二、反比例函数与等边三角形结合 试题１、如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为（﹣1，2）． 解：∵直线y=2x+4与y轴交于B点， ∴x=0时，得y=4，∴B（0，4）． ∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC， ∴C在线段OB的垂直平分线上， ∴C点纵坐标为2． 将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，解得x=﹣1． 故答案为：（﹣1，2）．试题２、（2015黄冈校级自主招生）如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，则图中S△OBP=（） A． B． C． D．4【解答】解：∵△AOB和△ACD均为正三角形， ∴∠AOB=∠CAD=60°，∴AD∥OB， ∴S△ABP=S△AOP， ∴S△OBP=S△AOB， 过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE=S△ABE=S△AOB， ∵点B在反比例函数y=的图象上， ∴S△OBE=×4=2， ∴S△OBP=S△AOB=2S△OBE=4． 故选D． 试题３、（2013黄冈模拟）如图，△P1OA1、△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是（） A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）【解答】解：（1）根据等腰直角三角形的性质，可设点P1（a，a）， 又y=， 则a2=4，a=±2（负值舍去）， 再根据等腰三角形的三线合一，得A1的坐标是（4，0）， 设点P2的坐标是（4+b，b），又y=，则b（4+b）=4， 即b2+4b﹣4=0， 又∵b＞0，∴b=2﹣2， 再根据等腰三角形的三线合一， ∴4+2b=4+4﹣4=4， ∴点A2的坐标是（4，0）． 故选C． 三、反比例函数与直角三角形结合 试题１、（2015大连模拟）如图，以Rt△AOB的直角顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，C为AB的中点，将一个足够大的三角板的直角顶点与C重合，并绕点C旋转，直角边CM、CN与边OB、OA相交于E、F． （1）如图1，当∠ABO=45°时，请直接写出线段CE与CF的数量关系：CE=CF． （2）如图2，当∠ABO=30°时，请直接写出CE与CF的数量关系：FC=EC． （3）当∠ABO=α时，猜想CE与CF的数量关系（用含有α的式子表示），并结合图2证明你的猜想． （4）若OA=6，OB=8，D为△AOB的内心，结合图3，判断D是否在双曲线y=上，说明理由． 【解答】解：（1）如图1，连接OC， ∵∠AOB=90°，∠MCN=90°， ∴四边形OFCE共圆， ∵∠ABO=45°，C为AB的中点， ∴∠EOC=∠FOC=45°， ∴CE=CF， 故答案为：CE=CF． （2）如图2，连接OC， ∵∠AOB=90°，∠MCN=90°， ∴四边形OFCE共圆，此圆为⊙G，设半径为r，作GP⊥FC，连接GF， ∵∠ABO=30°，C为AB的中点， ∴∠BOC=30°， ∴∠FOC=60°，可得∠FGP=60°， ∴FC=2FP=r， 同理可得EC=r， ∴FC=EC． 故答案为：FC=EC． （3））如图2，连接OC， ∵∠AOB=90°，∠MCN=90°， ∴四边形OFCE共圆，此圆为⊙G，设半径为r，作GP⊥FC，连接GF， ∵∠ABO=α，C为AB的中点， ∴∠BOC=α， ∴∠FOC=90°﹣α，可得∠FGP=90°﹣α， ∴FC=2FP=2rsin（90°﹣α）， 同理可得EC=2rsinα， ∴FC：EC=sin（90°﹣α）：sinα， ∴FC=EC． （4）如图3， ∵OA=6，OB=8， ∴AB===10， 设OC为x，AC=6﹣x， ∵D为△AOB的内心， ∴OE=x，BE=8﹣x， ∴8﹣x+6﹣x=10， ∴x=2， ∴点D（2，2）．代入双曲线y=不成立， ∴D不在双曲线y=上， 四、反比例函数与等腰直角三角形结合 试题１、如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015的坐标是（） A． C． 