2022年陕西省商南县数学九年级第一学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列事件是必然事件的是（）A．任意购买一张电影票,座号是“7排8号” B．射击运动员射击一次,恰好命中靶心C．抛掷一枚图钉,钉尖触地 D．13名同学中,至少2人出生的月份相同2．若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0没有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞－1 B．k≥－1 C．k＜－1 D．k≤－13．已知关于x的方程x2﹣3x+2k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞ B．k＜ C．k＜﹣ D．k＜4．圆的直径是13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切5．已知关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是()．A．k<1 B．k≤1 C．k≤1且k≠0 D．k<1且k≠06．如图，正方形的面积为16，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．87．如图为二次函数的图象，在下列说法中:①；②方程的根是③；④当时，随的增大而增大；⑤；⑥，正确的说法有（）A． B． C． D．8．如图，在矩形ABCD中，点M从点B出发沿BC向点C运动，点E、F别是AM、MC的中点，则EF的长随着M点的运动（）A．不变 B．变长 C．变短 D．先变短再变长9．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围在数轴上可以表示为（）A． B．C． D．10．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（）A．0.55米 B．米 C．米 D．0.4米二、填空题(每小题3分,共24分)11．一元二次方程的解是_________.12．小明身高是1.6m，影长为2m，同时刻教学楼的影长为24m，则楼的高是_____．13．抛物线y＝(x-2)2+3的顶点坐标是______.14．已知二次函数y=－x－2x＋3的图象上有两点A(－7，)，B(－8，)，则▲.（用>、<、=填空）．15．如图，正方形ABCD中，P为AD上一点，BP⊥PE交BC的延长线于点E，若AB=6，AP=4，则CE的长为_____．16．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为_____．17．己知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2，则这个菱形的面积是_____．18．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为6，则k的值等于_____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB方向匀速运动，到达点B停止．连接DP交AC于点E，以DP为直径作⊙O交AC于点F，连接DF、PF．（1）求证：△DPF为等腰直角三角形；（2）若点P的运动时间t秒．①当t为何值时，点E恰好为AC的一个三等分点；②将△EFP沿PF翻折，得到△QFP，当点Q恰好落在BC上时，求t的值．20．（6分）如图，为的直径，、为上两点，且点为的中点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点.（1）求证：是的切线；（2）当，时，求的长.21．（6分）公司经销的一种产品，按要求必须在15天内完成销售任务．已知该产品的销售价为62元/件，推销员小李第x天的销售数量为y件，y与x满足如下关系：y＝（1）小李第几天销售的产品数量为70件？（2）设第x天销售的产品成本为m元/件，m与x的函数图象如图，小李第x天销售的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时利润最大，最大利润是多少？22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆O上，BE⊥CD垂足为E，CB平分∠ABE，连接BC（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若cos∠CAB＝，CE＝，求AD的长．23．（8分）在平面直角坐标系中，已知点是直线上一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点，反比例函数的图象经过点.（1）若点是第一象限内的点，且，求的值；（2）当时，直接写出的取值范围.24．（8分）抛物线直线一个交点另一个交点在轴上，点是线段上异于的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的点，使线段长度最大？若存在，求出最大值及此时点的坐标，若不存在，说明理由；（3）求当为直角三角形时点P的坐标．25．（10分）如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．26．（10分）（1）用配方法解方程：；（2）用公式法解方程：.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】根据必然事件的定义即可得出答案.【详解】ABC均为随机事件，D是必然事件，故答案选择D.【点睛】本题考查的是必然事件的定义：一定会发生的事情.2、C【解析】试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k的不等式，解出即可.由题意得，解得故选C.考点：一元二次方程的根的判别式点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．3、B【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4•2k＞0，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4•2k＞0，解得k＜．故选：B．【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的情况，解题的关键是熟知根的判别式．4、D【分析】比较圆心到直线距离与圆半径的大小关系，进行判断即可.【详解】圆的直径是13cm，故半径为6.5cm.圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么圆心到直线的距离可能等于6.5cm也可能小于6.5cm，因此直线与圆相切或相交.故选D.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，需注意圆的半径为6.5cm，那么圆心与直线上某一点的距离是6.5cm是指圆心到直线的距离可能等于6.5cm也可能小于6.5cm.5、C【解析】分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．关于x的一元二次方程kx2-2x+1=1有实数根，则△=b2-4ac≥1．详解：∵a=k，b=-2，c=1，∴△=b2-4ac=（-2）2-4×k×1=4-4k≥1，k≤1，∵k是二次项系数不能为1，k≠1，即k≤1且k≠1．故选C．点睛：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．6、B【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为F，此时，FD+FE=BE最小，而BE是等边三角形ABE的边，BE=AB，由正方形面积可得AB的长，从而得出结果．【详解】解：由题意可知当点P位于BE与AC的交点时，有最小值．设BE与AC的交点为F，连接BD，∵点B与点D关于AC对称∴FD=FB∴FD+FE=FB+FE=BE最小又∵正方形ABCD的面积为16∴AB=1∵△ABE是等边三角形∴BE=AB=1．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是轴对称中的最短路线问题，解题的关键是弄清题意，找出相对应的相等线段．7、D【分析】根据抛物线开口向上得出a＞1，根据抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上得出c＜1，根据图象与x轴的交点坐标得出方程ax2+bx+c=1的根，把x=1代入y=ax2+bx+c求出a+b+c＜1，根据抛物线的对称轴和图象得出当x＞1时，y随x的增大而增大，2a=-b，根据图象和x轴有两个交点得出b2-4ac＞1．【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞1，∵抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜1，∴ac＜1，∴①正确；∵图象与x轴的交点坐标是（-1，1），（3，1），∴方程ax2+bx+c=1的根是x1=-1，x2=3，∴②正确；把x=1代入y=ax2+bx+c得：a+b+c＜1，∴③错误；根据图象可知：当x＞1时，y随x的增大而增大，∴④正确；∵-=1，∴2a=-b，∴2a+b=1，不是2a-b=1，∴⑤错误；∵图象和x轴有两个交点，∴b2-4ac＞1，∴⑥正确；正确的说法有：①②④⑥．故答案为：D．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性．8、A【分析】由题意得EF为三角形AMC的中位线，由中位线的性质可得：EF的长恒等于定值AC的一半.【详解】解：∵E，F分别是AM，MC的中点，

∴，

∵A、C是定点，

∴AC的的长恒为定长，

∴无论M运动到哪个位置EF的长不变，

故选A．【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行且等于第三边的一半.9、B【分析】利用根的判别式和题意得到，求出不等式的解集，最后在数轴上表示出来，即可得出选项．【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，∴，解得：，在数轴上表示为：，故选：B．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，根的判别式的应用，注意：一元二次方程(为常数)的根的判别式为．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．特别注意：当时，方程有两个实数根，本题主要应用此知识点来解决．10、B【分析】如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x＝1.25＝，A（0，0.8），C（3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．【详解】解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得，对称轴为x＝1.25＝，A（0，0.8），C（3，0），设解析式为y＝ax2+bx+c，∴，解得：，所以解析式为：y＝x2+x+，当x＝2.75时，y＝，∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣＝，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键二、填空题(每小题3分,共24分)11、x1=0，x2=4【分析】用因式分解法求解即可.