解：∵OA1=1，∴点A1的坐标为（1，0）， ∵△OA1B1是等腰直角三角形， ∴A1B1=1，∴B1（1，1）， ∵△B1A1A2是等腰直角三角形， ∴A1A2=1，B1A2=， ∵△B2B1A2为等腰直角三角形， ∴A2A3=2，∴B2（2，2）， 同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…Bn（2n﹣1，2n﹣1）， ∴点B2015的坐标是（22014，22014）． 故选：A． 试题２、（2015仪征市一模）如图，点A是双曲线y=在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为y=﹣． 【解答】解：连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图， 设A点坐标为（a，）， ∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=的交点， ∴点A与点B关于原点对称， ∴OA=OB ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴OC=OA，OC⊥OA， ∴∠DOC+∠AOE=90°， ∵∠DOC+∠DCO=90°， ∴∠DCO=∠AOE， ∵在△COD和△OAE中 ∴△COD≌△OAE（AAS）， ∴OD=AE=，CD=OE=a， ∴C点坐标为（﹣，a）， ∵﹣a=﹣4， ∴点C在反比例函数y=﹣图象上． 故答案为y=﹣． 试题２、（2015潮阳区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD=5，tan∠COD=． （1）求过点D的反比例函数的解析式； （2）求△DBE的面积； （3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形， ∴BC=OA，AB=OC， ∵tan∠COD=， ∴设OC=3x，CD=4x， ∴OD=5x=5， ∴x=1， ∴OC=3，CD=4， ∴D（4，3）， 设过点D的反比例函数的解析式为：y=， ∴k=12，∴反比例函数的解析式为：y=； （2）∵点D是BC的中点， ∴B（8，3）， ∴BC=8，AB=3， ∵E点在过点D的反比例函数图象上， ∴E（8，）， ∴S△DBE=BDBE==3； （3）存在， ∵△OPD为直角三角形， ∴当∠OPD=90°时，PD⊥x轴于P， ∴OP=4， ∴P（4，0）， 当∠ODP=90°时， 如图，过D作DH⊥x轴于H， ∴OD2=OHOP， ∴OP==． ∴P（，O）， ∴存在点P使△OPD为直角三角形， ∴P（4，O），（，O）． 试题３、（2015历下区模拟）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（﹣2，0）、B（0，d）、C（﹣3，2）． （1）求d的值； （2）将△ABC沿x轴的正方向平移a个单位，在第一象限内B、C两点的对应点B′C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时直线B′C′的解析式； （3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G，作C′M⊥x轴于M．P是线段B′C′上的一点，若△PMC′和△PBB′面积相等，求点P坐标． 【解答】解：（1）作CN⊥x轴于点N． 在Rt△CNA和Rt△AOB中， ， ∴Rt△CNA≌Rt△AOB（HL）， 则BO=AN=3﹣2=1， ∴d=1； （2）设反比例函数为y=，点C′和B′在该比例函数图象上， 设C′（a，2），则B′（a+3，1） 把点C′和B′的坐标分别代入y=，得k=2a；k=a+3， ∴2a=a+3，a=3， 则k=6，反比例函数解析式为y=． 得点C′（3，2）；B′（6，1）； 设直线C′B′的解析式为y=ax+b，把C′、B′两点坐标代入得， 解得：； ∴直线C′B′的解析式为：y=﹣； （3）连结BB′ ∵B（0，1），B′（6，1）， ∴BB′∥x轴， 设P（m，），作PQ⊥C′M，PH⊥BB′ ∴S△PC’M=×PQ×C′M=×（m﹣3）×2=m﹣3 S△PBB’=×PH×BB′=×（）×6=﹣m+6 ∴m﹣3=﹣m+6 ∴m=∴P（，）． 