【详解】∵，∴x(x-4)=0,∴x1=0，x2=4.故答案为x1=0，x2=4.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.12、19.2m【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出教学楼高度即可列方程解答．【详解】设教学楼高度为xm，列方程得：解得x＝19.2，故教学楼的高度为19.2m．故答案为：19.2m．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相等的比例关系，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．13、（2，3）【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．【详解】解：y=（x-2）2+3是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．

故答案为（2，3）【点睛】考查将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．14、＞．【解析】根据已知条件求出二次函数的对称轴和开口方向，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y1的大小关系：∵二次函数y=﹣x1﹣1x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大．∵点A（﹣7，y1），B（﹣8，y1）是二次函数y=﹣x1﹣1x+3的图象上的两点，且﹣7＞﹣8，∴y1＞y1．15、2【分析】利用同角的余角相等可得出∠ABP=∠DPF，结合∠A=∠D可得出△APB∽△DFP，利用相似三角形的性质可求出DF的长，进而可得出CF的长，由∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF可得出△PFD∽△EFC，再利用相似三角形的性质可求出CE的长．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠D=∠ECF=90°，AB=AD=CD=6，∴DP=AD﹣AP=1．∵BP⊥PE，∴∠BPE=90°，∴∠APB+∠DPF=90°．∵∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPF．又∵∠A=∠D，∴△APB∽△DFP，∴，即，∴DF=，∴CF=．∵∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF，∴△PFD∽△EFC，∴=，即，∴CE=2．故答案为：2．【点睛】此题考查相似三角形判定与性质以及正方形的性质，利用相似三角形的判定定理，找出△APB∽△DFP及△PFD∽△EFC是解题的关键．16、1：1【解析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解得．【详解】∵两个相似三角形的相似比为1：4，∴它们的面积比为1：1．故答案是：1：1．【点睛】考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．17、【解析】分析：根据菱形的性质结合勾股定理可求出较短的对角线的长，再根据菱形的面积公式即可求出该菱形的面积．详解：依照题意画出图形，如图所示．在Rt△AOB中，AB=2，OB=，∴OA==1，∴AC=2OA=2，∴S菱形ABCD=AC•BD=×2×2=2．故答案为2．点睛：本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出较短的对角线的长是解题的关键．18、﹣1【分析】根据题意，可以设出点C和点A的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得k的值，本题得以解决．【详解】解：设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c，），则﹣a•＝6，点D的坐标为（，），∴，解得，k＝﹣1，故答案为﹣1．【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．三、解答题(共66分)19、（1）详见解析；（2）①1；②﹣1．【分析】（1）要证明三角形△DPF为等腰直角三角形，只要证明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°即可，根据直径所对的圆周角是90°和同弧所对的圆周角相等，可以证明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°，从而可以证明结论成立；（2）①根据题意，可知分两种情况，然后利用分类讨论的方法，分别计算出相应的t的值即可，注意点P从A出发到B停止，t≤4÷2＝2；②根据题意，画出相应的图形，然后利用三角形相似，勾股定理，即可求得t的值．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝45°，∵在⊙O中，所对的圆周角是∠DAF和∠DPF，∴∠DAF＝∠DPF，∴∠DPF＝45°，又∵DP是⊙O的直径，∴∠DFP＝90°，∴∠FDP＝∠DPF＝45°，∴△DFP是等腰直角三角形；（2）①当AE：EC＝1：2时，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，∴△DCE∽△PAE，∴，∴，解得，t＝1；当AE：EC＝2：1时，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，∴△DCE∽△PAE，∴，∴，解得，t＝4，∵点P从点A到B，t的最大值是4÷2＝2，∴当t＝4时不合题意，舍去；由上可得，当t为1时，点E恰好为AC的一个三等分点；②如右图所示，∵∠DPF＝90°，∠DPF＝∠OPF，∴∠OPF＝90°，∴∠DPA+∠QPB＝90°，∵∠DPA+∠PDA＝90°，∴∠PDA＝∠QPB，∵点Q落在BC上，∴∠DAP＝∠B＝90°，∴△DAP∽△PBQ，∴，∵DA＝AB＝4，AP＝2t，∠DAP＝90°，∴DP＝＝2，PB＝4﹣2t，设PQ＝a，则PE＝a，DE＝DP﹣a＝2﹣a，∵△AEP∽△CED，∴，即，解得，a＝，∴PQ＝，∴，解得，t1＝﹣﹣1（舍去），t2＝﹣1，即t的值是﹣1．【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.20、（1）详见解析；（2）.【分析】（1）连接，如图，由点为的中点可得，根据可得，可得，于是，进一步即可得出，进而可证得结论；（2）在中，利用解直角三角形的知识可求得半径的长，进而可得AD的长，然后在中利用∠D的正弦即可求出结果.【详解】解：（1）连接，如图，∵点为的中点，∴，∴.∵，∴，∴.∴.∵，∴.∴，即.∴是的切线；（2）在中，∵，∴设，则，则，解得：.∴，，∴.在中，∵，∴.【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质以及解直角三角形的知识，属于中档题型，熟练掌握上述知识是解题的关键.21、（1）小李第1天销售的产品数量为70件；（2）第5天时利润最大，最大利润为880元．【分析】（1）根据y和x的关系式，分别列出方程并求解，去掉不符合情况的解后，即可得到答案;（2）根据m与x的函数图象，列出m与x的关系式并求解系数；然后结合利润等于售价减去成本后再乘以销售数量的关系，利用一元一次函数和一元二次函数的性质，计算得到答案．【详解】（1）如果8x＝70得x＝＞5，不符合题意；如果5x+10＝70得x＝1．故小李第1天销售的产品数量为70件；（2）由函数图象可知：当0≤x≤5，m＝40当5＜x≤15时，设m＝kx+b将（5，40）（15，60）代入，得∴且b=30∴m＝2x+30①当0≤x≤5时w＝（62﹣40）•8x＝176x∵w随x的增大而增大∴当x＝5时，w最大为880；②当5＜x≤15时w＝（62﹣2x﹣30）（5x+10）＝﹣10x2+140x+320∴当x＝7时，w最大为810∵880＞810∴当x＝5时，w取得最大值为880元故第5天时利润最大，最大利润为880元．【点睛】本题考察了从图像获取信息、一元一次函数、一元二次函数的知识；求解本题的关键为熟练掌握一元一次和一元二次函数的性质，并结合图像计算得到答案．22、（1）见解析；（2）AD=．【分析】（1）连接OC，根据等边对等角，以及角平分线的定义，即可证得∠OCB＝∠EBC，则OC∥BE，从而证得OC⊥CD，即CD是⊙O的切线；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】证明：（1）连接OC．∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，又∵∠EBC＝∠ABC，∴∠OCB＝∠EBC，∴OC∥BE，∵BE⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）设AB＝x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴直角△ABC中，AC＝AB•cos∠CAB＝，∴BC＝＝＝x，∵∠BCE+∠BCO＝∠CAB+∠ABC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CAB＝∠BCE，∵∠E＝∠ACB＝90°，∴△ACB∽△CEB，∴＝，∴＝，∴x＝，∴AB＝，BC＝5，∵△ACB∽△CEB，∴∠CAB=∠ECB=cos∠CAB=∴BE＝2，∵OC∥BE，∴△DOC∽△DBE，∴＝，∴＝，∴AD＝．【点睛】本题考查了切线的判定，三角函数以及圆周角定理，相似三角形的判定及性质等，证明切线的问题常用的思路是转化成证明垂直问题．23、（1）；（2）且.【分析】（1）设点，根据，得到，代入，求得的坐标，即可求得答案；（2）依照（1），求得时的A点的坐标，根据题意，画出函数图象，然后根据函数的图象直接求出k的取值范围即可．【详解】（1）依题意，设点，∴，∵，∴，∵点在直线上，∴点的坐标为，∵点在函数的图像上，∴；（2）依题意，设点，∴，∵，∴，∵点在直线上，∴点的坐标为或，∵点在函数的图像上，∴或，观察图象，当且时，.【点睛】此题属于反比例函数与一次函数的综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，坐标与图形性质，此类题要先求特殊位置时对应的k值，利用数形结合的思想，依照题意画出图形，利用数形结合找出k的取值范围．24、（1）；（2）当时，长度的最大值为，此时点的坐标为；（3）为直角三角形时点的坐标为或．【分析】（1）根据已知条件先求得，，将、坐标代入，再求得、，最后将其代入即可得解；（2）假设存在符合条件的点，并设点的横坐标，然后根据已知条件用含的式子表示出、的坐标，再利用坐标平面内距离公式求得、间的距离，将其进行配方即可进行判断并求解；（3）分、两种情况进行讨论，求得相应的符合要求的点坐标即可．【详解】解：（1）∵抛物线直线相交于、∴当时，；当时，，则∴，∴把代入得∴∴（2）假设存在符合条件的点，并设点的横坐标则、∴∵∴有最大值当时，长度的最大值为，此时点的坐标为（3）①当时∵直线垂直于直线∴可