试题４、（2015泰州校级一模）已知点A（m、n）是反比例函数（x＞0）的图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，P是y轴上一点， （1）求△PAB的面积； （2）当△PAB为等腰直角三角形时，求点A的坐标； （3）若∠APB=90°，求m的取值范围． 【解答】解：（1）连接OA， ∵AB⊥x轴， ∴AB∥y轴， ∴S△PAB=S△POB， ∵点A（m、n）是反比例函数（x＞0）的图象上一点， ∴S△PAB=S△POB=2； （2）若∠ABP=90°，则AB=OB， 则m=n， ∴m=， ∵x＞0， ∴m=2， ∴点A（2，2）； 若∠PAB=90°，则PA=AB，同理可得点A（2，2）； 若∠APB=90°，则AP=BP， 过点P作PC⊥AB于点C，则AC=BC=PC， 则点A（m，2m）， ∴2m=， ∵x＞0， ∴m=， ∴点A（，2）； 综上，点A的坐标为：（2，2）或（，2）； （3）∵∠APB=90°， ∴点P是以AB为直径的圆与y轴的交点， 由（2）可知当x=时，以AB为直径的圆与y轴相切，当x＞时，以AB为直径的圆与y轴相离， ∴m的取值范围为：0＜m≤． 五、反比例函数与全等三角形结合 试题１、2015韶关模拟）如图，点A（2，2）在双曲线y1=（x＞0）上，点C在双曲线y2=﹣（x＜0）上，分别过A、C向x轴作垂线，垂足分别为F、E，以A、C为顶点作正方形ABCD，且使点B在x轴上，点D在y轴的正半轴上． （1）求k的值； （2）求证：△BCE≌△ABF； （3）求直线BD的解析式． 【解答】（1）解：把点A（2，2）代入y1=， 得：2=， ∴k=4； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=AB，∠ABC=90°，BD=AC， ∴∠EBC+∠ABF=90°， ∵CE⊥x轴，AF⊥x轴， ∴∠CEB=∠BFA=90°， ∴∠BCE+∠EBC=90°， ∴∠BCE=∠ABF， 在△BCE和△ABF中， ， ∴△BCE≌△ABF（AAS）； （3）解：连接AC，作AG⊥CE于G，如图所示： 则∠AGC=90°，AG=EF，GE=AF=2， 由（2）得：△BCE≌△ABF， ∴BE=AF=2，CE=BF， 设OB=x，则OE=x+2，CE=BF=x+2， ∴OE=CE， ∴点C的坐标为：（﹣x﹣2，x+2）， 代入双曲线y2=﹣（x＜0）得：﹣（x+2）2=﹣9， 解得：x=1，或x=﹣5（不合题意，舍去）， ∴OB=1，BF=3，CE=OE=3， ∴EF=2+3=5，CG=1=OB，B（﹣1，0），AG=5， 在Rt△BOD和Rt△CGA中， ， ∴Rt△BOD≌Rt△CGA（HL）， ∴OD=AG=5， ∴D（0，5）， 设直线BD的解析式为：y=kx+b， 把B（﹣1，0），D（0，5）代入得：， 解得：k=5，b=5． ∴直线BD的解析式为：y=5x+5． 试题２、（2015历城区二模）如图，一条直线与反比例函数y=的图象交于A（1，4），B（4，n）两点，与x轴交于点D，AC⊥x轴，垂足为C． （1）求反比例函数的解析式及D点的坐标； （2）点P是线段AD的中点，点E，F分别从C，D两点同时出发，以每秒1个单位的速度沿CA，DC运动，到点A，C时停止运动，设运动的时间为t（s）． ①求证：PE=PF． ②若△PEF的面积为S，求S的最小值． 【解答】（1）解：把点A（1，4）代入y=得：k=4， ∴反比例函数的解析式为：y=； 把点B（4，n）代入得：n=1， ∴B（4，1） 设直线AB的解析式为y=kx+b， 把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b得：， 解得：k=﹣1，b=5， ∴直线AB的解析式为：y=﹣x+5， 当y=0时，x=5， ∴D点坐标为：（5，0）； （2）①证明：∵A（1，4），C（1，0），D（5，0），AC⊥x轴于C， ∴AC=CD=4， ∴△ACD为等腰直角三角形， ∴∠ADC=45°， ∵P为AD中点， ∴∠ACP=∠DCP=45°，CP=PD，CP⊥AD， ∴∠ADC=∠ACP， ∵点E，F分别从C，D两点同时出发，以每秒1个单位的速度沿CA，DC运动， ∴EC=DF， 在△ECP和△FDP中，， ∴△ECP≌△FDP（SAS）， ∴PE=PF； ②解：∵△ECP≌△FDP， ∴∠EPC=∠FPD， ∴∠EPF=∠CPD=90°， ∴△PEF为等腰直角三角形， ∴△PEF的面积S=PE2， ∴△PEF的面积最小时，EP最小， ∵当PE⊥AC时，PE最小， 此时EP最小值=CD=